slides aula 04 Raciocinio Logico

Prévia do material em texto

1
Raciocínio Lógico
Prof. André Roberto Guerra
Aula 4
� Implicação Lógica
� Equivalência Lógica
2
Organização da Aula
� Envolve:
• Tabela-verdade
• Classificação de fórmulas da LP
� Tautologia
� Contradição
� Contingência
Implicação e Equivalência
Lógica
3
� Conectivos
• → (implicação / condicional)
•⇒ (implicação lógica)
• ↔ (bi-implicação)
•⇔ (equivalência lógica)
4
� Segundo o dicionário Michaelis, 
“implicar” significa: Originar, 
produzir como consequência, 
ser causa de: ...uma filosofia 
definitiva, ...implicaria a 
imobilidade do pensamento 
humano (Antero de Quental)
Implicação Lógica
5
� Definição
• A implicação lógica entre P
e Q (duas fórmulas 
proposicionais quaisquer), 
nesta ordem, ocorre se, e 
somente se, a implicação
(condicional “→”) entre elas 
gerar uma tautologia
6
2
� Os símbolos “→” e “⇒” são 
distintos pois, “→”
condicional é o resultado de 
uma operação lógica. 
Exemplo, considerando as 
proposições p e q, pode-se 
obter uma nova proposição 
expressa por p → q
7
� Já a Implicação Lógica
estabelece uma relação.
Exemplo: A condicional p^~p 
→ q é tautologia. Logo, p^~p →
q ⇒ T
8
p q ~p
p^ 
~p p^~p → q
V V F F V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
� Em outras palavras, uma 
proposição composta P (p, q, r, 
…) implica numa proposição 
composta Q (p, q, r, …) se em
qualquer linha da tabela verdade
de P → Q NÃO ocorrer de P ser V 
(verdadeiro) e Q se F (Falso). P ⇒
Q sempre que os valores de seus
conectivos forem V (Verdade)
9
� Em síntese, a condição 
necessária e suficiente para 
que uma implicação lógica 
qualquer representada por P ⇒
Q seja válida (verdadeira) é 
que a proposição condicional
P (p, q, r, …) → Q (p, q, r, 
…) seja uma tautologia
1
0
� Exemplo: verificar se p ^ q ⇒
p v q é válida. Para isso, basta 
construir a tabela verdade da 
proposição p ^ q → p v q e 
observar o resultado
1
1
p q p ^ q p v q p ^ q → p v q 
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V
� O Conjunto resposta da tabela 
verdade da proposição p ^ q →
p v q é uma tautologia. Sendo 
assim, p ^ q ⇒ p v q é válido 
(Verdadeiro)
1
2
3
� Exemplo: Verificar se p → q ⇒
p ↔ q é válida. Para isso, basta 
construir a tabela verdade da 
proposição p → q → p ↔ q e 
observar o resultado
1
3
p q p → q p ↔ q p → q → p ↔ q 
V V V V V
V F F V V
F V F V F
F F F F V
� O Conjunto resposta da tabela 
verdade da proposição p → q →
p ↔ q NÃO é tautologia. 
