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EFEITO DA TEMPERATURA EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL NOTAS DE AULA DE MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II PROF.: ERIC MATEUS FERNANDES BEZERRA E-MAIL: eric_mateusjes@hotmail.com Mossoró – RN 2016 T E M P E R A T U R A I N T R O D U Ç Ã O • As estruturas, de uma forma geral, estão submetidas a diferentes estados de temperatura; • A ação de uma variação de temperatura sobre as barras se dá segundo duas formas: ▫ Aumento/redução uniforme de temperatura; ▫ Gradiente de temperatura entre as ‘faces’ externa e interna; • A formulação evidenciada a seguir será para determinação de deslocamentos provocados pela ação da variação de temperatura em estruturas isostáticas, quando então a estrutura pode se expandir sem restrições, não desenvolvendo , portanto, esforços internos Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra I N T R O D U Ç Ã O • O modelo descrito corresponde às deformações livres que uma estrutura isostática sofre pelo efeito térmico, uma vez que variações de temperatura não provocam esforços internos em uma estrutura isostática. • Uma estrutura isostática não oferece resistência para acomodar um alongamento ou encurtamento associado a uma variação de temperatura. Isso significa que a variação de temperatura provoca deformações sem que apareçam esforços em uma estrutura isostática. Por outro lado, variações de temperatura em estruturas hiperestáticas provocam deformações e esforços internos. Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra I N T R O D U Ç Ã O Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra • Da física básica, sabe-se que a variação de comprimento (ΔL) devido a variação de temperatura (ΔT) é dada em função do coeficiente de expansão térmica (α), como mostra a equação abaixo. Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra TLL 0 COEFICIENTE DE DILATAÇÃO • Considere a barra abaixo, sem vínculos, de altura h, onde impõe-se uma variação de temperatura Te na face externa e Ti na face interna. Válida a lei da dilatação linear ao longo da altura da seção transversal e Ti > Te , a barra irá se expandir longitudinalmente e fletir com curvatura voltada para cima, como mostra a figura. Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra EFEITO DA TEMPERATURA • A deformação de um trecho com comprimento infinitesimal dx se deve aos seguintes deslocamentos em duas seções transversais adjacentes. Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra a) deslocamento relativo dessas seções na direção longitudinal de: b) rotação relativa entre essas seções de: Tdxd h TdxTdx h dd d eiei EFEITO DA TEMPERATURA TGdxd • Das expressões: ▫ dδ - deformação linear ▫ dθ - deformação rotacional da seção ▫ α – Coeficiente de dilatação linear ▫ Ti - variação de temperatura interna ▫ T - variação de Temperatura no eixo x ▫ Te - temperatura externa ▫ Gt - gradiente de temperatura, dado por: Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra h TT G eiT EFEITO DA TEMPERATURA • Como foi visto, o trabalho virtual interno provocado por uma força virtual pode ser dado por: • Como: • Substituindo, tem-se: Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra dxGMdxTNU Ti ~~ TRABALHO VIRTUAL dMdNU i ~~~ Tdxd TGdxd • Utilizando o princípio da carga unitária, o deslocamento devido a temperatura, pode, portanto, ser dado por: • Sendo 𝑀 e 𝑁 , respectivamente, o momento fletor virtual e o esforço normal virtual provocado por um carregamento unitário aplicado no ponto e na direção que se pretende medir o deslocamento δ. Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra dxTNdxGM xx T ~~ TRABALHO VIRTUAL • Nessa equação, o somatório se refere à acumulação dos efeitos das diversas barras da estrutura, a primeira integral com valor absoluto igual à área do diagrama do momento fletor e a segunda integral com valor absoluto igual à área do diagrama do esforço normal, devidos ao estado virtual. Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra )( 2 ~ ba M dxM x TRABALHO VIRTUAL FMD ~ Exemplo • Para o caso em que a estrutura esteja submetida a um carregamento externo e à variação de temperatura, pode-se usar o princípio da superposição e somar os efeitos. Logo: Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra Proveniente dos esforços internos Proveniente da temperatura dxTNdxGMdx GJ TT GA VVf EI MM EA NN xx T x S ~~~~~~ FÓRMULA DE MOHR • A viga mostrada na figura abaixo é usada em um edifício sujeito a dois ambientes térmicos. Se a temperatura na superfície de topo da viga é 25°C e na superfície de baixo 70°C, determine a deflexão vertical da viga no seu ponto central B e o deslocamento horizontal na extremidade C. Considere α= 11,7 (10-6)°C-1 E X E M P L O 0 1 Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra A C B • Seja o pórtico apresentado abaixo, no qual E=210000 MPa, seção de viga com b=15 cm e h=45 cm, e seção de pilares, 25cm x 25cm. Admita que a variação de temperatura sobre o bordo exterior seja de 25ºC e o interior seja 45ºC. Dado: α=10-5 1/°C, calcule para ele: ▫ a) δx no ponto B; ▫ b) δy no ponto C; ▫ c) δx no ponto A; ▫ d) θz no ponto C; E X E M P L O 0 2 Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra T i = 4 5 °C T e = 2 5 °C T i = 4 5 °C T e = 2 5 °C Te = 25°C Ti = 45°C • O pórtico abaixo é submetido às seguintes variações de temperatura: aumento de 35°C na face externa das barras, aumentando de 15°C na face interna. As seções retas das barras estão indicadas na figura. Determinar, pelo método dos trabalhos virtuais, o deslocamento horizontal do apoio E, sabendo-se que α= 10-5 °C-1. E X E M P L O 0 3 Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra 15°C B A C D E 15°C 15°C 35°C 35°C 35°C CORTE BB CORTE AA • O pórtico abaixo sofre um acréscimo de temperatura de 16°C no seu interior. Sabendo-se que α= 10-5 °C-1 e que a altura dos elementos é de 0,5 m, determine, pelo método da carga unitária, o deslocamento horizontal no ponto D, o deslocamento vertical no ponto C e a rotação no ponto B. E X E M P L O 0 4 Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra B A C D 16°C 1 6 °C • Para o pórtico, determine o deslocamento vertical em D e a rotação em A . Adote α= 10-5 °C-1 e h = 0,8 m. Ti = -5 °C e Te = 25 °C. E X E M P L O 0 5 Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra -5 °C 25 °C • Determine o deslocamento horizontal total nos pontos C e D. A viga está submetida a um aumento uniforme da temperatura de 12 °C. Todas as barras tem E = 108 kN/m2, α= 10-5 °C-1 e seção transversal com I = 10-3 m4 E X E M P L O 0 6 Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra 12 °C 12 °C A B C D 8 kN/m • HIBBELER, R. C. Structural Analysis. 8ª ed. New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2012. • LEET, K. M.; UANG, C. M; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3ª ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2009 • MARTHA, L. F. Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos. 1ª ed. Rio de Janeiro: Campus, 2010. • SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de estruturas: métododas forças e método dos deslocamentos. 2ª ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006. • SÜSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural. 6ª ed. Rio de janeiro: Globo, 1981. R E F E R Ê N C I A S Efeito da temperatura - Eric Mateus Fernandes Bezerra
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