Lista Ex Resolvidos Obras de Terra

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Lista de exemplos resolvidos – Obras de Terra 
Prof. Thiago Damasceno Silva 
 
Recalque e adensamento – Semana 1 
1. Determinar o recalque primário de uma camada de solo com espessura de 2,7 m, com 
índice de vazios inicial de 1,32 e índice de vazios final de 0,74. 
 
2. Calcular o recalque primário de uma camada de argila saturada com 5,5 m de espessura, 
drenada por ambas as faces. A argila possui índice de vazios inicial de 1,08 e índice de 
compressão de 0,25. Considerar que há um acréscimo de tensões de 0,7 kg/cm². 
 
3. Dada uma determinada amostra avaliada em laboratório, com coeficiente de 
compressibilidade de 0,1098 cm²/kg, coeficiente de consolidação de 12,454 cm²/ano e 
índice de vazios médio de 0,71, estime o coeficiente de permeabilidade (cm/seg). 
 
4. Um engenheiro pretende realizar uma fundação superficial (sapata rígida) em um terreno 
cujo solo possui as seguintes propriedades: 
- módulo de elasticidade: E = 20000 KPa. 
- coeficiente de Poisson: ν = 0,25. 
Sabendo que a tensão transmitida ao solo é igual a 0,1 MPa, e que a sapata tem seção 
transversal com lado igual a 2 metros (L = B = 2,0 m), determine o recalque imediato em 
milímetros (mm). 
 
5. O recalque de um edifício apoiado sobre uma camada de argila, com 30 cm de espessura, 
estabilizou em 5,0 cm após um determinado tempo. A pressão aplicada a camada era de 
1,2 kg/cm². Com base nas informações, calcular a perda de água intersticial (dos vazios) 
da camada de argila, em cm²/kg. 
 
Resistência ao cisalhamento dos solos – Semana 2 
6. Em um solo sem nenhuma pressão externa, com ocorrência de água nos vazios, determine 
a resistência ao cisalhamento devido à coesão). Dados: Tensão normal = 12,4 kgf/cm²; 
Ângulo de atrito interno = 36º; Coesão = 7,2 kgf/cm². 
 
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7. Os solos apresentam diferentes resistências ao cisalhamento frente a diferentes tensões, 
na realização de ensaios em laboratório. Por meio dos dados indicados, determinar o 
ângulo de atrito interno e o valor da coesão. Dados: 
a. Ensaio 1: Tensão normal = 20,33 Kgf/cm²; Resistência ao cisalhamento = 16,72 kgf/cm². 
b. Ensaio 2: Tensão normal = 22,88 Kgf/cm²; Resistência ao cisalhamento = 17,63 kgf/cm². 
 
Aterro sobre solos moles – Semana 3 
8. A resistência não drenada de um solo (Su) pode ser obtida por meio do ensaio de palheta, 
também conhecido como “vane test”. Realizado esse ensaio em um solo onde foram 
obtidas as propriedades apresentadas a seguir, determine a coesão do material (kg/cm²). 
Dados: D = 7,0 cm; H = 11,0 cm; M = 592 kg. 
 
9. Determinar a altura admissível de um aterro sobre solos moles, considerando o valor da 
resistência não drenada do solo como 20 kN/m² e o peso específico natural do aterro como 
19 kN/m³. Utilizar fator de segurança igual a 1,05, e admitir que o fator de carga é 
aproximadamente 5,5. 
 
Empuxos de terra – Semana 4 
10. Um muro de arrimo suporta duas camadas de solo: uma superior, nivelada paralelamente 
a seu topo, e uma inferior, cujo nível é aproximadamente paralelo a metade da altura do 
muro. Para a camada superior, determinar o coeficiente de empuxo ativo sabendo que o 
ângulo de inclinação do solo é 𝜑 = 33º. Para a camada inferior, determinar coeficiente de 
empuxo passivo, sabendo que o ângulo de inclinação é 𝜑 = 47º. 
 
