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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Prof. André Luís Corte Brochi 
CÁLCULO VETORIAL 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Vetores: importantes para que possamos definir um tipo de função que nos 
permitirá, por exemplo, representar o movimento de uma partícula fornecendo, 
além da magnitude, a direção e o sentido em que ele ocorre: função vetorial (ou 
função a valores vetoriais). 
PRODUTO ESCALAR 
Cálculo Diferencial e Integral II 
EXERCÍCIO 1 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Dados os vetores e , verifique se são ortogonais. 
FUNÇÃO VETORIAL 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Considere que, no decorrer do tempo, uma partícula vai ocupando diferentes 
posições no plano. Essas posições são representadas por pares ordenados (x,y). 
Num instante t0 , por exemplo, ela ocupa a posição (x0,y0). A cada ponto dessa 
curva, podemos associar um vetor. 
FUNÇÃO VETORIAL 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Se estamos considerando que a cada instante t está associado um par ordenado 
(x,y) que descreve uma curva no plano, então podemos considerar as variáveis x 
e y como funções de t : 
 
 e 
é uma função vetorial ou função a valores vetoriais 
EXERCÍCIO 2 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Considere a função 
 
 
 
em que 
Determine seus valores para t = –1, t = 0, t = 1 e t = 2. Em seguida, esboce 
seu gráfico. 
Cálculo Diferencial e Integral II 
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EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Considere uma reta r, no plano, que passa por um ponto específico P0 = (x0 ,y0) e 
é paralela a um vetor v = (a,b) . Vamos tomar um ponto genérico P = (x,y) da reta 
r. Podemos considerar que existe t  R tal que: 
 
 
ou 
Equações paramétricas da reta r : 
EXERCÍCIO 3 
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Obtenhas as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P0 = (–2,1,3) e 
é paralela ao vetor 
 .4,6,5 v

DERIVADA DE FUNÇÕES VETORIAIS 
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               ktzjtyitxtrktzjtyitxtr

'''' 
EXERCÍCIO 4 
      .20 com , 
2
cos sen 





 tk
t
jttitttr

Um móvel descreve trajetória curvilínea dada pela função vetorial 
 
 
 
Determine sua velocidade no instante t = . 
 
Cálculo Diferencial e Integral II 
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INTEGRAIS DE FUNÇÕES VETORIAIS 
Cálculo Diferencial e Integral II 
                   .kdttzjdttyidttxdttrktzjtyitxtr

 
EXERCÍCIO 5 
A função vetorial 
 
 
representa o vetor velocidade de uma partícula para qualquer instante t de 0 a 10 
segundos. Sabendo que no instante t = 0 essa partícula ocupava a posição 
(0,1,1) como podemos determinar a sua função posição na forma 
vetorial? 
 
       kejtittv t
  212
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VETOR TANGENTE UNITÁRIO E VETOR NORMAL UNITÁRIO 
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       
   
 
   
 









tT
tT
tN
tr
tr
tT
ktzjtyitxtr
'
'
'
'






EXERCÍCIO 6 
Dada a curva 
 
 
obtenha os vetores tangente unitário e normal unitário no instante t = 2? 
 
       kjtittv

5323 
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COORDENADAS POLARES 
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EXERCÍCIO 7 122  yx
A equação 
 
 
define uma circunferência de centro em (0,0) e raio de medida 
igual a 2. Represente-a na forma polar. 
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FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS E DIFERENCIAÇÃO PARCIAL 
Cálculo Diferencial e Integral II 
EXERCÍCIO 8 
Dada a função 
 
 
determine as derivadas parciais de f em relação a x e em relação a y. 
 nxxxfw ,...,, 21 yxyxyxf  22),(
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REGRA DA CADEIA 
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EXERCÍCIO 10 
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dz
yxfz 





 ),(
Seja uma função de duas variáveis dada por 
 
 
em que e . 
 Obtenha a derivada de z em relação a t. 
 
),( yxfz  yxyxyxf  2),( 2
tx cos 5
2  ty
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