Aula 05 Efeito da Temperatura

Prévia do material em texto

EFEITO DA TEMPERATURA EM 
ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
NOTAS DE AULA DE MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II
PROF.: ERIC MATEUS FERNANDES BEZERRA
E-MAIL: eric_mateusjes@hotmail.com 
Mossoró – RN
2016
T E M P E R A T U R A
I N T R O D U Ç Ã O
• As estruturas, de uma forma geral, estão submetidas a diferentes estados
de temperatura;
• A ação de uma variação de temperatura sobre as barras se dá segundo
duas formas:
▫ Aumento/redução uniforme de temperatura;
▫ Gradiente de temperatura entre as ‘faces’ externa e interna;
• A formulação evidenciada a seguir será para determinação de
deslocamentos provocados pela ação da variação de temperatura em
estruturas isostáticas, quando então a estrutura pode se expandir sem
restrições, não desenvolvendo , portanto, esforços internos
Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra
I N T R O D U Ç Ã O
• O modelo descrito corresponde às deformações livres que uma estrutura
isostática sofre pelo efeito térmico, uma vez que variações de
temperatura não provocam esforços internos em uma estrutura
isostática.
• Uma estrutura isostática não oferece resistência para acomodar um
alongamento ou encurtamento associado a uma variação de
temperatura. Isso significa que a variação de temperatura provoca
deformações sem que apareçam esforços em uma estrutura isostática.
Por outro lado, variações de temperatura em estruturas hiperestáticas
provocam deformações e esforços internos.
Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra
I N T R O D U Ç Ã O
Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra
• Da física básica, sabe-se que a variação de comprimento (ΔL)
devido a variação de temperatura (ΔT) é dada em função do
coeficiente de expansão térmica (α), como mostra a equação
abaixo.
Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra
TLL  0
COEFICIENTE DE DILATAÇÃO
• Considere a barra abaixo, sem vínculos, de altura h, onde impõe-se uma
variação de temperatura Te na face externa e Ti na face interna. Válida a lei
da dilatação linear ao longo da altura da seção transversal e Ti > Te , a
barra irá se expandir longitudinalmente e fletir com curvatura voltada para
cima, como mostra a figura.
Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra
EFEITO DA TEMPERATURA
• A deformação de um trecho com comprimento infinitesimal dx se deve
aos seguintes deslocamentos em duas seções transversais adjacentes.
Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra
a) deslocamento relativo dessas
seções na direção longitudinal de:
b) rotação relativa entre essas
seções de:
Tdxd  
   
h
TdxTdx
h
dd
d eiei




EFEITO DA TEMPERATURA
TGdxd 
• Das expressões:
▫ dδ - deformação linear
▫ dθ - deformação rotacional da seção
▫ α – Coeficiente de dilatação linear
▫ Ti - variação de temperatura interna
▫ T - variação de Temperatura no eixo x
▫ Te - temperatura externa
▫ Gt - gradiente de temperatura, dado por:
Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra
 
