EQUACAO TRES MOMENTOS

MÓD U LO 1 4 - Te n s ã o de Flexã o: Vi ga s H i po, I s o e Hipe re st á tica s e E qua çã o do s 3 Mom e nto s pa ra Mom e nto Fl e tor - Mé todo da E qua çã o dos T rê s Mom e nt o s 7 . M é t od o da E q u a ç ã o d o s Trê s Mo m e nt o s : D en t re os vá r ios mét o d os exi st en tes pa ra o cálc ul o d e v i gas hip er est átic as , será apr e s e nta do ne s ta dis c iplina o Mé todo da E q ua çã o dos 3 Mom e nt o s . A ná l is e do M é t odo da E qua çã o do s 3 M ome n t o s: O m é tod o calc u la os m o me nt o s f let or es em 3 apo i os ( X n - 1, X n e X n+1) seq ue nci a is de um a v iga , a p artir dos qu a is p o d e - s e c alc u la r os m o me nt o s f leto re s em q ua l qu e r s eção. Vamos es colhe r um tre c h o de d o is v ã os ( e ) e de t r ês a p oios (n -1 , n e n +1 ) d e uma v iga c o nt in u a s ujeita a um c a r r e gam ento q ua l qu e r con f o rme a f ig ur a aba i xo: A s e gu ir s er á ap re s e ntad a a E q ua ç ã o do s 3 M ome nto s pa ra uma v ig a com m om e n t o de i né rc i a cons ta nte no vã o e de v ã o pa r a vã o. I s t o q ue r diz e r, u ma v i ga s e m mí s ulas , c o m seç ã o t r an s v e rs al ig ua l, o u a p ro x ima da m en t e i g u al, ao l o n go d a v ig a. \uf0a7 Mi sul a : Fórm ula Onde : \uf0b7 e : compr ime nto dos vã o s \uf0b7 Xn -1 , X n e X n+ 1 : mome ntos nos a p oios \uf0b7 : Fatore s de car ga Os f a t o r es de c ar g a s ão f u nç ã o d a car g a at u a nte n o v ã o. Qu a ndo hou v e r mais de uma c ar ga at u a n do em u m me s mo v ão , os f at or e s d e c a rg a f i n ais s ã o d ad o s pela som a dos f a tor es de car ga d e c ad a u m a das c a rg as . - P a ra c arga uni formem e nt e di st rib uída a o longo do v ão : Fórm ula - P a ra c arga conc ent r ada no vão : Fórm ula s O í n dic e "1" na s f ó rmu l as de fator es de car ga ac ima i n d ic a ap oio d a es q u er d a e o í n dice "2" ind ic a ap oio d a d ir eita. 8 . N ú me r o d e A p l ica ç õ e s: Para s e c alc u la r os m o me nt o s f leto re s em tod os os apo i os de um v i ga c ont í n ua , de v e -s e ap lic ar a equ a ç ã o d os t r ês mome ntos em v ã os s ub s e q ue ntes do is a d ois. O re s u lt a d o é q ue o nú me ro total d e aplic a ç õ e s é ig ua l ao n úme ro de v ã os meno s um. E e xe m plo Pa ra qu a t ro v ã os , a pl ica -s e t rê s v e z e s a e qua çã o dos t rê s m ome nto s . C om a s t rê s a pl ica çõe s , fi c a - s e com t rê s e qua çõe s d o s t rê s mom e nto s , uma p a ra ca d a a pl ica çã o e t rê s incógni t a s (X1, X2 e X 3 ), já qu e os mom e nto s X 0 e X4 s ã o pre v i a me nte conhe cido s . 9 . Con v e n ç ã o de Sin a i s p a ra C á l c ulo d e M om ento s Fle t o r e s : Olha ndo a s c a rga s à e s q ue rda da s e çã o c on s i de ra da : (C on ve nçã o po s i tiva ) Olha ndo a s c a rga s à dire ita d a s e çã o con s i de ra da : (C on ve nçã o po s i tiva ) 1 . Cá l c ul o e D e s e nho d o D i a g ram a d e Mo m e nt o s F l e t o res d e Vig a Co ntí n u a : A v iga t e m doi s v ã o s , porta nt o s e rá ne ce ss á ri a um a a p l ica çã o d a E qua çã o do s Trê s Mom e n t o s . Fórm ula Eq ua çã o do s Trê s M om e nto s: 1º a pli ca ç ão: Vã os : A poi o