FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL 2 (64)

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Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P1 (01/09/2017) [0000]-p1/7
QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-4)
ando necessário, use pi = 3, 14, g=10 m/s2.
(1) [1,0] Um móvel executa MHS e obedece à função horária x=2cos(0,5pit+pi), no SI. O tempo necessário para que
este móvel vá da posição de equilíbrio para a posição de elongação máxima e o valor da aceleração no instante t são,
respectivamente:
 (a) 1 s e -pi2/2 cos(π/2t+π)
 (b) 1 s e -pi cos(2π/2t+2π)
 (c) 2 s e -pi2/4 cos(π/2t+π)
 (d) 1 s e -pi3/2 cos(3π/2t)
 (e) 2 s e -pi/4 cos(π/2t+π)
RESPOSTA: alternativa (a)
Sabemos que:
ω =
pi
2
=
2pi
T
=⇒ T = 2
1/2
= 4s
No período T o corpo faz a transição máxima e mínima quatro vezes, logo: ∆t=1s.
A aceleração é dada pela derivada segunda em função do tempo da função x(t). Portanto:
a(t) =
d2x(t)
dt2
= −2(0, 5pi)2cos(0, 5pit+ pi) = −pi
2
4
2cos(0, 5t+ pi)
Portanto:
a(t) = −pi
2
2
cos(0, 5t+ pi)
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(2) [1,0] Um corpo efetua um movimento harmônico simples linear (MHS), quando numa trajetória retilínea, oscila
periodicamente em torno de sua posição de equilíbrio sob ação da força restauradora cuja intensidade é proporcional
à distância do corpo ao ponto de equilíbrio. A figura ilustra um corpo de massa m preso a uma mola de constante
elástica k que será abandonado da posição x= 2m para dar início ao MHS em torno da posição de equilíbrio x=0, com
freqüência angular de 1 rad/s.
Despreza-se qualquer tipo de atrito ao movimento do corpo. Indique o gráfico que representa a função horária
da velocidade do corpo de massa m em um período completo (T) de oscilação.
(I) (II) 
(III) (IV) 
(V) 
 (a) Figura (I)
 (b) Figura (II)
 (c) Figura (III)
 (d) Figura (IV)
 (e) Figura (V)
RESPOSTA: alternativa (a)
A função que descreve umMHS é uma função trigonométrica do tipo seno ou cosseno. Como omovimento
para t=0s inicia com valor máximo de amplitude, podemos escrever que a posição x(t) do objeto é dada por:
x(t) = 2cos(ωt)
A velocidade é dada pela derivada da função posição x(t):
v(t) =
dx(t)
dt
= −2ωsen(ωt)
com ω = 2piTAssim:
v(t) = −2ωsen
(
2pit
T
)
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(3) [1,0] Um bloco de massa M preso a uma mola de constante k descreve um movimento harmônico simples hori-
zontal com uma amplitude A1. No instante em que o bloco passa pela posição de equilíbrio, um pedaço de massa m
cai verticalmente sobre o bloco de uma pequena altura, grudando-se nele. A nova amplitude e período são:
 (a) A2 = A1√M/(M+m) e T2 = 2pi√(M+m)/k
 (b) A2 = A1√M/(M+m) e T2 = pi√(M)/k
 (c) A2 = 2A1√M/m e T2 = 2pi√(m)/k
 (d) A2 = A1√M/m e T2 = 4pi√(M+m)/k
 (e) A2 = A1√M e T2 = 1/2pi√(M)/k
RESPOSTA: alternativa (a)
Note que o movimento está dependo da posição e assim usamos o método da energia. Antes da massa
cair E = const. Quando ela cai a colisão é totalmente inelástica, a energia diminui, voltando a ser constante
depois da colisão.
Antes da colisão:
E1 = 0+
1
2
Mv21 =
1
2
kA1
v1 =
√
k
M
A1
Enquanto o momento linear é: Mv1 + 0
Durante a colisão existe conservação do momento linear do sistema massa-bloco. A colisão dura muito
pouco tempo, de forma que a massa e o bloco se encontram em x = 0. Note que U = 0 e que temos somente
K, porém menor do que K antes da colisão.
Depois da colisão: o momentum linear é: (M+m)v2, e pela lei de conservação de momento linear
Mv1 = (M+m)v2
de onde podemos obter v2 e obtermos,
E2 =
1
2
(M+m)v22 =
1
2
M2
M+m
E1
Na verdade podemos dizer que a energia cinética perdida é usada para elevar a temperatura do bloco.
Como:
E2 =
1
2
kA2
Portanto:
A2 = A1
√
M
M+m
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O cálculo do período é:
T = 2pi
√
M+m
k
Veja que a amplitude tornou-se maior e o período menor.
(4) [1,0] Levando em consideração a oscilação na direção vertical de um carro, podemos considerar que este seja
suportado por quatro molas idênticas. As molas de um carro são ajustadas de um certo modo que a frequência
de vibração seja 4, 00Hz. al é a constante de cada mola se a massa do carro é 1500 kg e o peso é distribuído
igualmente sobre as molas? al será a frequência de vibração se cinco passageiros, com 70 kg cada, ocupam o
carro? (Considere pi2 = 10.)
