Aula 06 Deslocamento prescrito

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R E C A L Q U E D E A P O I O
< DESLOCAMENTO PRESCRITO >
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
NOTAS DE AULA DE MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II
PROF.: ERIC MATEUS FERNANDES BEZERRA
E-MAIL: eric_mateusjes@hotmail.com 
Mossoró – RN
2016
RECALQUE DE APOIO
• Os deslocamentos provocados por recalques de apoios, em geral, são
solicitações acidentais. Entretanto, as fundações (apoios dos pilares) de
uma estrutura, por exemplo, podem apresentar pequenos movimentos
que devem ser considerados em uma análise para avaliar a capacidade
de resistência da estrutura;
• Recalques de apoio não provocam esforços em uma estrutura isostática,
pois esta tem o número exato de vínculos para ser estável e, portanto,
sempre se ajusta a um pequeno movimento de apoio. Sendo assim,
recalques de apoio provocam apenas deslocamentos de corpo rígido em
uma estrutura isostática, sem que ocorram deformações ou esforços.
Recalque de apoio - Eric Mateus Fernandes Bezerra
I N T R O D U Ç Ã O
• Movimentos diferenciados de apoios em estruturas hiperestáticas
provocam deformações e esforços internos na estrutura. Assim como no
caso da variação da temperatura, os recalques de apoio podem
provocar solicitações que são de grande importância em estruturas
hiperestáticas.
• A mudança na configuração dos apoios provoca uma redistribuição nos
esforços, que pode, em geral, comprometer a integridade mecânica das
peças (local) ou da estrutura (global) como um todo.
• Níveis excessivos de recalque podem comprometer o uso das
edificações.
Recalque de apoio - Eric Mateus Fernandes Bezerra
I N T R O D U Ç Ã O
• Sendo assim, para estruturas hiperestáticas, um movimento de apoio
pode induzir deformações nas barras da estrutura, provocando esforços.
• Vê-se que a viga isostática não se deforma, tendo apenas um
movimento de corpo rígido sem o aparecimento de esforços internos. Já
a viga hiperestática tem deformações que induzem momentos fletores
na estrutura.
Recalque de apoio - Eric Mateus Fernandes Bezerra
I N T R O D U Ç Ã O
• Os recalques são deslocamentos prescritos sobre os apoios.
Correspondentemente, há uma reação vinculada a cada recalque, como
mostra a figura abaixo. Desse modo, é gerado um trabalho da reação
externa associada ao deslocamento prescrito.
 






x
S
ii dx
GJ
T
GA
Vf
EI
M
EA
N
F
22222
1 2222
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RECALQUE DE APOIO
• Deslocamentos prescritos
DESLOCAMENTO HORIZONTAL PRESCRITO
DESLOCAMENTO VERTICAL PRESCRITO (RECALQUE)
ROTAÇÃO PRESCRITA
Recalque de apoio - Eric Mateus Fernandes Bezerra
RECALQUE DE APOIO
• Considerando o PTV, o deslocamento em um ponto pode ser dado por:
• Nessa equação, j varia de 1 até o número total de deslocamentos
prescritos e Rj são as reações de apoio no estado virtual, reações essas
nos pontos correspondentes aos apoios da estrutura original onde
ocorrem os deslocamentos prescritos (recalques) ρj
• Se R e 𝜌 tiverem o mesmo sentido, seu produto será positivo. Caso
contrário, será negativo
 






x
S
jj dx
GJ
TT
GA
VVf
EI
MM
EA
NN
R 1111
~~~~
~
1 
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RECALQUE DE APOIO
• Para o caso em que a estrutura esteja submetida a um
carregamento externo, à variação de temperatura e a um
deslocamento prescrito, pode-se usar o princípio da superposição
e somar os efeitos. Logo:
Proveniente dos esforços internos
Proveniente da temperatura
Proveniente do recalque de apoio
 














 dxTNdxGMdx
GJ
TT
GA
VVf
EI
MM
EA
NN
R
xx
T
x
S
j
j  1111111 ~~~~~~~
Recalque de apoio - Eric Mateus Fernandes Bezerra
RECALQUE DE APOIO
• Para a estrutura da figura abaixo, determinar o deslocamento vertical em A e a
rotação relativa entre as extremidades da articulação do ponto C, causadas por
um recalque vertical para baixo de 1,5 cm no apoio intermediário e pelo
carregamento mostrado. Considere E = 25 GPa e viga com seção retangular 0,15
m x 0,40 m.
E X E M P L O 0 1
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A B C
D
A B C D
• Para a viga abaixo, determine a rotação relativa em B e o deslocamento vertical
para baixo nos pontos D e E. Considere um engaste em A, uma articulação em B
e um apoio simples em C. A rigidez à flexão é EI = 2000 t.m². O apoio A sofre
uma rotação prescrita de 10-3 rad no sentido anti-horário.
E X E M P L O 0 2
Recalque de apoio - Eric Mateus Fernandes Bezerra
θA = 10
-3 rad
• A estrutura da figura é de aço (E = 2,1x107 t/m²). Os momentos de inércia são os
seguintes: I1= I2= 0,0001 m
4 e I3= I4= 0,0002 m
4. Considerando um recalque
vertical de 1 cm e um recalque horizontal de 0,5 cm no apoio A, calcule as
seguintes deformações elásticas:
E X E M P L O 0 3
Recalque de apoio - Eric Mateus Fernandes Bezerra
▫ a) Rotação da tangente à elástica
na extremidade B da barra 2;
▫ b) Rotação relativa em E das
extremidades das barras 3 e 4;
▫ c) Deslocamento horizontal em D;
▫ d) Deslocamento vertical de E. A B
C D
E
1
3 4
2
• HIBBELER, R. C. Structural Analysis. 8ª ed. New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2012.
• LEET, K. M.; UANG, C. M; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3ª ed.
São Paulo: McGraw-Hill, 2009.
• MARTHA, L. F. Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos. 1ª ed. Rio de
Janeiro: Campus, 2010.
• SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de estruturas: método das forças e método dos
deslocamentos. 2ª ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006.
• SÜSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural. 6ª ed. Rio de janeiro: Globo, 1981.
R E F E R Ê N C I A S
Recalque de apoio - Eric Mateus Fernandes Bezerra