s: n- 1 =0 n =1 n+1 =2 N os ap o ios de e x tr emid ade o v al or d o mome nt o s er á igu al a 0 ( z er o) - s e n ão h ou v e r bal anço. C á l c ul o do s fa tore s de c a rga C á l c ul o C á l c ul o Agora p ode mo s re s ol ve r a 1 ª a pl i ca ç ã o C á l culo 2( 4, 0 0 + 5, 0 0 ). X 1 = - 6( 9, 33 + 16,0 0) X1 = - 8,44 kN m 2 . R e a ç õ e s d e A p oio : As r ea ç õ e s de a poi o d e v em s e r c alc u lad as s e pa r ad a me nt e pa ra cad a vã o. Além da s c a r ga s no s v ã os ( dis trib uid as e/o u concent ra d as), de v e -se aplic a r t a mb ém o s m o me nt o s no s ap oios do resp eti v o v ã o. O s en ti d o de s tes mome nt o s (h o rá r io o u an t i - ho rá r i o) d e v e de f o r m ar o v ã o d a mes ma man eir a qu e a c ar g a aplic a da s ob r e el e. P a ra v ã o 1: \uf053 M 0 = 0 3,5 . 4 ,00 . 2, 0 0 - R 1 . 4 , 0 0 - ( -8,4 4) = 0 R 1 = 9 . 1 1 k N \uf053 V = 0 R 0 + 9 , 1 1 - 3, 5 . 4 ,00 = 0 R 0 = 4 , 8 9 k N P a ra v ã o 2 : \uf053 M 1 = 0 10 . 2 ,00 + ( - 8, 44 ) - R 2 . 5 , 0 0 = 0 R 2 = 2 , 3 1 k N \uf053 V = 0 R 1 + 2 , 3 1 - 10 = 0 R 1 = 7 , 6 9 k N A re a ç ã o no a p oio 1 é ig ua l a s oma d as r ea ç õ e s do ap oio 1 p ar a o s v ã os 1 e 2. 3 . Con c l u s ã o : Vi s ã o fina l da vi g a , c om m om e ntos no s a poi o s e re a çõe s de a poio , a p a rtir dos qua i s s e rã o ca lcul a dos o s m om e nto s fle t ore s que s e rv i rã o de ba s e pa ra o de s e nho do di a gra m a : O nd e c a l c ular as for ç as c ortantes? Força s cor ta nt e s : nas s eções d e iní c i o e de f im d e c ar g a dis tri bu í d a e i me di at a me nt e à esque r d a e imed i atame nte à di re it a d a s s eções de car ga c on c e ntra da . ( o bs .: a r e ação de a p oio é uma c ar g a c on c e n t r a da ) . ! i mporta nte É i ndife re nte o lha r a s ca rga s à e s que rda ou à di re it a de um a d e te rmi n a da s e çã o, o re s ul t a do é s e m pre o m e s m o! ! ! ! !! N o no sso e x e m p l o: As f or ç a s c or tant es de v erão s er c alc u l ad as n as s eg u intes s eções: 0 , 1e s q , 1d i r, Aes q , A d ir e 2 (e s q signi fica imed i atam en t e à e s q u e rd a da seç ã o e dir s ign i f ic a i me diatam en te à di re it a d a s e ç ã o) . C á l c ul o Se çã o 0 V 0 = 4 , 8 9 kN Se çã o 1 V 1es q , = + 4 ,89 - 3,5 . 4 , 0 0 = -9 ,11 k N V 1dir , = 10 - 2,31 = 7, 6 9 k N O ob s e rva çã o Em uma s eç ã o com c a r ga c o nce ntra da , do is c álc u los de v e m s e r r e aliz a d os. U m pa ra um a s e ç ã o im e di atame nte à e s q u er d a e outro par a um a seç ã o im e d i atam en t e à d i re i ta d a c ar g a c on c en tr ada . N o c álc u lo, tanto d a s eção à es qu e rd a c omo d a seç ã o à dir eit a d e c ar g a c on c e ntr ad a, p od e - s e s olhar as c a r ga s à es qu e r da o u à dir eit a de c a da s eção, o r e s u lt a d o de v e s e r s emp r e o mes mo. C á l culo Se çã o A V A e s q , = 10 - 2, 3 1 = 7 , 6 9 k N V A dir , = -2 ,31 k N Se çã o 2 V 2 = - 2, 3 1 k N D esenh o d os d i a g ram as C om os va lo re s das forças c or ta ntes no s vá r ios p on t o s da v iga , p od e-s e f azer o dese nho do dia g ra m a. Para es te d e s e n ho, a lg umas c on v e nções de v em s e r s eg ui das: \uf0a7 v a lo res d e f o