 (a) k = 2, 4× 105N/m e f = 3, 6Hz
 (b) k = 9, 6× 105N/m e f = 3, 6Hz
 (c) k = 2, 4× 105N/m e f = 1, 8Hz
 (d) k = 9, 6× 105N/m e f = 1, 8Hz
 (e) k = 9, 6× 105N/m e f = 1, 6Hz
RESPOSTA: alternativa (a)
Constante de cada mola:
ω =
√
ke f
m
= 2pi f
ke f = 4pi2 f 2m = 4 · 10 · 16 · 1500 = 960000N/m
k =
ke f
4
= 240000 = 2, 4× 105N/m
Frequência de vibração:
f =
1
2pi
√
ke f
mtotal
f =
1
2pi
√
960000
1815
= 3, 6Hz
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QUESTÕES DISCURSIVAS
ATENÇÃO: A solução dessa questão deve ser feita no caderno de provas devidamente identificado com nome,
NUSP e turma.
(QD1) Um pêndulo simples é constituído de uma massa de m = 1 kg suspensa por um fio de comprimento L
com massa desprezível.
(a) [1,0] Escreva as equações de movimento para um ângulo de desvio θ em relação a posição de equilíbrio, justifi-
cando sua resposta.
Supondo que o pêndulo execute pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio:
(b) [1,0] Determine o comprimento para que o período de oscilação seja de pi s.
(c) [1,0] Mostre que a energia total do pêndulo é constante.
RESPOSTA:
(a) Direção radial: mar = mgcosθ-T
Direção tangencial: mat = -mgsenθ
(b) Contribuirá para o movimento apenas a componente tangencial:
m
d2S
dt2
= −mgsenθ
mL
d2θ
dt2
= −mgsenθ =⇒ d
2θ
dt2
+
g
L
senθ = 0
Para pequenas oscilações: senθ ≈ θ
d2θ
dt2
+ω2θ = 0
No período temos que:
T =
2pi
ω
= 2pi
√
L
g
Para T=pis:
pi = 2pi
√
L
g
=⇒ L = g
4
(c) Calcula-se primeiramente K e U:
K =
1
2
mv2 =
1
2
m
(
ds
dt
)2
=
1
2
mL2
(
dθ
dt
)2
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U = −
∫
~F · d~s = −
∫ θ0
0
mgsenθLdθ = mgL(1− cosθ0)
Para pequenas oscilações, podemos expandir cosθ em Taylor e portanto:
U =
mgLθ2
2
Equação diferencial e solução:
d2θ
dt2
+
g
L
θ = 0 =⇒ θ = θ0cos(ωt+ ϕ)
Dessa forma E = K+U
E =
1
2
mL2
(
dθ
dt
)2
+
mgLθ2
2
E =
1
2
mL2 [−θ0ωsen(ωt+ ϕ)]2 + mgL2 [θ0cos(ωt+ ϕ)]
2
E =
1
2
mLgθ20
[
sen2(ωt+ ϕ) + cos(ωt+ ϕ)
]2
E finalmente:
E =
1
2
mLgθ20
(QD2) Um planeta de massa m orbita uma estrela de massa M. Considerando a massa da estrela muito maior
que a do planeta, podemos descrever a energia mecânica E do sistema (constante) em termos do momento angular
L (constante), da distância entre o planeta e a estrela r e de sua velocidade radial drdt :
E = −GMmr + L
2
2mr2 +
m
2 (
dr
dt )
2 = Ue(r) + m2 (
dr
dt )
2
onde G é a constante gravitacional universal. Note que a contribuição da velocidade angular para a energia cinética
é completamente descrita em termos do momento angular L e do momento de inércia I = mr2. A combinação desse
termo com a energia potencial gravitacional dá origem a um potencial efetivo,Ue(r), dependente apenas de r.
(a) [1,0] al a distância re, correspondente ao mínimo da energia potencial efetiva?
(b) [1,0] Escreva a equação diferencial do movimento para pequenas oscilações ao redor de re, em termos de r′ =
r− re.
(b) [1,0] Calcule a frequência de oscilação ao redor de re.
Dê suas respostas em termos de M, m, L, G.
RESPOSTA:
(a)
Dado
Ue(r) = −GMmr +
L2
2mr2
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re ⇒ mnimo dUedr= 0
dUe
dr
=
GMm
r2
− L
2
mr3
= 0
re =
L2
GMm2
(b)
Fr = −dUedr = −
GMm
r2
+
L2
mr3
m
d2r
dt2
= −GMm
r2
+
L2
mr3
pequenas oscilações ao redor de re:
r′ = r− re ⇒ r = r′+ re
m
d2r′
dt2
= − GMm
(r′+ re)2 +
L2
m(r′+ re)3
Dividindo termo a termo por re podemos reescrever:
m
d2r′
dt2
=
G3M3m5
L4
[
−
(
r′
re
+ 1
)−2
+
(
r′
re
+ 1
)−3]
usando a aproximacao (u+ 1)n ≈ 1+ nu+ · · · para u� 1:
m
d2r′
dt2
=
G3M3m5
L4
[
−1+ 2 r′
re
+ 1− 3
(
r′
re
)]
m
d2r′
dt2
=
G3M3m5
L4
(
− r′
re
)
substituindo re:
m
d2r′
dt2
= −G
3M3m5
L4
[
r′GMm2
L2
]
d2r′
dt2
= −G
4M4m6
L6
r′
(c) Pela equação diferencial do movimento:
ω2 =
G4M4m6
L6
=⇒ ω = G
2M2m3
L3
= 2pi f
f =
1
2pi
G2M2m3
L3
FORMULÁRIO
Para u� 1 vale a aproximação (1+ u)n ≈ 1+ nu+ · · · .