Sendo assim, p → q → p ↔ q
NÃO é válido (Falso)
1
4
� As Implicações Lógicas 
admitem certas propriedades 
que podem ser utilizadas na 
obtenção de outros resultados
• Estão categorizadas em:
� Implicações Imediatas
� Implicações Notáveis
Propriedades da Implicação
1
5
� Propriedade Reflexiva 
• Qualquer proposição P implica na 
própria proposição P P⇒P
� Propriedade Transitiva
• Se P⇒Qe Q⇒R então P⇒R
comprovado pela tabela verdade 
(P →Q^ Q →R) → (P →R)
Implicações Imediatas
1
6
� Regras de inferência
• Adição
• Simplificação
• Simplificação Disjuntiva
• Absorção
• Modus Ponens
• Modus Tollens 
• Silogismo disjuntivo
Implicações Notáveis
1
7
� Adição
Ocorre junto ao conectivo OU “v”
P⇒P v Q Q⇒P v Q
� Simplificação
Ocorre junto ao conectivo E “^”
P ^ Q ⇒ P P ^ Q ⇒ Q
1
8
4
� Simplificação disjuntiva
• Utilizada nos casos em que uma 
das proposições ocorre de forma 
contraditória e com um conectivo 
OU “v” sendo simplificada (P v 
Q) ^ (P v ~Q) ⇒ P 
Sou feliz ou me demito e Sou 
feliz ou não me demito. Logo, 
sou feliz
1
9
� Absorção
• Uma mesma proposição 
simples ocorre numa 
proposição condicional, sendo 
suficiente então pode ser 
omitida (absorvida) P → Q ⇒
P → (P ^ Q)
Se corro então pulo. Logo, se 
corro, então corro e pulo
2
0
� Modus Ponens
• Baseada em proposição 
condicional (P → Q) ^ P ⇒ Q
� Modus Tollens 
• Baseada em proposição 
contrapositiva de condicional 
(P → Q) ^ ~Q ⇒ ~P
2
1
� Silogismo disjuntivo
• Ocorre a partir de uma 
disjunção (conectivo “OU”) em 
que uma das proposições 
simples é contrariada 
validando a outra proposição
(P v Q) ^ ~P ⇒ Q
(P v Q) ^ ~Q ⇒ P
2
2
� Segundo o dicionário Michaelis, 
“equivalência” significa: 
igualdade de valor, 
correspondência [DICMAXI –
Michaelis Português]
Equivalência Lógica
2
3
� Definição
• A equivalência lógica entre 
P e Q (duas fórmulas 
proposicionais quaisquer), 
nesta ordem, ocorre se, e 
somente se, a bicondicional
“↔” entre elas gerar uma 
tautologia
2
4
5
� É importante lembrar que os 
símbolos “↔” e “⇔” são 
distintos pois, “↔”
bicondicional é o resultado de 
uma operação lógica. Já a 
equivalência Lógica, 
estabelece uma relação
2
5
� Duas proposições são logicamente 
equivalentes (ou equivalentes) 
quando ambas apresentam os 
mesmos valores lógicos. Ou 
ainda, são logicamente 
equivalentes (ou equivalentes)
quando o conjunto resposta de 
suas tabela verdade são iguais
2
6
� Em síntese, a condição 
necessária e suficiente para 
que uma equivalência lógica 
qualquer representada por P ⇔
Q seja válida (verdadeira) é 
que a proposição
bicondicional correspondente
P ↔ Q seja uma tautologia
2
7
� Exemplo: 
• A bicondicional ~(p^~q) ↔
(p → q) é uma equivalência. 
Logo, ~(p^~q) ⇔ (p → q) é 
tautologia
2
8
p q ~q p^ ~q ~(p^ ~q) p→q ~(p^ ~q) ⇔ p → q 
V V F F V V V
V F V V F F V
F V F F V V V
F F V F V V V
� Exemplo 2:
• A proposição p ↔ q ⇔
(p→q)^(q→p) é uma 
equivalência. Logo, p ↔ q ⇔
(p→q)^(q→p) é tautologia
2
9 p q p→q q→p
(p→q)^(q→p
) p ↔ q 
V V V V V V
V F F V F F
F V V F F F
F F V V V V
� Propriedade Reflexiva 
• Qualquer proposição P equivale
a própria proposição P P ⇔ P
� Propriedade Transitiva
• Se P ⇔ Q e Q ⇔ R então P ⇔
R Comprovado pela tabela 
verdade (P → Q) ^ (Q → R) ↔
(P → R)
Equivalências Imediatas
3
0
6
Quadro de Equivalências
Síntese
Raciocínio Lógico
� Implicação Lógica
� Equivalência Lógica
Referências de Apoio
� SANT'ANNA, A. S. O que é 
um Axioma. Capítulo 3. 
Barueri, SP: Editora Manoele, 
2003.