campo eletrico e carga distribuida

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Aula 1_3
Campo Elétrico
Carga Distribuída
Física Geral e Experimental III
Prof. Cláudio Graça
Capítulo 2
Campos Elétricos de distribuições 
contínuas de carga elétrica
• Fundamentos: 
(Lei de Coulomb + Princípio da Superposição) 
Campos Elétricos de distribuições 
contínuas de carga elétrica
• Fundamentos: 
(Lei de Coulomb + Princípio da Superposição) 
Tipos de distribuição contínua de carga:
Campos Elétricos de distribuições 
contínuas de carga elétrica
• Fundamentos: 
(Lei de Coulomb + Princípio da Superposição) 
• Exemplos: carga volumétrica; superficial; linear
++++++++++++++++++++++++++
r
E(r) = ?• Linha de carga infinita
Campos Elétricos de distribuições 
contínuas de carga elétrica
• Fundamentos: (Lei de Coulomb + Princípio da Superposição) 
permanecem os mesmos.
• Mudanças:
• Outro Exemplo: Anel de carga
∑ ∫⇒
Densidade de Carga
• Como representar uma carga “q” distríbuida em um objeto?
Carga total
q
Elementos de carga
dq
• Superfície de carga:
σ = carga/m2 dq = σ dA
• Linha de carga:
λ = carga/m dq = λ dx
• Volume de carga:
ρ = carga/m3 dq = ρ dV
Geometria para o cálculo do campo
∫∫∫
−
−
=
v
dv
"r'r
"r'r)r(kE 3rr
rrr
ρ
dv)r(dq ρ=
∫∫∫=
v
dv
r
rˆ)r(kE 2r
r
ρ
dv
r
rˆ)r(Ed 2r
r
ρ=
22
11
'''
'''
'''
'''
rrr
rr
rrrˆ
rrr
rr
rr
rr
rrr
−
=
−
−
=
−=
Geometria para o cálculo do campo
∫∫∫=
v
dv
r
rˆ)r(kE 2r
r
ρ
22
11
'''
'''
'''
'''
rrr
rr
rrrˆ;rrr
rrr
rr
rrrrr
−
=
−
−
=−=
Substituindo teremos:
32
1
'''
'''
'''
'''
''' rr
rr
rr
rr
rr rr
rr
rr
rr
rr
−
−
=
−
−
−
∫∫∫
−
−
=
v
'''
'''
dv
rr
rr)r(kE 3rr
rrr
ρ
Exemplos: Distribuição contínua de carga
++++++++++++++++++++++++++
r
E(r) = ?Fundamentos: principio da superposição
“somar o campo elétrico produzido 
por cada elemento de carga, 
utilizando o principio a superposição 
para obter o campo final”
Aplicar:
• Utilizar a Lei de Coulomb para calcular o campo dE produzido por 
cada elemento de carga
• Planeje a integracão ao longo da linha usando os limites…
• x: {de -∞ a +∞} ou θ: {de - π/2 a +π/2}
• Procure as simetrias ? Isto pode ajudar com simplificações.
++++++++++++++++++++++++++++
θ
x
dE
dq
-∞ +∞
Densidade de carga = λ
Linha de carga
Devemos somar todas as 
contribuições dE de cada 
segmento dx para o campo 
total.
dx
"r'r
"r'rkEd 3rr
rrr
−
−λ=
jˆY'r
iˆx"r
=
=
r
r
2
3
22 Yx
)iˆxjˆY(dxkEd
+
−
=
λr
++++++++++++++++ x
y
rθ
dE
dxiˆx"r =r
jˆY'r =r
Densidade de carga = λ
Linha de carga
Devemos somar todas as 
contribuições dE de cada 
segmento dx para o campo 
total.