h
TT
G eiT


EFEITO DA TEMPERATURA
• Como foi visto, o trabalho virtual interno provocado por uma força
virtual pode ser dado por:
• Como:
• Substituindo, tem-se:
Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra
  dxGMdxTNU Ti ~~
TRABALHO VIRTUAL    dMdNU i
~~~
Tdxd   TGdxd 
• Utilizando o princípio da carga unitária, o deslocamento devido a
temperatura, pode, portanto, ser dado por:
• Sendo 𝑀 e 𝑁 , respectivamente, o momento fletor virtual e o
esforço normal virtual provocado por um carregamento unitário
aplicado no ponto e na direção que se pretende medir o
deslocamento δ.
Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra
 








 dxTNdxGM
xx
T 
~~
TRABALHO VIRTUAL
• Nessa equação, o somatório se refere à acumulação dos efeitos das
diversas barras da estrutura, a primeira integral com valor absoluto
igual à área do diagrama do momento fletor e a segunda integral
com valor absoluto igual à área do diagrama do esforço normal,
devidos ao estado virtual.
Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra
)(
2
~
ba
M
dxM
x

TRABALHO VIRTUAL
FMD
~
Exemplo
• Para o caso em que a estrutura esteja submetida a um
carregamento externo e à variação de temperatura, pode-se usar o
princípio da superposição e somar os efeitos. Logo:
Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra
Proveniente dos esforços internos
Proveniente da temperatura
 













 






 dxTNdxGMdx
GJ
TT
GA
VVf
EI
MM
EA
NN
xx
T
x
S  ~~~~~~
FÓRMULA DE MOHR
• A viga mostrada na figura abaixo é usada em um edifício sujeito a dois ambientes
térmicos. Se a temperatura na superfície de topo da viga é 25°C e na superfície de
baixo 70°C, determine a deflexão vertical da viga no seu ponto central B e o
deslocamento horizontal na extremidade C. Considere α= 11,7 (10-6)°C-1
E X E M P L O 0 1
Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra
A
C
B
• Seja o pórtico apresentado abaixo, no qual E=210000 MPa, seção de viga com
b=15 cm e h=45 cm, e seção de pilares, 25cm x 25cm. Admita que a variação de
temperatura sobre o bordo exterior seja de 25ºC e o interior seja 45ºC. Dado:
α=10-5 1/°C, calcule para ele:
▫ a) δx no ponto B;
▫ b) δy no ponto C;
▫ c) δx no ponto A;
▫ d) θz no ponto C;
E X E M P L O 0 2
Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra
T
i =
 4
5
°C
T
e 
=
 2
5
°C
T
i 
=
 4
5
°C
T
e =
 2
5
°C
Te = 25°C
Ti = 45°C
• O pórtico abaixo é submetido às seguintes variações de temperatura: aumento de
35°C na face externa das barras, aumentando de 15°C na face interna. As seções
retas das barras estão indicadas na figura. Determinar, pelo método dos trabalhos
virtuais, o deslocamento horizontal do apoio E, sabendo-se que α= 10-5 °C-1.
E X E M P L O 0 3
Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra
15°C
B
A
C
D
E
15°C
15°C
35°C
35°C
35°C CORTE BB
CORTE AA
• O pórtico abaixo sofre um acréscimo de temperatura de 16°C no seu interior.
Sabendo-se que α= 10-5 °C-1 e que a altura dos elementos é de 0,5 m, determine,
pelo método da carga unitária, o deslocamento horizontal no ponto D, o
deslocamento vertical no ponto C e a rotação no ponto B.
E X E M P L O 0 4
Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra
B
A
C
D
16°C
1
6
°C
• Para o pórtico, determine o deslocamento vertical em D e a rotação em A . Adote
α= 10-5 °C-1 e h = 0,8 m. Ti = -5 °C e Te = 25 °C.
E X E M P L O 0 5
Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra
-5 °C
25 °C
• Determine o deslocamento horizontal total nos pontos C e D. A viga está
submetida a um aumento uniforme da temperatura de 12 °C. Todas as barras tem
E = 108 kN/m2, α= 10-5 °C-1 e seção transversal com I = 10-3 m4
E X E M P L O 0 6
Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra
12 °C
12 °C
A
B C
D
8 kN/m
• HIBBELER, R. C. Structural Analysis. 8ª ed. New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2012.
• LEET, K. M.; UANG, C. M; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3ª ed.
São Paulo: McGraw-Hill, 2009
• MARTHA, L. F. Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos. 1ª ed. Rio de
Janeiro: Campus, 2010.
• SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de estruturas: métododas forças e método dos
deslocamentos. 2ª ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006.
• SÜSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural. 6ª ed. Rio de janeiro: Globo, 1981.
R E F E R Ê N C I A S
Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra