unidade 1 matrizes

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MATRIZES 
 
P R O F. T H A L E S M A I E R D E S O U Z A 
 
 
 
Universidade Federal de Santa Catarina 
 
Centro Tecnológico de Joinville 
MATRIZES 
 Definição: Chama-se matriz de ordem 𝑚 por 𝑛, a um quadro de 
𝑚 × 𝑛 elementos (números, polinômios, funções, etc...) 
dispostos em 𝑚 linhas e 𝑛 colunas. 
 
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
 
 Notação: i) 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] 𝑚×𝑛 , onde 𝑖 varia de 1 até 𝑚 e 𝑗 varia de 1 
até 𝑛 
 ii) 𝐴(𝑚,𝑛) matriz de ordem 𝑚 por 𝑛. 
 
 Obs: Sempre que necessário, denotaremos 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗] 𝑚×𝑛 , 
C= [𝑐𝑖𝑗] 𝑚×𝑛 e assim por diante. 
MATRIZ COLUNA 
 Def: Uma matriz de ordem 𝑛 por 1 é chamada de matriz 
coluna. 
𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] 𝑛×1 
MATRIZ LINHA 
 Def: Uma matriz de ordem 1 por 𝑛 é chamada de matriz linha. 
𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] 1×𝑛 
MATRIZ QUADRADA 
 Def: Quando o número de linhas é igual ao número de 
colunas temos uma matriz quadrada de ordem 𝑛. 
𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] 𝑛×𝑛=
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
 
MATRIZ DIAGONAL 
 Def: Uma matriz quadrada 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] 𝑛×𝑛 é dita matriz diagonal 
quando 𝑎𝑖𝑗 = 0 para todo 𝑖 ≠ 𝑗. 
𝐴 =
𝑎11 ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
 
 Obs: Os elementos 𝑎𝑖𝑗 tais que 𝑖 = 𝑗, constituem a diagonal 
principal. 
MATRIZ IDENTIDADE 
 Def: Uma matriz quadrada 𝐼𝑛 = [𝑎𝑖𝑗] 𝑛×𝑛 é dita matriz identidade 
de ordem 𝑛, quando 𝑎𝑖𝑗 = 1 para todo 𝑖 = 𝑗 e 𝑎𝑖𝑗 = 0 para todo 
𝑖 ≠ 𝑗. 
𝐼𝑛 =
1 ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 1
 
MATRIZ NULA 
 Def: Uma matriz nula é aquela cuja todos elementos são zeros. 
IGUALDADE DE MATRIZ 
 Def: Duas matrizes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] 𝑚×𝑛 e 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗] 𝑚×𝑛 são iguais se, e 
 somente se, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 para todos 𝑖 e 𝑗. 
 Note que as matrizes devem ter a mesma ordem. 
 
ADIÇÃO E DIFERENÇA DE MATRIZES 
 Def: A soma de duas matrizes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] 𝑚×𝑛 e 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗] 𝑚×𝑛 é 
 uma matriz 𝐶 = [𝑐𝑖𝑗] 𝑚×𝑛 tal que 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 para todos 𝑖 e 𝑗. 
 
 Def: A diferença de duas matrizes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] 𝑚×𝑛 e 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗] 𝑚×𝑛 é uma 
 matriz 𝐶 = [𝑐𝑖𝑗] 𝑚×𝑛 tal que 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 para todos 𝑖 e 𝑗. 
 
 Propriedades: i) 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 (Associativa) 
 ii) 𝐴 + 0 = 0 + 𝐴 = 𝐴 (Elemento neutro) 
 iii) −𝐴 + 𝐴 = 𝐴 − 𝐴 = 0 (Inverso aditivo) 
 iv) 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 (Comutatividade da adição) 
PRODUTO DE MATRIZ POR ESCALAR 
 Def: Sejam 𝜆 ∈ ℝ e 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] 𝑚×𝑛 . O produto de 𝜆 por 𝐴 é 
 uma matriz 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗] 𝑚×𝑛 tal que 𝑏𝑖𝑗 = 𝜆𝑎𝑖𝑗 . 
 Propriedades: i) 𝜆𝜇 𝐴 = 𝜆(𝜇𝐴) 
 ii) 𝜆 + 𝜇 𝐴 = 𝜆𝐴 + 𝜇𝐴 
 
 iii) 𝜆 𝐴 + 𝐵 = 𝜆𝐴 + 𝜆𝐵 
 iv) 1 . 𝐴 = 𝐴 
PRODUTO DE MATRIZES 
 Def: Sejam 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] 𝑚×𝑛 e 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗] 𝑛×𝑝 duas matrizes de ordem 
𝑚 por 𝑛 e 𝑛 por 𝑝, respectivamente. Então o produto 
 𝐴𝐵 é uma matriz C= [𝑐𝑖𝑗] 𝑚×𝑝 onde 
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗
𝑘=𝑛
𝑘=1
 
