Aula 04 Teorema de Vereshchagin

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TEOREMA DE VERESHCHAGIN
ESTRATÉGIA PARA O CÁLCULO DAS PARCELAS DE ENERGIA DE 
DEFORMAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
NOTAS DE AULA DE MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II
PROF.: ERIC MATEUS FERNANDES BEZERRA
E-MAIL: eric_mateusjes@hotmail.com 
Mossoró – RN
2016
• O Método da Carga Unitária pode ser utilizado para calcular os
deslocamentos em qualquer ponto da estrutura através da
expressão abaixo:
• Em uma barra onde a seção transversal é constante e o material
linear elástico em todo seu domínio, permanece na integral ( I ):
I N T R O D U Ç Ã O
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dx
EI
MM
L

0
~
1 
dxMMI
L

0
~
• Pode-se evitar o desenvolvimento analítico da integral e adotar o
procedimento do russo A. N. Vereshchagin;
• Suponha, por exemplo, que é necessário calcular a integral do
produto de duas funções 𝑀(𝑥) ∙ 𝑀(𝑥) em um ponto do
comprimento L.
• Considerando que pelo menos uma destas é linear, sendo dada,
assim, por:
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dxxMxMI
L
 
0
)(
~
)(
bxaxM )(
~
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• Resulta:
• A primeira integral representa a área abaixo da curva M(x) (A),
enquanto a segunda representa o momento estático dessa área
em relação ao eixo vertical (Sy).
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dxxMbxaI
L
 
0
)()(  
LL
xdxxMbdxxMaI
00
)()(

L
M dxxMA
0
)(
L
y xdxxMS
0
)(
• O momento estático é igual ao produto área (A) pela coordenada
xc do correspondente centroide. Logo:
• Mas,
• Então:
• 𝑀(𝑥𝑐) é a ordenada da função 𝑀(𝑥) na abscissa (coordenada
horizontal) correspondente ao centroide de A.
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)( cM bxaAI 
cc bxaxM )(
~
)(
~
cM xMAI 
• Casos práticos:
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LMMI AA
~

)(
~
cxMAI  LMA AM 
AMxM
~
)(
~

AM
L0 x
AM
~
L0 xxc
L/2
• Casos práticos:
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LMMI AA
~
2
1
 )(
~
cxMAI 
LMA AM
2
1

AMxM
~
)(
~

AM
L0 x
AM
~
L0 xxc
L/3
• Casos práticos:
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LMMI AA
~
3
1
 )(
~
cxMAI 
LMA AM
2
1

A
A Mx
L
M
xM
~
~
)(
~

AM
L0 x
AM
~
L0 xxc
L/3
• Casos práticos:
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LMMI AA
~
6
1
 )(
~
cxMAI 
LMA AM
2
1
 x
L
M
xM A
~
)(
~

AM
L0 x
AM
~
L0 xxc
L/3
• Casos práticos:
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LMMMI ABA )
~~
2(
6
1
 )(
~
cxMAI 
LMA AM
2
1

A
AB Mx
L
MM
xM
~)
~~
(
)(
~



AM
L0 x
BM
~
L0 xxc
L/3
AM
~
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• Calcule os deslocamentos verticais nos pontos C e B e a rotação no ponto A da
viga abaixo. Considere apenas o efeito do momento fletor e que EI é constante.
E X E M P L O 0 1
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• Calcule o deslocamento vertical nas extremidades e no meio do vão da viga
abaixo. Considere apenas o efeito do momento fletor e que EI é constante.
E X E M P L O 0 2
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• Calcule a rotação no ponto A e os deslocamentos no meio do vão e na
extremidade livre da viga abaixo. Considere apenas o efeito do momento fletor e
que EI é constante.
E X E M P L O 0 3
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• Para a viga abaixo, calcule o deslocamento nos pontos B e D. Considere apenas
o efeito do momento fletor e que EI é constante.
E X E M P L O 0 4
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B C
• A viga mostrada na foto é utilizada para suportar uma parte do balanço do
saguão do modelo idealizado para o edifício. Assumindo que a viga está
simplesmente apoiada sobre os pilares (B é um rolete e C é um pino), calcule o
deslocamento vertical máximo (no ponto A). A estrutura é de aço (E = 205 GPa) e
o perfil utilizado é W150x18 (I = 6,35.10-6 m4). Considere apenas o efeito do
momento fletor no cálculo dos deslocamentos
E X E M P L O 0 5
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E X E M P L O 0 5
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• Para o pórtico abaixo, determine o deslocamento horizontal do ponto A, o
deslocamento vertical em C e a rotação em B. Considere E = 20 GPa. A viga
possui seção 20 cm x 50 cm e o pilar seção 20 cm x 40 cm.
E X E M P L O 0 6
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• Determine o deslocamento horizontal do ponto C no pórtico mostrado abaixo.
Considere E = 200 GPa e I = 235∙(10)6 mm4.
E X E M P L O 0 7
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• Calcule o deslocamento
vertical máximo no pórtico
ao lado. Em seguida, calcule
a rotação no ponto B.
• O pórtico está rotulado em
A e simplesmente apoiado
em D. Considere apenas o
efeito do momento fletor e
que EI1 é constante.
E X E M P L O 0 8
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• Para o pórtico abaixo, determine: o deslocamento horizontal em B e em E, vertical
em C, e a rotação em D. Considere E = 25 GPa e I = 3,6∙(10)-3 m4.
E X E M P L O 0 9
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10 kN
5 kN
2 kN/m
B
A
C
D
E
• Para o pórtico abaixo, calcule o deslocamento em D. Considere apenas o efeito
do momento fletor e que EI é constante.
E X E M P L O 1 0
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1,5 kN/m
• Determine a rotação no ponto C do pórtico em evidência. Considere E = 200 GPa
e I = 235∙(10)6 mm4.
E X E M P L O 1 1
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• HIBBELER, R. C. Structural Analysis. 8ª ed. New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2012.
• MARTHA, L. F. Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos. 1ª ed. Rio de
Janeiro: Elsevier, 2010.
• SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de estruturas: método das forças e método dos
deslocamentos. 2ª ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006.
• SÜSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural. 6ª ed. Rio de janeiro: Globo, 1981.
R E F E R Ê N C I A S
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