2
3
22 Yx
)iˆxjˆY(dxkEd
+
−
=
λr
jˆ
Yx
YdxkEd
iˆ
Yx
xdxkEd
y
x
2
3
22
2
3
22
+
=
+
−=
λ
λ
r
r
++++++++++++++++ x
y
rθ
dE
dxiˆx"r =r
jˆY'r =r
Linha de carga
jˆ
Yx
YdxkEd
iˆ
Yx
xdxkEd
y
x
2
3
22
2
3
22
+
=
+
−=
λ
λ
r
r
∫∫
∫∫
+
==
+
−==
x
yy
x
xx
Yx
YdxkEdE
Yx
xdxkEdE
2
3
22
2
3
22
λ
λ
x
x
r
r
( )
( )∫
∫
+
=
+
−=
x
y
x
x
Yx
dxYkE
Yx
xdxkE
2
3
22
2
3
22
λ
λ
Linha de carga
( ) ( )
( ) θ
θ
Y
cos
Yx
uuu
du
Yx
xdx
Yx
xdx
x
uuuxx
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
−
=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
==
+
=
+
∫∫∫
2
122
2
1
2
1
2
3
2
3
222
3
22
1
12
2
1
2
12
2
1
( ) 22232232322
11
Y
sencosd
Y)(coscos
Yd
YYx
dx
x
θθθ
θθ
θ
θ θ
===
+
∫ ∫∫
−
Fazendo xdxdu,Yxu 222 =+=
Fazendo 
θ
θθθθθ
θ
θ 2
21
cos
Ydd)tan(Ydtan
d
dYdx;tan
Y
x
=+===
Como 
22 Yx
xsen
+
=θ
( ) xx )Yx(Y
x
Yx
dx
2
1222
2
3
22 +
=
+
∫
Linha de carga
( )
θ
θ
θλλ
θλλ
cos
Y
k
)Yx(Y
xkE
sen
Y
k
Yx
YkE
x
xy
x
x
=
+
=
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
=
2
122
2
122
Linha de carga
2
1
2
1
θ
θ
θ
θ
θλ
θλ
cos
Y
kE
sen
Y
kE
y
x
=
=
Linha Infinita: 
Semi-infinita
finita { }21
2
0
22
θθθ
πθ
ππθ
;
;
;
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
−
Linha Infinita: 
Semi-infinita
finita 
Y
kE;
Y
kE yx
λλ
=−=
( ) ( )11 ; θθλθθλ coscosY
kEsensen
Y
kE yx −=−= 22
Y
kE;E yx
λ20 ==
Linha de carga
Linha infinita: 
Semi-infinita
Y
kE;
Y
kE
Y
kE;E
yx
yx
λλ
λ
=−=
==
20
++++++++++++++++ x
y
rθ
E
dx
+++++++++++++++++++++++++
x
y
Linha de carga infinita
++++++++++++++++ x
y
dx
r
Y
θ
dE
Usamos a Lei de Coulomb para obter 
dE:
Mas x e θ não são independentes!
x = Y tanθ
dx = Ysec2θ dθ
22
0 Yx
dq
4
1dE
+πε
=
Posição r em função de x e Y? 
Y
d
4
1dE
0
θλ
πε
=
Carga dq em função de dx?
dxdq λ=
θ
=+=
cos
Y)Yx(r 2/122
( )20 cos/Y
dx
4
1dE
θ
λ
πε
=
Portanto,
2
2
0 Y
dxcos
4
1dE θλ
πε
=
x
Linha de carga Infinita
• Componentes:
• Integração:
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
4
1
4
1
4
1
π
π
π
π
θ
θ
+
−
+
−
+
−
+
−
===
=−==
∫ ∫
∫ ∫
sen
Y
λ
πε
θcos
Y
λdθ
πε
dEE
Y
cosλ
πε
senθ
Y
λdθ
πε
dEE
o
π/
π/ o
yy
o
π/
π/ o
xx
Exθθλ
πε
−= sin
Y
d
4
1dE
0
x
++++++++++++++++ x
y
dx
rY
θ
dE
θ
Ey
θθλ
πε
+= cos
Y
d
4
1dE
0
y
• Solução:
• Conclusão:
O campo elétrico produzido por uma 
linha infinita de carga:
– é perpendicular a todos os pontos da linha
– é proporcional à densidade de carga
– diminui com 1/r.
++++++++++++++++++x
y
dx
r
Y
θ
dE
0sin
2/
2/
=∫
+
−
θθ
π
π
d
2cos
2/
2/
=∫
+
−
θθ
π
π
d Y
2
4
1E
0
y
λ
πε
=
0=xE
Linha de carga infinita
• Conclusão:
O campo elétrico produzido por uma 
linha infinita de carga:
– é perpendicular a todos os pontos da linha
– é proporcional à densidade de carga
– diminui com 1/r.
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
x
r
Linha de carga infinita
Campo de um plano infinito de carga
¾ O campo elétrico devido a uma linha 
Infinita de carga vale:
r
dyk
r
kdE σλ 22 ==
• λ é a densidade linear [C/m] e
• σ é a densidade superficial [C/m2]
θθθθ
θ
dsecZdy;tanZy;secZ
cos
Zr 2====
¾ Portanto: θθσ
θ
θθσ dseck
secZ
dsecZkdE 22
2
==
Utilizando os argumentos de simetria conclui-se que : Ex=0; Ey=0
∫
−
===
===
2
2
2
22
22
π
π ε
σ
σπθσ
θσθθθσθ
o
z
z
kdkE
dkcosdseckcosdEdE
Portanto o campo é constante e 
Independente de Z.
Distribuição esférica de carga
Modelo de Dalton Modelo de Thomson
Modelo atômico de
Rutherford
DISTRIBUIÇÃO ESFERICAMENTE SIMÉTRICA
• Condutor
• Isolante
Campo de uma distribuição casca esférica de carga
θθπσ
θθπσ
π
σ
dsenR
Rd)Rsen(σdAdq;
R
q
A
q
2
2
2
2
4
=
====
α
θθπσ
α cos
r
dsenRkcos
r
kdqdEx 2
2
2
2
==
xr
RrxcoscosxrrxR
xR
rdrsenθen
dxRsenrdrcosxRRxr
2
2
222
222
222
222
−+
=∴−+=
=
=∴−+=
αα
θθθ
dr)
r
Rx(
x
Rk
xr
Rrx
xR
rdr
r
RkdEx 2
22
2
222
2
2
1
2
2 −
+=
−+
=
σππσ
( ) ( )( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
−
+
−−−−+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
−=
−
+=
+
−
+
−
∫ RxRxRxRxRxx
Rk
r
Rxr
x
Rkdr)
r
Rx(
x
RkE
Rx
Rx
Rx
Rxx
111 22
2
22
22
22
2
σπσπσπ
Campo de uma distribuição esférica de carga
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
22
2
2
22
2
22
2
22
22
22
2
4
22
2
11
1
x
qkE;
x
Rk
RR
x
Rk
RxRx
)Rr()Rr(RxR
x
Rk
RxRx
RxRxRx
x
Rk
r
Rxr
x
Rkdr)
r
Rx(
x
RkE
x
Rx
Rx
Rx
Rxx
==
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+
+−−
−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
−
+
−−−−+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
−=
−
+=
+
−
+
−
∫
 πσ
σπ
σπ
σπ
σπσπ
Consequentemente o campo de uma casca 
é idêntico ao de uma carga pontual no 
centro da caca.
Para o campo no interior da casca, deve-se alterar os limites 
de integração:
0
22
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
−=
+
−
Rx
xR
x r
Rxr
x
RkE σπ
Blindagem eletrostática
Campo por uma esfera maciça de carga
2r
kqdq
r
kE
n
r == ∫
O campo de uma esfera, pode ser calculado pela soma dos campos de n
cascas de espessura infinitesimal, portanto
Para campos no interior da esfera, a carga que entra no cálculo, é devida
às cascas no interior do ponto:
r
R
kq
r
kqE
R
qrr
R
qrq
r
Rr
r
32
3
3
3
3
3
3
4
3
43
4
==
===
<
π
πρ
Resumo:Distribuições de campo elétrico
Dipolo ~ 1 / r3
Carga pontual ou esférica ~ 1 / r2
Linha infinita
de carga ~ 1 / r
Quadrupolo 1/ r4 
Plano infinito de carga 1 / r0 constante
Problema 
• Considere um anel circular com densidade 
uniforme de carga (λ C/m) . A carga total do 
anel é +Q.
• Qual é o valor do campo elétrico na origem?
+
(a) zero R
πλ
πε
2
4
1
0
(b) 2
04
1
R
Rλπ
πε
(c)
• Relembre que o campo total, na origem, é SOMA VETORIAL de todas 
as contribuições dos elementos de carga.
• Se a soma fosse ALGÉBRICA o resultado correto seria a opção (b) 
faça esse exercício. 
• Cada contribuição de um elemento de carga é anulada pela 
contribuição do elemento oposto!!
+
• Portanto, a SOMA VETORIAL, de todas as contribuições será ZERO! 
++++
+
+
++ + +
+
+
+
R
+
+
+
+
+
+
+
Campo criado por um anel de carga
2/122
c
3
c
2
)az("r'r
jˆaseniˆcosajˆyiˆx"r
kˆz'r
dl
"r'r
"r'rkrˆd
"r'r
dqkE
),z,0,0(P
+=−
θ+θ=+=
=
−
−λ=
−
=
=
∫∫
rr
r
r
rr
rr
rr
r
a.r" raio de anel um por :ponto No
( ) kˆaz
kqzE
E
E
/z
y
x
2322
0
0
+
=
=
=
r( )
θ
+
θ−θ−λ= ∫π adaz
jˆaseniˆcosakˆzkE
2
0
2/322
r Por simetria
Campo criado por um anel de carga
( )
 . 
z
kq a;z para
 como,
2≅>>
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
≅
+−≅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
=
+
=
=
=
z
2
2
z
2
2/32
2/32
3
2/322z
y
x
E
,
z
a
2
31z
kqE
...)z/a(
2
31
z
a1
kˆ
z
a1z
kqzkˆ
az
kqzE
0E
0E
r
O anel se comporta como 
um monopolo de carga
Campo criado por um disco de carga
{ } { }
( )
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−=
+
=
=
+
=
==
==
===
=
∫
∫∫
2122
0
2322
0
2322
2
0
22
122
020
/
a
/
a
/z
z
az
zk
bz
bdbak
bz
bdbdzkE
a;b;;
b
z
r
dbd"rkcos
r
dAkdE
bdθdlbr"bd.dbdA
dAdq
πσπσ
θσ
πθ
θσ
α
σ
θ
σ
π
 e onde onde
O campo se torna constante
o2
k2E,a
;0, E0z
ε
σ
=πσ→∞→
==
finito, z mantendo para e
simetria de argumentos pelos só para
Disco de carga com raio “a”
Limitações da Lei de Coulomb
0r quando →∞⇒= 2r
QkE
Ou seja o cálculo do campo 
não pode incluir o domínio da 
carga!!! Como se enfrenta 
este problema?