11. Calcular os valores dos empuxos, ativo e passivo, provocados no muro de arrimo indicado 
na figura abaixo. 
 
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Estabilidade de taludes – Semana 6 
12. Classificar a estabilidade do talude ao determinar o fator de segurança associado, 
segundo o método do talude infinito. Propriedades do talude: 𝝓 = 15°; β = 25°; γ = 1,7 
tf/m³; c’ = 2,0 tf/m²; H = 2,5 m. 
 
13. Calcular a altura crítica para o talude de acordo com o Método de Culmann. Propriedades 
do talude: 𝝓 = 15°; β = 35°; γ = 1,9 tf/m³; c’ = 1,1 tf/m². 
 
Estruturas de contenção, reforço e arrimo – Semana 7 
14. Dimensionar o topo e a base de um muro de arrimo feito em alvenaria com seção 
retangular e altura de 3,4 metros. 
 
15. Verificar as dimensões da base e do topo de um muro de arrimo executado em concreto 
ciclópico, com seção transversal do tipo trapezoidal e altura de 3,8 metros. 
 
Barragens de terra e enrocamento – Semana 8 
16. Qual a dimensão da largura mínima de crista para uma barragem com 14 metros de altura 
no total? 
 
17. Determinar a altura de uma barragem que possui largura de crista (como valor mínimo) 
correspondente a 9,5 metros. 
 
18. A barragem de terra indicada na figura abaixo será projetada para alcançar altura h de 8 
metros. O talude a montante terá inclinação de 1:2,5, enquanto a inclinação do talude a 
jusante será 1:2,0. Dessa forma, dimensione as larguras de crista e de base da barragem. 
 
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Recalque e adensamento – Semana 1 (Resolução) 
1. Considerando os dados do exercício: 
𝐻0 = 2,7 m 
𝑒0 = 1,32 
𝑒 = 0,74 
É possível aplicar diretamente a fórmula do recalque primário (𝜌𝑐): 
𝜌𝑐 = (
∆𝑒
1 + 𝑒0
) ∙ 𝐻0 = (
|0,74 − 1,32|
1 + 1,32
) ∙ 2,7 
𝜌𝑐 = 0,675 m = 67,5 cm 
Note que o sinal não é particularmente importante, pois o recalque ocorre de forma 
descendente. 
 
2. Considerando os dados do exercício: 
𝐻0 = 5,5 m 
𝑒0 = 1,08 
𝐶𝑐 = 0,25 
∆𝜎′𝑣 = 0,7 kgf/cm² 
Primeiramente, devemos determinar a variação do índice de vazios: 
𝐶𝑐 =
∆𝑒
log (∆𝜎′𝑣)
 
∆𝑒 = 𝐶𝑐 ∙ log(∆𝜎
′
𝑣) = 0,25 ∙ log(0,7) = −0,039 
Uma vez determinada a variação do índice de vazios, é possível determinar o recalque 
primário (𝜌𝑐) da camada: 
𝜌𝑐 = (
∆𝑒
1 + 𝑒0
) ∙ 𝐻0 = (
|−0,039|
1 + 1,08
) ∙ 5,5 
𝜌𝑐 = 0,1024 m = 10,24 cm 
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3. Considerando os dados do exercício: 
𝑎𝑣 = 0,1098 cm²/kg 
𝐶𝑣 = 12,454 
cm2
ano
=
12,454
3,154 ∙ 107
= 3,95 ∙ 10−7 
cm2
seg
 
𝑒 = 0,71 
A equação do coeficiente de consolidação (𝐶𝑣) é: 
𝐶𝑣 =
𝑘 ∙ (1 + 𝑒)
𝛾𝑤 ∙ 𝑎𝑣
 
Isolando o coeficiente de permeabilidade (𝑘), tem-se: 
𝑘 =
𝐶𝑣 ∙ 𝛾𝑤 ∙ 𝑎𝑣
(1 + 𝑒)
 
Notar que 𝛾𝑤 representa a massa específica da água (aproximadamente 1000 kg/m³ ou 0,001 
kg/cm³), enquanto 𝑎𝑣 é o coeficiente de compressibilidade. Observar também que as unidades 
das propriedades devem ser compatíveis. O valor do coeficiente de permeabilidade (𝑘) é 
determinado conforme a substituição dos valores na expressão: 
𝑘 =
𝐶𝑣 ∙ 𝛾𝑤 ∙ 𝑎𝑣
(1 + 𝑒)
=
3,95 ∙ 10−7 ∙ 0,001 ∙ 0,1098
(1 + 0,71)
 
