Noções de Probabilidade

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Profa. Ela Mercedes M. de Toscano 
Departamento de Estatística - UFMG 
Noções de Probabilidade 
Experimentos Aleatórios 
São aqueles cujos resultados não podem ser previstos, 
ainda que os experimentos sejam repetidos sob condições 
semelhantes. 
Ex. Retirar uma peça de um lote e observar se é perfeita 
ou defeituosa. 
Espaço amostral, () é o conjunto de todos os 
resultados possíveis de um experimento aleatório. 
 = {w1, w2, ... } 
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w1 
w2 
. 
, 
, 
 
Variável Aleatória 
 
X(wi ) = xi 
Podemos associar a cada ponto do espaço amostral um 
número. 
2 
1 
0 
Esta variável é denominada de VARIÁVEL ALEATÓRIA. 
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Tipos de variáveis aleatórias: 
• Variável Aleatória Discreta (VAD): quando admite um 
número finito de valores ou tem uma quantidade 
enumerável de valores, esses valores podem ser 
associados a mensurações em uma escala discreta. 
 
• Ex.: Número de produtos vendidos por mês. 
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•Variável Aleatória Continua (VAC): quando pode 
tomar um número infinito de valores, e esses valores 
podem ser associados a mensurações em uma escala 
contínua. 
• Ex. : Temperatura máxima mensal em BH 
Tipos de variáveis aleatórias: 
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w1 
w2 
. 
, 
, 
 
Distribuição de Probabilidade 
 
X(wi ) = xi 
Podemos calcular a probabilidade pi da variável aleatória assumir 
o valor xi 
3 
1 
0 
1 
0 
2 
    )( ii xpxXPxf 
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Distribuições de Probabilidade de uma VAD 
Podemos calcular a probabilidade p(xi) da variável aleatória 
assumir o valor xi 
p(xi) = Pr[ X = xi]. 
A seqüência de pares de valores {(xi, p(xi)} é denominada 
distribuição de probabilidades da variável aleatória X. 
Pode-se demonstrar que: 
 
 

1)(
1)(0
i
i
xp
xp
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Função de Distribuição Cumulativa de uma VAD 
A função distribuição cumulativa de uma VAD X, denotada por 
F(x), é 
 
Para uma variável aleatória discreta X, F(X) satisfaz as seguintes 
propriedades: 
)()(,)2
1)(0)1
yFxFentãoyxSe
xF i


    


xx
i
i
xfxXPxF )(
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Média ou valor esperado de uma VAD X denotado por µ, é 
 
 
 
Distribuições de Probabilidade de uma VAD 
   )(. xfxXE
A variância de X denotada por 2 ou V(X) é 
       )()( 222 xfxXEXV 
  222 )(.    xfx
Desvio-padrão de X denotado por  é 
   )(.2 xfx
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Propriedades: 
 
 
Distribuições de Probabilidade de uma VAD 
a) Se Y= aX+b, onde a e b são constantes, então 
 
).()(
,)()(
2 XVaYV
bXaEbaXEYE


      22 XEXEXV 
b) 
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Propriedades: 
 
 
Distribuições de Probabilidade de uma VAD 
a) Para duas v.a. X e Y quaisquer, temos Y 
  );,(2)()( YXCovYVXVYXV 
     .YVXVYXV 
b) Se X e Y forem independentes, então 
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Distribuições de Probabilidade de VAD: 
• Uniforme 
• Binomial 
• Binomial Negativa 
• Geométrica 
• Hipergeométrica 
• Poisson 
• ... 
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Uma variável aleatória X será uma variável aleatória 
discreta uniforme, se cada um dos n valores, x1, x2, ..., xn 
tiver igual probabilidade, 
 
 
Distribuição Uniforme Discreta 
n
xf
1
)( 
Se X é uma variável aleatória discreta uniforme nos 
inteiros consecutivos a, a+1, a+2, ...,b, para a ≤ b. A média 
de X é 
 e o desvio-padrão é  
12
11
2


ab
 
 
2
ab
XE


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Experimentos de Bernoulli 
Um experimento aleatório, consistindo em “n” repetidas 
tentativas, de modo que: 
1) as tentativas sejam independentes 
2) cada tentativa com dois possíveis resultados, “sucesso” 
ou “falha”, 
3) com probabilidade de sucesso, denotada por p constante 
 
é chamado de experimento de Bernoulli. 
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Distribuição Binomial 
  nxpp
x
n
xf
xnx ,,3,2,1,0,1)( 







A média de X é 
O desvio-padrão é 
)1( pnp 
  npXE 
Considerando “n” tentativas de Bernoulli independentes, 
defina-se a variável aleatória X, como o número de 
tentativas que resultam sucesso. Então X tem uma 
distribuição Binomial, com parâmetros p e n= 1, 2, 3,... ,n 
e função de probabilidade de 
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Distribuição Geométrica 
    ,3,2,1,0,1 1   xppxXP x
A média de X é 
O desvio-padrão é 
2
)1(
p
p
 
p
XE
1

 
Considerando “n” tentativas de Bernoulli independentes, 
com probabilidade constante p de um sucesso, faça a 
variável aleatória X, como o número de tentativas até que o 
primeiro sucesso ocorra. Então X tem uma distribuição 
Geométrica, com parâmetros p e 
 
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Considerando “n” tentativas de Bernoulli independentes, 
defina-se a variável aleatória X, como o número de 
tentativas até que r sucessos ocorram. Então X, tem uma 
distribuição Binomial Negativa, com parâmetros p e r= 1, 2, 
3, ... , n e função de probabilidade de 
 
 
Distribuição Binomial Negativa 
    ,...2,1,,1
1
1










rrrxpp
r
x
rXP r
rx
A média de X é 
O desvio-padrão é 
2/)1( ppr 
 
p
rXE 
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Distribuição Hipergeométrica 
  nxpp
x
n
kXP
xnx ,,3,2,1,0,1)( 







A média de X é 
O desvio-padrão é 
)1( pnp 
  npXE 
Considerando uma série de N objetos contem: 
- K objetos classificados como sucesso 
- N-K objetos classificados como falhas. 
Uma amostra aleatória de tamanho “n” objetos selecionados ao acaso 
(sem reposição) a partir de N objetos, em que K ≤ N e n ≤ Então X tem 
uma distribuição Binomial, com parâmetros p e n= 1, 2, 3, ... , n e 
função de probabilidade de 
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Distribuição de Poisson 
   
!
)(
1
k
npe
pp
k
n
kXP
knp
knk









estas probabilidades calculadas para todos os valores inteiros não 
negativos, constituem a Distribuição de Poisson. Observemos que as 
probabilidades decaem à medida que k crescee normalmente ocorrem 
num intervalo de tempo. A distribuição de Poisson é largamente usada 
quando se deseja contar o número de eventos de certo tipo que ocorre 
num intervalo de tempo, ou superfície, ou volume, por exemplo número 
de falhas de um computdor num dia de operação. 
Existem tabelas que fornece os valores de uma distribuição 
Binomial, X ~B(n,p),para n= 1, 2, 3,... ,n. Para “n” grande e “p” 
pequeno, np ≤ 7, podemos aproximar as probabilidades por 
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Distribuição de Poisson 
  ,,3,2,1,0,
!


k
k
e
kXP
k
A média de X é 
O desvio-padrão é 
 
    XE
De modo geral , dizemos que a v.a. X tem uma distribuição 
de Poisson, com parâmetro  se