Exemplos:
• Campo no 
centro do disco:
• Campo devido a uma linha de carga infinita:
( )
( ) ( ) ( )
!!zero! realmente é agora o,r para limite cujo →
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
−πσ=
+
πσ=
=
+
θσ=
∫
∫∫
≠
π
2/1222/122
a
r
2/322
a
0r
2/322
2
0
z
rz
z1
az
z1k2
rz
rdr2ak
rz
rdrdzkE
Y
2
4
1E
0
y
λ
πε
=
0=xE As duas componentes para um ponto no infinito, tenderiam a 
zero, o que é uma incoerência pois existe carga lá, lembre-se a 
linha é infinita.... A lei de Coulomb não se aplica a pontos onde 
exista carga, pois E ⇒ ∞
Campo criado por um plano de carga
o2
k2E,a
0, E0z
ε
σ
=πσ→∞→
→=
 para e
 para
O campo se torna constante
++++++++++++++++++++++++++ o2ε
σE =
Campo criado por dois planos de carga
o2
k2E,a
0, E0z
ε
σ
=πσ→∞→
→=
 para e
 para
O campo se torna constante
++++++++++++++++++++++++++
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
E=0
E=0
o
E
ε
σ
=
Movimento de cargas elétricas 
em campos elétricos
• Relembre a definição do campo elétrico EqF
rr
=
• Relembre da Física I
• Considere partículas com carga e massa movendo-
se no campo elétrico. 
Observe que uma partícula movendo-se num campo elétrico, é
semelhante ao movimento de projéteis…
ax = 0 ay = constante
vx = vox vy = voy + at
x = xo + voxt y = yo + voyt + 1/2 at2
E
m
qaamF
rrrr
=⇒=
• Considere o seguinte campo elétrico, com um 
elétron colocado na posição indicada.
++++++++++++++++++++++++++
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
e-
Qual será a velocidade do elétron quando ele atingir a placa positiva?
d = 10 cm, E = 100 N/C, e = 1.6 x 10-19 C, m = 9.1 x 10-31 kg
Movimento de cargas elétricas 
em campos elétricos
d
++++++++++++++++++++++++++
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
e-
vo = 0, yo = 0
vf2 – vo2 = 2aΔx
ou, 
smxv f /109.1
6
=
( )( ) ( )m
kgx
CNCxv f 1.0101.9
/100106.12 31
19
2 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=
−
−
x
m
qEv f Δ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
= 22
Movimento de cargas elétricas 
em campos elétricos
++++++++++++++++++++++++++
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
e+
22
2
o
x
K4
eEx
m
eE
v2
1y
m
eEgpara
=−=
<<
2
2
o
22
o
y
0ooox
x)g
m
eE(
v2
1y
2
t)g
m
eE(
2
aty
tvx
t)g
m
eE(t
m
mgeEatv
0x;0y;vv
+−=
+−==
=
+=
+
==
===
Movimento de cargas elétricas 
em campos elétricos
Voxe+
Vox
Vy
e+
y
x
Aplicações Tecnológicas
Precipitação Eletrostática
Aplicações Tecnológicas: Jato de tinta
1. Carga: Material fotocondutor, é um semi-
condutor que fica condutor quando exposto à
luz.
2. Exposição à luz; partes expostas à luz 
perdem a carga, e as não expostas 
permanecem com a carga.’
3. Revelação da imagem: o toner positivo é
atraído para as partes com carga do tambor.
4. Transferência de imagem: O toner é
transferido para o papel com a carga negativa 
do tambor.
Aplicações Tecnológicas: Máquina Copiadora Xerox
O propulsor se ioniza na 
fonte de íons S e é
expulso como feixe de 
íons positivos com uma 
velocidade que depende 
da diferença de potencial 
V existente entre S e o 
anel acelerador B. Para 
evitar que o foguete se 
carregue, são injetados 
elétrons no feixe mediante 
o filamento F. O feixe é
focado mediante o anel A.
A força de empuxo será dada por:
dt
dmv
dt
dpF ==
Aplicações Tecnológicas: Motor Iônico