𝑘 = 2,54 ∙ 10−11 
cm
seg
 
 
4. Considerando os dados do exercício: 
𝐿 = 𝐵 = 2 m 
𝐸 = 20000 kPA ≅ 20000 ∙ 104 kgf/m² = 2 ∙ 108 kgf/m² 
𝜐 = 0,25 
𝜎 = 0,1 MPa ≅ 0,1 ∙ 107 = 1 ∙ 106 kgf/m² 
Como a sapata possui seção quadrada, o coeficiente de forma será: 
𝐼𝑝 = 0,99 
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O recalque imediato será: 
𝜌𝑖 = 𝜎 ∙ 𝐵 ∙ 𝐼𝑝 ∙ (
1 − 𝜐2
𝐸
) = 1 ∙ 106 ∙ 2 ∙ 0,99 ∙ (
1 − 0,252
2 ∙ 108
) 
𝜌𝑖 = 9,28 ∙ 10
−3 m = 9,28 mm 
 
5. Nesse problema devemos determinar o coeficiente de variação volumétrica 𝑚𝑣, que está 
relacionado à perda de água intersticial. Tal parâmetro é obtido pela seguinte equação: 
𝑚𝑣 =
𝑎𝑣
1 + 𝑒0
 
Sendo 𝑎𝑣 o coeficiente de compressibilidade e 𝑒0 o índice de vazios inicial do solo. O 
coeficiente de compressibilidade 𝑎𝑣 é definido pela expressão: 
𝑎𝑣 =
∆𝑒
∆𝜎′𝑣
 
Sendo ∆𝑒 a variação do índice de vazios e ∆𝜎′𝑣 a pressão aplicada na camada. Podemos 
substituir 𝑎𝑣 na primeira equação, logo o coeficiente de variação volumétrica 𝑚𝑣 pode ser 
dado em função das demais propriedades: 
𝑚𝑣 =
∆𝑒
∆𝜎′𝑣 ∙ (1 + 𝑒0)
= (
∆𝑒
1 + 𝑒0
) ∙
1
∆𝜎′𝑣
 
Sabe-se que o recalque primário 𝜌𝑐 é obtido pela equação: 
𝜌𝑐 = (∆𝑒
1 + 𝑒0
) ∙ 𝐻0 
Nessa expressão, 𝐻0 é a altura inicial da camada. Podemos isolar os elementos entre 
parênteses: 
(
∆𝑒
1 + 𝑒0
) =
𝜌𝑐
𝐻0
 
Portanto, o coeficiente de variação volumétrica 𝑚𝑣 pode ser obtido pela expressão: 
𝑚𝑣 =
𝜌𝑐
𝐻0 ∙ ∆𝜎′𝑣
 
Nesse exemplo, temos os seguintes dados: 
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𝐻0 = 30 𝑐m 
𝑝𝑐 = 5 cm 
∆𝜎′𝑣 = 1,2 kgf/cm² 
Uma vez obtida a fórmula em função das propriedades analisadas, o coeficiente de variação 
volumétrica 𝑚𝑣 é determinado: 
𝑚𝑣 =
𝜌𝑐
𝐻0 ∙ ∆𝜎′𝑣
=
5
30 ∙ 1,2
 
𝑚𝑣 = 0,14 cm
2/kg 
Portanto, nesse caso o coeficiente de variação volumétrica 𝑚𝑣 e a perda de água intersticial 
equivalem a 0,14 cm²/kg. 
 