rça corta nte p osit i v os, a c ima da linh a de re f e rên c ia e ne ga ti v o s , ab aixo d e s ta linh a . \uf0a7 linha d o d ia gr ama d e f o rças c or tant es entre d ois po nt os c on sec uti v os : - s e nã o h ou v e r c ar g a entr e es tes dois po ntos, a linh a é r e ta e h or iz o ntal. - s e ho u v e r c ar g a dis trib uída e nt r e e s tes do is p o ntos , a linh a é re t a e in c lin ad a. D esenh o fi na l D es e n ho f i na l d o d ia gr ama d e f o rças c or t a n t es do ex e m plo pr op o s to: 4 . On d e Ca l c u l a r o s M o me n t os Fl e to r e s ? : Mom e nto s fle tore s : n as s eções de i n í c io e d e f i m de c a rg a dis tribu í d a e nas s e ç õ es d e c ar g a c o ncentr ada . O ob s e rva çã o As r ea ç õ e s de a poi o são c ar g as c on c e n t r a d as. ! i mporta nte É in dife re nte ol ha r a s c a rga s à e s que rda ou à di re it a d e um a d e te rmi n a da s e çã o, o re s ul t a do é s e m pre o m e s m o!! ! ! ! ! N o no sso e x e m p l o: Os momentos f l et o r es de v e r ão se r calc ula d os na s s eg ui ntes s eç õ es: 0, 1, A , 2 . C á l c ul o Se çã o 0 M 0 = X 0 = 0 Se çã o 1 M 1 = X 1 = - 8,44 kN m Ou , olha nd o as c ar g as à es q ue r d a: C on v e nção: M 1 = +4, 89 . 4,00 - 3, 5.4,00.2, 0 0 = -8 ,44 k Nm O ob s e rva çã o Qu al que r q u e s eja a m a ne i ra d e se r ealiz a r o c álc u lo, ap r o v eitan do o va lo r da E q u açã o do s T r ês Mome nt o s , c a lc ula nd o- s e c om o s v alo r es à es q u er d a o u à dir eit a da s e ç ã o, o r e s u lt a do d e v e s er s e mp re o m e s m o. C á l c ul o Se çã o A C on v e nção: Olha n do as c ar ga s à di re it a : M A = + 2,31.3, 00 = 6 ,93 k N m Se çã o 2 M 2 = X 2 = 0 5 . Des e n h o d o s d i a g ram a s : C om os va lo re s dos mom en tos f l etor es no s v á r ios po ntos da v i ga, p od e -se f azer o desen ho d o dia g ra m a. Para es te d e s e n ho, a lg umas c on v e nções de v em s e r s eg ui das: \uf0a7 v a lo res d e m o me nto f l etor p osit i v os , ab aix o d a lin ha d e r e f e r ê nc ia e ne gati v os, aci ma d est a linh a. \uf0a7 linha d o dia gr a ma d e mo me nt o s f leto r es e ntre d ois pon tos c onsec u ti v o s : - se n ão h ou v e r car g a entr e e s tes do is p o ntos , a linh a é r eta e in c lin ada . - se h ou v e r car g a dis t r i b uída e n t r e e s tes dois po ntos, a l in ha é u ma p ar á b ol a d o 2 ° g r au . A pa r á bol a do 2 ° g r au n e c ess it a de t r ê s pon t os par a ser d es en h ad a. N o di agr a ma de momen t os fle t o r e s , do is dos po n t o s da p ar áb o l a s ão o s mom entos f l etor es no s po nt os ext r emos. H á a neces si d a de e ntão d e u m ter c e i ro p on to. E st e pon to é conseg uido " p e nd ur a n do- s e" ( pe nd u r a r s igni f ic a n o mes m o s en tido d a c ar g a ) o v al or qx ² / 8 ( q : v alo r da c a rg a, x : dis tânci a entr e o s do is p o ntos ) a pa rtir d a met a d e da r eta q u e u ne os po ntos ext r emos. ( o bs. : o s en t id o da car ga semp re e mpu rr a a " ba r r ig a" da p a rá b ol a) . 6 . Des e n h o F in a l : D e s e n ho fina l do dia gra m a de mom e ntos fle tore s do e x e m p lo propo s to :

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