Capitulo11 Alunos (1)

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João Bosco da Silva
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Tel.: (84) 99981-4232
bosco@ufrnet.br
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Mecânica
MEC1508 Dinâmica
Referências
	É uma subdivisão das ciências físicas que trata do estado de repouso ou de movimento de corpos submetidos à ação de forças.
Mecânica
Cinemática das Partículas
1) Partículas, Corpos Rígidos
2) Corpos Deformáveis
Dinâmica
Cinemática – Trata dos aspectos geométricos do movimento.
Cinética – Analisa as relações entre as forças (causa) e o movimento (efeito).
Estática
Estuda as condições dos corpos em repouso.
Mecânica Contínua
Elasticidade
Mecânic dos Fluidos
Mecânica
1) Partículas, Corpos Rígidos 2) Corpos Deformáveis
Dá origem a Equações Diferenciais Ordinárias
Dá origem a Equações Diferenciais Parciais
	A solução de um problema de mecânica normalmente requer resolver uma equação diferencial.
Este curso abordará a classe 1: Partículas, Corpos Rígidos
Cinemática das Partículas
	É uma subdivisão das ciências físicas que trata do estado de repouso ou de movimento de corpos submetidos à ação de forças.
Mecânica
Aplicações da Dinâmica
	Por movimento entende-se o deslocamento de um corpo no espaço. Este movimento é cinematicamente conhecido quando em qualquer instante for possível caracterizar:
A posição;
A velocidade;
A aceleração.
Em todos os seus pontos ou partes constituintes.
Cinemática das Partículas
	 É um corpo cujo tamanho não afeta sua resposta às forças que atuam sobre ele.
Partículas
	O movimento de grandes objetos como foguetes, aviões, ou carros, pode ser analisado frequentemente como se eles fossem partículas
Aplicações da Dinâmica
	Estando a posição de movimento associada à noção das variações das posições dos corpos de instante a instante relativamente a pontos considerados fixos, o conceito de movimento é essencialmente relativo, pois depende do referencial considerado.
	Portanto, nos problemas que irão ser abordados, o tempo é a variável independente, sendo todas as outras variáveis e características expressa em função dele.
Cinemática das Partículas
	 O condutor de um automóvel em movimento permanence sempre na mesma posição se o referencial considerado for o assento, mas muda de posição de instante para instante se o referencial for a Terra.
Exemplo
Movimento Retilíneo de Partículas
Cinemática das Partículas
	 O movimento de uma partícula ao longo de uma linha reta é chamado Movimento Retilíneo. Para definir a posição P da partícula, escolhe-se uma origem fixa O, e um sentido positivo ao longo da linha reta. A distância x de O a P, e o correspondente sinal, definem completamente a sua posição, conhecida por Coordenada de Posição da partícula.
Posição
Movimento Retilíneo de Partículas
No limite:
Cinemática das Partículas
	 	A velocidade média da partícula, ao longo do intervalo t, é definida como o quociente entre o deslocamento x e o intervalo de tempo t:
Velocidade
	 	A velocidade instantânea v de uma partícula no instante t é obtida a partir da velocidade média, através da imposição de tempos e de distâncias cada vez menores :
Velocidade
Movimento Retilíneo de Partículas
Cinemática das Partículas
	 	 A velocidade v é representada por um número real que pode ser positivo ou negativo. Um valor positivo de v indica que x aumenta, isto é, que a partícula se move no sentido positivo:
Velocidade
	 	 Um valor negativo de v indica que x diminui, isto é, que a partícula se move no sentido negativo:
Velocidade
	Considere uma partícula com velocidade v no instante t, e, no instante t + t, com velocidade v + v :
Movimento Retilíneo de Partículas
No limite:
Cinemática das Partículas
	 	 A aceleração média da partícula durante o intervalo de tempo t é definida como o quociente entre v e t:
Aceleração
	 	 A aceleração instantânea a de uma partícula no instante t é obtida a partir da aceleração média, escolhendo velocidades e tempos cada vez menores:
Aceleração
Movimento Retilíneo de Partículas
	Um valor negativo de a indica que a velocidade diminui, isto é, a partícula se move mais lentamente no sentido positivo, ou mais rapidamente no sentido negativo:
Cinemática das Partículas
	 	 A aceleração a é representada por um número real que pode ser positivo ou negativo. Um valor positivo de a indica que a velocidade (isto é, o número v), aumenta. Isto pode significar que a partícula se move mais depressa no sentido positivo, ou mais lento no sentido negativo, em ambos os casos o valor de v é positivo
Aceleração
Movimento Retilíneo de Partículas
Está acelerada (isto é, move-se mais rapidamente) nos exemplos abaixo:
A aceleração pode também ser expressa como:
Cinemática das Partículas
	 	 O termo desaceleração é por vezes utilizado quando o valor de a pretende representar um decréscimo na velocidade da partícula (isto é, do módulo de v), a partícula está, por isso, em movimento mais lento. Veja os exemplos abaixo:
Aceleração
A aceleração é uma dada função de
Determinação do Movimento de uma Partícula
Aplicando as condições iniciais, tem-se: 
A aceleração é uma dada função de
Aplicando as condições iniciais, tem-se: 
Cinemática das Partículas
A aceleração é uma dada função de
Determinação do Movimento de uma Partícula
ou ainda:
Cinemática das Partículas
	Neste movimento, a aceleração a da partícula é zero, qualquer que seja o valor de t. A velocidade v é, por isso, constante, e transforma-se em:
Movimento Retilíneo Uniforme
Cinemática das Partículas
Movimento Retilíneo Uniforme Acelerado
	Neste movimento, a aceleração a da partícula é constante, qualquer que seja o valor de t, e transforma-se em:
Cinemática das Partículas
Movimento Relativo de duas Partículas
	Nas figuras estão representadas a posição de duas partículas, em que os vetores rA e rB (xA e xB) são as posições absolutas dessas partículas. A posição relativa entre as duas partículas é definida pelo vetor rb/a (xb/a), e representa a posição da partícula B em relação à partícula A. 
Cinemática das Partículas
Cinemática das Partículas
	 	 	Muitas vezes, a posição de uma partícula depende de uma ou várias outras partículas. Os movimentos são ditos dependentes.
Movimentos Dependentes
Continuação
Cinemática das Partículas
	 	 	Muitas vezes, a posição de uma partícula depende de uma ou várias outras partículas. Os movimentos são ditos dependentes.
Movimentos Dependentes
Significado físico das equações fundamentais
Solução Gráfica de Problemas de Movimento Retilíneo
Cinemática das Partículas
Integrando as equações fundamentais
Solução Gráfica de Problemas de Movimento Retilíneo
Cinemática das Partículas
Outros Métodos Gráficos
Substituindo, na integral, dv por a dt, tem-se:
Cinemática das Partículas
	Uma solução gráfica alternativa pode ser usada para determinar a posição de uma partícula em um dado instante, diretamente a partir da curva v-t. representando os valores de x e v em t = 0 por x0 e v0, e seus valores em t = t1 por x1 e v1, e observando que a área sob a curva v-t pode ser decomposta em um retângulo de área v0t1 e elementos diferenciais horizontais de área (t1 – t)dv, (figura abaixo), escreve-se:
Outros Métodos Gráficos
Método
do Momento de Área
Cinemática das Partículas
	Recorrendo-se à figura abaixo, nota-se que a integral representa o primeiro momento de área sob a curva a-t, em relação à linha t = t1, que limita a área à direita. Este método de solução é conhecido, então, como método do momento de área. Se a abscissa t do centróide C da área for conhecida, a coordenada de posição x1 pode ser obtida escrevendo:
Se a área sob a curva a-t for uma área composta, o último termo em (1) pode ser obtido multiplicando-se cada área componente pela distância a partir de seu centróide à reta t = t1. As áreas acima do eixo t são consideradas positivas e as áreas abaixo de eixo t, negativas.
Outros Métodos Gráficos
	Também, utiliza-se um outro tipo de curva de movimento, a curva v-x. Neste caso, a aceleração a pode ser obtida, a partir do gráfico desta curva (figura ao lado), desenhando a normal AC à curva e medindo a subnormal BC. De fato, observando que o ângulo entre AC e AB é igual ao ângulo θ, entre a horizontal e a reta tangente em A (cujo inclinação é tan(θ) = dv/dx), escreve-se:
Cinemática das Partículas
Vetor de Posição, Velocidade e Aceleração
Movimento Curvilíneo de Partículas
Cinemática das Partículas
	 	 	 Sempre que uma partícula se desloca ao longo de uma trajetória que não seja uma linha reta, diz-se que a partícula está em movimento curvilíneo.
Movimento Curvilíneo
Movimento Curvilíneo de Partículas
	Considere que, nos instantes t e t + ∆t a velocidade da partícula é v e v’ respectivamente.
O vetor ∆v, que une as extremidades Q e Q’, traduz a variação de velocidade da partícula durante o intervalo de tempo ∆t, já que o vetor v’ é obtido pela soma dos vetores v e dv.
Aceleração Média:
Aceleração Instantânea:
Cinemática das Partículas
Vetor de Posição, Velocidade e Aceleração
Movimento Curvilíneo de Partículas
	Observando-se a trajetória descrita pela extremidade do vetor velocidade v, com a sua origem fixa em O’ (figura ao lado) verifica-se que o vetor aceleração a é tangente àquela trajetória, que designa-se por hodógrafo do movimento.
Note-se que o vetor aceleração não é, geralmente, tangente à trajetória descrita pela paartícula (figura abaixo).
Cinemática das Partículas
Vetor de Posição, Velocidade e Aceleração
Componentes Retangulares da Velocidade e da Aceleração
Movimento Curvilíneo de Partículas
	Quando a posição de uma partícula P for definida em qualquer instante por suas coordenadas retangulares x, y e z, torna-se conveniente decompor a velocidade v e a aceleração a dessa partícula componentes retangulares (figuras abaixo).
Cinemática das Partículas
Movimento de um Projétil
Movimento Curvilíneo de Partículas
	Seja, por exemplo, o caso do movimento de um projétil, para o qual a resistência do ar se pode desprezar; pode verificar-se que as componentes da aceleração são expressas por:
	Se definirmos a posição de um canhão através das coordenadas x0, y0 e z0, e as condições de velocidade inicial v0 do pojétil por (vx)0, (vy)0 e (vz)0, a integração dupla em t permite obter: 
Cinemática das Partículas
Movimento Relativo a um Sistema de Referência em Translação
Movimento Curvilíneo de Partículas
	Considere duas partículas A e B que se movem no espaço (figura abaixo); os vetores ra e rb definem, em qualquer instante, as suas posições relativamente ao sistema de referência fixo Oxyz. Seja agora um sistema de eixos x’, y’ e z’, centrado em A e paralelo aos eixos x, y, z. Enquanto a origem A se desloca, os eixos mantêm a sua orientação; diz-se então que o sistema de eixos Ax’y’z’ está em translação relativamente a Oxyz. 
Cinemática das Partículas
Exemplo
	Enunciado: Uma motocicleta movimenta-se numa pista retilínea a uma velocidade de 27 m/s. Quando os freios são aplicados, a motocicleta desacelera a uma taxa de (6t) m/s2.
	Determine: A distância que a motocicleta movimenta-se até parar.
	Solução: Estabeleça as coordenadas positivas na direção do movimento da motocicleta. Já que a aceleração é dada como uma função do tempo, integre-a uma vez para calcular a velocidade e novamente para calcular a posição. Use as condições iniciais para obter a resposta final.
Cinemática das Partículas
1) Integre a aceleração para determinar a velocidade.