Resistência ao cisalhamento de solos – Semana 2 (Resolução) 
6. Considerando os dados do exercício: 
𝜎 = 12,4 kgf/cm² 
𝜙 = 36° 
𝑐 = 7,2 kgf/cm² 
É possível aplicar diretamente a fórmula da resistência ao cisalhamento por coesão (𝜏): 
𝜏 = 𝑐 + 𝜎 ∙ tan 𝜙 
𝜏 = 16,21 kgf/cm² 
 
7. Considerando os dados do exercício: 
𝜎1 = 20,33 kgf/cm² 
𝜎2 = 22,88 kgf/cm² 
𝜏1 = 16,72 kgf/cm² 
𝜏2 = 17,63 kgf/cm² 
8 
 
Aplica-se a fórmula da resistência ao cisalhamento por coesão, montando um sistema linear 
de equações: 
𝜏1 = 𝑐 + 𝜎1 ∙ tan 𝜙 → 16,72 = 𝑐 + 20,33 ∙ tan 𝜙 
𝜏2 = 𝑐 + 𝜎2 ∙ tan 𝜙 → 17,63 = 𝑐 + 22,88 ∙ tan 𝜙 
Resolvendo o sistema linear de equações segundo os princípios da álgebra linear, obtemos 
a coesão (𝑐) e o ângulo de atrito (𝜙) do solo: 
𝑐 = 9,46 kgf/cm² 
𝜙 = 19,64° 
 
Aterro sobre solos moles – Semana 3 (Resolução) 
8. Considerando os dados do exercício: 
𝐷 = 7 m 
𝐻 = 11 m 
𝑀 = 592 kg 
Para determinar resistência não drenada é necessário utilizar a expressão: 
𝑆𝑢 =
𝑀
𝜋 ∙ 𝐷2 ∙ (
𝐻
2 +
𝐷
6)
 
Definida a expressão, é necessário substituir o valor das propriedades e efetuar o cálculo, 
obtendo a resistência não drenada (𝑆𝑢): 
𝑆𝑢 =
592
𝜋 ∙ 72 ∙ (
11
2 +
7
6)
 
𝑆𝑢 = 0,577 kgf/cm² 
 
9. Considerando os dados da questão: 
𝑆𝑢 = 20,0 kN/m² 
9 
 
𝛾𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑜 = 19,0 kN/m³ 
𝐹𝑆 = 1,05 
𝑁𝑐 = 5,5 
É possível aplicar diretamente a equação da altura admissível para aterros moles (ℎ𝑎𝑑𝑚): 
ℎ𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝑐 ∙ 𝑆𝑢
𝛾𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑜 ∙ 𝐹𝑆
→ ℎ𝑎𝑑𝑚 =
5,5 ∙ 20
19,0 ∙ 1,05
 
ℎ𝑎𝑑𝑚 = 5,51 m 
 
Empuxos de terra – Semana 4 (Resolução) 
10. Considerando os dados do exercício: 
𝜑1 = 33° → Referente a camada superior, que provoca empuxo ativo. 
𝜑2 = 47° → Referente a camada inferior, que provoca empuxo passivo. 
O coeficiente de empuxo ativo (𝑘𝐴) é determinado para a camada superior: 
𝑘𝐴 = tan
2 (45° −
𝜑
2
) → 𝑘𝐴 = tan
2 (45° −
33°
2
) 
𝑘𝐴 = 0,29 
O coeficiente de empuxo passivo (𝑘𝑃) é calculado para a camada inferior: 
𝑘𝑃 = tan
2 (45° +
𝜑
2
) → 𝑘𝑃 = tan
2 (45° +
47°
2
) 
𝑘𝑃 = 6,44 
 