 Obs: i) O produto 𝐶 = 𝐴𝐵 é uma matriz de ordem 𝑚 por 𝑝, uma 
vez que na expressão acima o índice 𝑖 varia de 1 até 𝑚 e o 
índice 𝑗 varia de 1 até 𝑝. 
 ii) O índice 𝑘 varia de 1 até 𝑛, pois 𝑛 é o número de coluna de 𝐴 
e o número de linhas de 𝐵. 
 iii) O produto de 𝐴 por 𝐵 só é possível se o número de colunas 
de 𝐴 for igual ao número de colunas de 𝐵. 
 
𝐴(𝑚,𝑛) × 𝐵 𝑛,𝑝 = 𝐶(𝑚,𝑝) 
COMUTATIVIDADE DA MULTIPLICAÇÃO 
 Em geral, a existência do produto 𝐴𝐵 não implica a existência 
do produto 𝐵𝐴 . Por exemplo: 
 𝐴(3,5) × 𝐵(5,6) = 𝐶(3,6) ≠ 𝐵(5,6) × 𝐴(3,5) = ∄ 
 𝐴(3,4) × 𝐵(4,3) = 𝐶(3,3) ≠ 𝐵(4,3) × 𝐴(3,4) = 𝐶(4,4) 
 Ainda que 𝐴 e 𝐵 fossem matrizes quadradas de ordem 𝑛, 
então os produtos 𝐴𝐵 e 𝐵𝐴 seriam matrizes quadradas de 
ordem 𝑛, porém, em geral o produto não é comutativo. 
 Exemplo 1: Sejam 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛 e 𝐼𝑛, então 𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = 𝐴 
 Exemplo 2: Considere 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛 e 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑛×𝑛 tais que 
𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼𝑛 
 Neste caso o produto é comutativo, mais ainda, dizemos que 
a matriz 𝐵 é a matriz inversa de 𝐴 e denotamos por 
 
𝐵 = 𝐴−1 
 
 Propriedades: Sejam 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 , 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑛×𝑝 , 𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 𝑝×𝑟 
e escalar 𝜆 𝜖 ℝ. 
 i) 𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶) 
 ii) 𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 
 iii) 𝐼𝑚𝐴 = 𝐴𝐼𝑛 = 𝐴 
 iv) 𝜆𝐴 𝐵 = 𝜆 𝐴𝐵 
 
 Note que, dadas duas matrizes 𝐴(𝑚,𝑛) e 𝐵(𝑛,𝑝), se o produto 
𝐴𝐵 = 0(𝑚,𝑝) , não necessariamente 𝐴 ou 𝐵 são nulas. 
 MATRIZ TRANSPOSTA 
 Def: A matriz transposta de uma matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 , é 
denotada por 𝐴𝑇 e é obtida da matriz 𝐴 permutando as linhas 
pelas colunas de mesmo índice. Logo 
 𝐴𝑇 = 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑛×𝑚 
 onde, 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , 𝑖 variando de 1 até 𝑛 e 𝑗 variando de 1 até 𝑚. 
 Propriedades: i) 𝐴 + 𝐵 𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 
 ii) 𝜆𝐴 𝑇 = 𝜆 𝐴𝑇 
 iii) 𝐴𝑇 𝑇 = 𝐴 
 iv) 𝐴𝐵 𝑇 = 𝐵𝑇𝐴𝑇 
 MATRIZ SIMÉTRICA 
 Def: Uma matriz quadrada 𝑆 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛 é dita simétrica se, e 
somente se, 𝑆 = 𝑆𝑇, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 para todo 𝑖 ≠ 𝑗. 
 Propriedade: Seja 𝐴 uma matriz quadrada então 𝐴𝐴𝑇 é uma 
matriz simétrica. 
 MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA 
 Def: Uma matriz quadrada M= 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛 é dita ortogonal se, e 
somente se, M−1 = 𝑀𝑇, isto é, 𝑀𝑀𝑇 = 𝑀𝑇𝑀 = 𝐼𝑛 . 
MATRIZ ORTOGONAL 
 Def: Uma matriz quadrada A= 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛 é dita anti-simétrica 
se, e somente se, AT = −𝐴. 
 Def: Uma matriz quadrada 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛 é dita triangular 
superior quando 𝑎𝑖𝑗 = 0 para todo 𝑖 > 𝑗 . 
 Def: Uma matriz quadrada 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛 é dita triangular 
inferior quando 𝑎𝑖𝑗 = 0 para todo 𝑖 < 𝑗 . 
 
 
 
 
MATRIZ TRINGULAR SUPERIOR E INFERIOR