Exemplo
2) Pode-se agora determinar o tempo necessário para a motocicleta parar (v = 0). Use vo = 27 m/s.
3) Agora calcule a distância deslocada em 3 s integrando a velocidade usando, 
Cinemática das Partículas
Componentes Tangencial e Normal
Movimento Curvilíneo de Partículas
	Considere inicialmente que a partícula se desloca ao longo de uma curva contida no plano da figura. Seja P a posição da partícula num dado instante, e seja et o vetor unitário ligado a P, tangente à trajetória e orientado no sentido do movimento, (figura ao lado):
ou
Cinemática das Partículas
Seja et’ o vetor unitário correspondente à posição P’ da partícula num instante posterior (figura abaixo).
Componentes Tangencial e Normal
Movimento Curvilíneo de Partículas
	Uma vez que a velocidade v da partícula é tangente à trajetória, podemos expressá-la pelo produto do escalar v pelo vetor unitário et, assim escreve-se:
Cinemática das Partículas
Componentes Tangencial e Normal: (representação gráfica )
Movimento Curvilíneo de Partículas
	As expressões acima obtidas significam que a componente tangencial da aceleração é igual à taxa de variação da velocidade da partícula, enquanto a componente normal é igual ao quadrado da velocidade dividido pelo raio de curvatura da trajetória em P.
	Se a velocidade da partícula aumentar, at é positiva, e a componente at é no sentido do movimento. Se a velocidade da partícula diminuir, at é negativa e a componente at é contrária ao movimento. Porém, a componente an é sempre dirigida para o centro de curvatura da trajetória (figura ao lado).
Cinemática das Partículas
Componentes Radial e Transversal
Movimento Curvilíneo de Partículas
	Em alguns problemas de movimnto plano, a posição da partícula P define-se através das suas coordenadas polares r e θ (figura abaixo). Torna-se então conveniente decompor a velocidade e a aceleração da partícula segundo duas direções, respectivamente uma paralela e outra perpendicular à linha OP e que se designa por componentes radial e transversal. 
Considere dois vetores unitários er e eo ligados ao ponto P, (figura ao lado).
Cinemática das Partículas
Componentes Radial e Transversal
Movimento Curvilíneo de Partículas
Para uma circunferência, tem-se:
Recordando as equações anteriores, tem-se:
Cinemática das Partículas
Coordenadas Cilíndricas (Extensão ao movimento da partícula no espaço)
Movimento Curvilíneo de Partículas
Figura 1
Figura 2
	Por vezes, a posição da partícula P no espaço é definida por coordenadas cilíndricas R, θ e z (figura 1). É então conveniente utilizar vetores unitários er, eo e k, mostrados na (figura 2).
	Decompondo o vetor de posição r da partícula P segundos os vetores unitários, pode-se escrever:
Cinemática das Partículas
Movimento Retilíneo de Partículas
Exercícios
Um carro tem uma velocidade inicial de 25 m/s e uma desaceleração constante de 3 m/s2.
Determine sua velocidade quando t = 4 s;
Qual o deslocamento do carro durante o intervalo de tempo de 4 s?
Quanto tempo é necessário para parar o carro?
Movimento
Retilíneo de Partículas
Exercícios
A aceleração de uma partícula quando ela se move ao longo de uma trajetória em linha reta é dada por a = (2t – 1) m/s2, onde t é expresso em segundos. Se x = 1 m e v = 2 m/s quando t = 0:
Determine a velocidade e a posição da partícula quando t = 6 s;
Determine também a distância total percorrida pela partícula durante esse período de tempo.
Movimento Retilíneo de Partículas
Exercícios
Uma partícula percorre uma curva definida pela equação x = (t3 – 3t2 +2t) m, onde t é expresso em segundos. Construa os gráficos:
x-t da partícula para 0 < t < 3s;
v-t da partícula para 0 < t < 3s;
a-t da partícula para 0 < t < 3s.
Gráficos: Deslocamento, Velocidade e Aceleração
Exercícios
Deslocamento
Velocidade
Aceleração