11. Considerando os dados para a camada superior: 
𝑞 = 2,5 tf/m²; 𝛾 = 1,5 tf/m³; 𝜑 = 30° ; ℎ = 7,0 m 
Dados relacionados à camada inferior: 
𝑞 = 4,0 tf/m²; 𝛾 = 1,80 tf/m³; 𝜑 = 45° ; ℎ = 4,5 m 
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Cálculo do empuxo ativo 
O coeficiente de empuxo ativo (𝑘𝐴) é determinado para a camada superior: 
𝑘𝐴 = tan
2 (45° −
𝜑
2
) → 𝑘𝐴 = tan
2 (45° −
30°
2
) → 𝑘𝐴 = 0,33 
A altura equivalente de terra é calculada: 
ℎ0 =
𝑞
𝛾
=
2,5
1,5
= 1,667 m 
A pressão no topo do muro é determinada: 
𝑝0 = 𝑘𝐴 ∙ 𝛾 ∙ ℎ0 = 0,33 ∙ 1,5 ∙ 1,667 = 0,83 tf/m² 
A pressão na base do muro é calculada: 
𝑝 = 𝑘𝐴 ∙ 𝛾 ∙ (ℎ + ℎ0) = 0,33 ∙ 1,5 ∙ (7,0 + 1,667) = 4,29 tf/m² 
Finalmente, o cálculo do valor do empuxo ativo é efetuado: 
𝐸𝐴 =
(𝑝0 + 𝑝)
2
∙ ℎ =
(0,83 + 4,29)
2
∙ 7 = 17,92 tf/m² 
𝐸𝐴 = 17,92 tf/m 
Cálculo do empuxo passivo: 
O coeficiente de empuxo passivo (𝑘𝑃) é determinado para a camada inferior: 
𝑘𝑃 = tan
2 (45° +
𝜑
2
) → 𝑘𝑃 = tan
2 (45° +
45°
2
) → 𝑘𝑃 = 5,83 
A altura equivalente de terra é calculada: 
ℎ0 =
𝑞
𝛾
=
4,0
1,8
= 2,222 m 
A pressão no ponto “A” é determinada: 
𝑝0 = 𝑘𝑃 ∙ 𝛾 ∙ ℎ0 = 5,83 ∙ 1,8 ∙ 2,222 = 23,32 tf/m² 
A pressão na base do muro é calculada: 
𝑝 = 𝑘𝑝 ∙ 𝛾 ∙ (ℎ + ℎ0) = 5,83 ∙ 1,8 ∙ (4,5 + 2,222) = 70,54 tf/m² 
Finalmente, o cálculo do valor do empuxo passivo é efetuado: 
11 
 
𝐸𝑃 =
(𝑝0 + 𝑝)
2
∙ ℎ → 𝐸𝑃 =
(23,32 + 70,54)
2
∙ 4,5 
𝐸𝑃 = 211,19 tf/m 
 
Estabilidade de taludes – Semana 6 (Resolução) 
12. Considerando os dados do exercício: 
𝜙 = 15° 
𝛽 = 25° 
𝛾 = 1,7 tf/m3 
𝑐’ = 2,0 tf/m² 
𝐻 = 2,5 m 
Como não foi citada alguma possível influência da água, não se considerada poropressão, 
logo 𝑚 ∙ 𝛾𝑤 = 0. Assim, é possível aplicar diretamente a equação do fator de segurança pelo 
método do talude infinito (𝐹𝑆): 
𝐹𝑆 =
𝑐′ + (𝛾 − 𝑚 ∙ 𝛾𝑤) ∙ 𝐻 ∙ cos
2 (𝛽) ∙ tan (𝜙)
𝛾 ∙ 𝐻 ∙ cos (𝛽) ∙ sen (𝛽)
→ 𝐹𝑆 =
2 + (1,7 − 0) ∙ 2,5 ∙ cos2 (25°) ∙ tan (15°)
𝛾 ∙ 𝐻 ∙ cos (25°) ∙ sen (25°)
 
𝐹𝑆 = 1,80 
Como FS > 1,0, podemos classificar o talude como estável. 
 
13. Considerando os dados do exercício: 
𝜙 = 15° 
𝛽 = 35° 
𝛾 = 1,9 tf/m3 
𝑐’ = 1,1 tf/m² 
Nessa questão é possível utilizar diretamente a equação da altura crítica do talude (𝐻𝑐𝑟𝑖𝑡): 
𝐻𝑐𝑟𝑖𝑡 =
4 ∙ 𝑐′
𝛾
∙ [
sen(𝛽) ∙ cos (𝜙)
1 − cos (𝛽 − 𝜙)
] → 𝐻𝑐𝑟𝑖𝑡 =
4 ∙ 1,1
1,9
∙ [
sen(35°) ∙ cos (15°)
1 − cos (35° − 15°)
] 
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𝐻𝑐𝑟𝑖𝑡 = 21,27 m 
Estruturas de contenção, reforço e arrimo – Semana 7 (Resolução) 
14. Considerando a altura do muro (ℎ): 
ℎ = 3,4 m 
Sabendo que o muro em alvenaria possui seção transversal retangular, e que nesse caso 
dimensão do topo e da base são iguais, é possível calcular diretamente a dimensão do topo 
do muro (𝑏) na equação: 
𝑏 = 0,4 ∙ ℎ 
𝑏 = 0,4 ∙ 3,4 
𝑏 = 1,36 m 
 
