prepara av2

Prévia do material em texto

CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL II 
ANDRÉ LUÍS CORTE BROCHI 
CONTEÚDO DESTA AULA 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Integrais duplas 
Integrais triplas 
Cálculo de áreas e volumes 
Integrais duplas na forma pola 
Integral de linha 
Regra da cadeia 
INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS: ÁREAS E VOLUMES 
Integrais simples: cálculo de áreas sob uma função f(x)  0, para a  x  b.  
b
a
dxxfA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
INTEGRAIS DUPLAS: ÁREAS E VOLUMES 
Integrais duplas: cálculo do volume do sólido limitado f(x,y)  0, sobre uma região 
R. 
 
 
R
dydxyxfV ,
  
d
c
b
a
dydxyxfV ,
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
EXERCÍCIO 1 
Calcular o volume do sólido 
formado pela função 
 
 
para 
 
 
e pelo plano xy. 
  yxyxf ,
 42 e 31  yx
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
EXERCÍCIO 1 
   



  




































 
4
2
3
1
11
4
2
3
1
1
2
1
2
4
2
3
1
1
2
4
2
3
1
4
2
3
1
2
1
3
2
9
1
2
1
3
2
3
2
 
dyCyCy
dyCyCy
dyCxy
x
dydxyxdydxyxV
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
EXERCÍCIO 1 
   
 
 
20
481616
224444
4
24 
22
2
2
2
2
4
2
2
4
2
4
2
3
1




  
CC
CC
yy
dyydydxyx
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
EXERCÍCIO 2 
Utilizando derivadas duplas, calcule a área sob o gráfico da função   29 xxf  .33 para  x
-3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
 


3
3
9
0
 
2
dxdyA
x
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
EXERCÍCIO 2 
 
36
927927
3
27
27
3
27
27
3
9
 
 
22
22
3
3
2
3
3
3
9
01
3
3
9
0
3
3
9
0
2
2
2

































 
 
CC
CC
C
x
x
dxCy
dxdy
dxdyA
x
x
x
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
EXERCÍCIO 3 
Calcule a área da região fechada 
formada pelas funções 
 
 
 
 
 
 
-3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
x
y
    . e 2 2xxgxxf 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
 
 
     
2
9
3
8
42
3
1
2
2
1
3
2
22
2
2
3
1
12
2
1
3
2
2
 2
 
 
 
3232
1
2
32
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2







 

































 
 
x
x
x
dxxx
dxy
dxdy
dxdyA
x
x
x
x
x
x
EXERCÍCIO 3 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
INTEGRAIS DUPLAS NA FORMA POLAR 
1 2 3
1
2
3
x
y
EXERCÍCIO 4 
Calcule a área da região 
sombreada ao lado: 
 
 
21)( xxf 
29)( xxg  



3
0
9
1
 
2
2
dxdyA
x
x
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
 









2
4
4
 
2
 
 
2
0
2
0
2
0
3
1
2
2
0
3
1
3
0
9
1
2
2

















 
 


d
d
r
ddrr
dxdyA
x
x
EXERCÍCIO 4 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
EXERCÍCIO 5 
Calcule o volume do sólido 
ao lado: 
 
 
29)( xxg 
21)( xxf 
5h  



3
0
9
1
 5 
2
2
dxdyV
x
x
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
INTEGRAIS DE LINHA 
EXERCÍCIO 6 
Resolva a integral de linha de f(x,y) = xy² sobre a curva definida por 
 
 
 
2
0 , 
 sen
cos 






t
ty
tx
      

 dtttytxfdsyxf ' )(),( ,

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
 
   
   





2
0
2
2
 't sencos
 ' )(),(
 xy ,





dttt
dtttytxf
dsdsyxf
            jtittjtitt

cos sen' sencos         1cos sencos sen 2222  ttttt        20 220 2 1t sencos 't sencos
  dttdttt
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
 
 
3
1
3
0 sen
3
2
 sen
3
 1t sencos
3
3
23
2
0
22
0
2
0










 



C
u
duudtt
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II