15. Considerando a altura do muro (ℎ): 
ℎ = 3,8 m 
O muro analisado, em concreto ciclópico e com seção transversal trapezoidal, terá a dimensão 
do topo (𝑏0) em função de sua altura, segundo a equação: 
𝑏0 = 0,14 ∙ ℎ 
𝑏0 = 0,14 ∙ 3,8 
𝑏0 = 0,53 m 
A dimensão da base do muro (𝑏) é calculada em função das outras duas propriedades 
geométricas, na equação: 
𝑏 = 𝑏0 +
ℎ
3
 
𝑏 = 0,53 +
3,8
3
 
𝑏 = 1,80 m 
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Barragens de terra e enrocamento – Semana 8 (Resolução) 
16. Considerando a altura máxima da barragem (𝐻): 
𝐻 = 14 m 
É possível calcular diretamente a largura mínima de crista da barragem (𝐿) pela fórmula 
empírica do U. S. Bureau of Reclamation, muito empregada no dimensionamento de 
barragens. Uma observação importante é que a altura, H, deve ser fornecida em metros. Além 
disso, note que na fórmula são atribuídos 3 metros de folga para largura de crista, o que 
garante um aumento na área de tráfego nessa região. 
𝐿 =
𝐻
5
+ 3 
𝐿 =
14
5
+ 3 
𝐿 = 5,8 m 
 
17. Considerando o valor mínimo da largura de crista da barragem (𝐿): 
𝐿 = 9,5 m 
A altura máxima da barragem (𝐻) pode ser isolada na equação: 
𝐿 =
𝐻
5
+ 3 
𝐻 = (𝐿 − 3) ∙ 5 
Já altura máxima é determinada substituindo o valor mínimo da largura de crista na equação: 
𝐻 = (9,5 − 3) ∙ 5 
𝐻 = 32,5 m 
 
18. A barragem será projetada com altura de 8 metros, logo: 
𝐻 = 8 m 
Utiliza-se a fórmula empírica do U. S. Bureau of Reclamation, já apresentada, para o cálculo 
da largura de crista da barragem: 
14 
 
𝐿 =
𝐻
5
+ 3 =
8
5
+ 3 
𝐿 = 4,6 m 
A base do maciço é determinada considerando a projeção dos taludes a jusante e a montante 
sobre a superfície do terreno, além da largurade crista, conforme equação abaixo: 
𝐵 = (𝑗 + 𝑚) ∙ 𝐻 + 𝐿 
As variáveis 𝑗 e 𝑚 se referem à proporção horizontal da inclinação dos taludes a jusante e a 
montante, respectivamente. Assim, nesse caso tem-se: 
Inclinação do talude a jusante → 1 : 2,0 → 𝑗 = 2,0 
Inclinação do talude a montante → 1 : 2,5 → 𝑚 = 2,5 
Note que a inclinação do talude é dada por vertical : horizontal. Usualmente a proporção 
horizontal é dada em função da vertical, por isso essa última assume valor unitário. 
Com os valores de 𝑗 e 𝑚, e a determinação da largura de crista 𝐿, calcula-se a largura de base 
da barragem de terra: 
𝐵 = (𝑗 + 𝑚) ∙ 𝐻 + 𝐿 = (2 + 2,5) ∙ 8 + 4,6 
𝐵 = 40,6 m 
É interessante observar que, nesse caso, os valores obtidos para a largura de crista e de base 
podem ser arredondados sem prejuízo no cálculo. Por exemplo, para uma largura de crista 
arredonda para 5 m (𝐿 = 5 m) obtém-se largura de base de 41 m (𝐵 = 41 m). Esse 
arredondamento pode ser útil na prática, embora haja aumento no volume da barragem.