RESUMO DE MATEMÁTICA 2ª PP

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RESUMO DE MAT. – 2ª P.P.
SOMATÓRIO
PRODUTÓRIO
FUNÇÃO MODULAR
f(x) = |x| ou y = |x|
f(x) = x, se x≥ 0 ou f(x) = – x, se x < 0(decorrem da definição de módulo)
Exemplo 1) Construa o gráfico da função f(x) = | –x|
Solução: primeiro vamos analisar o gráfico sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = – x 
Vamos fazer d eixo x um “espelho”. Mas por quê? Porque a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o gráfico de f(x) = |– x| fica:
A parte do gráfico que está azul é parte que sofreu ação do módulo.
Exemplo 2) Construa o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x|
Solução: pela definição de módulo:
f(x) = x2 – 3x, se x≥0 e f(x) = – (x2 – 3x), se x<0 
Daí, segue que:
x2 – 3x = 0
x = 0 ou x = 3, logo :
Temos também que:
– (x2 – 3x) = 0
x = 0 ou x = 3
Unindo as partes dos dois gráficos que se encontram acima do eixo x teremos o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x|
EQUAÇÕES MODULARES
Exemplo 1) |x + 2| = 4
Condições:  x + 2 = 4 ou x + 2 = – 4 
Resolução: 
x + 2 = 4 → x = 4 – 2 → x = 2 
x + 2 = – 4 → x = – 4 – 2 → x = – 6 
S = {–6; 2} 
Exemplo 2) |4x – 8| = x + 1 
Condições: |4x – 8| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se x + 1 ≥ 0, x ≥ –1. 
|4x – 8| = x + 1 
4x – 8 = x + 1 ou 4x – 8 = – (x + 1) 
Resolução: 
4x – 8 = x + 1 → 4x – x = 1 + 8 → 3x = 9 → x = 9/3 → x = 3 
4x – 8 = – (x + 1) → 4x – 8 = – x – 1 → 4x + x = – 1 + 8 → 5x = 7 → x = 7/5 
 x = 3 e x = 7/5 satisfazem a condição x ≥ – 1, logo o conjunto solução é {7/5; 3} 
Exemplo 3) |x + 1| = |x – 3| 
x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (IMPOSSÍVEL) 
x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x = 2 → x = 1 
Solução: {1} 
Exemplo 4) |x² – 5x + 6| = 2 
x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0 (Bháskara: possui duas raízes reais) 
x’ = 1 e x” = 4 
x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0 (Bháskara: não possui raízes reais) 
Solução: {1,4} 
INEQUAÇÕES MODULARES
Considerando k um número real positivo: 
Se |x| < k então, – k < x < k 
Se |x| > k então, x < – k ou x > k 
PAR ORDENADO
	Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.
        Produto Cartesiano
	Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3}  e  B = {3, 4}.
Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.
	
    Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}
    Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por:
               
    Logo:
            Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x B o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde  
	
RELAÇÃO
DEFINIÇÃO: Um conjunto de pares ordenados de números reais.
OBS.: Função é um tipo de relação, mas relação não é função.
I)Se nA = n e nB = m então existirão 2n . m relações de A em B.
 
II)Se ( a, b ) R, podemos escrever a R b, que se lê: “ A erre b” ou “ a está relacionado com b pela relação R “.
Como é subconjunto de qualquer conjunto, implica que é uma relação de A em B.
Formas de escrever uma relação.
• Pares ordenados;
S = { (5,15), (6,18), (7,21), (8,24), (9,27), (10,30) } 
• Mediante um gráfico; 
 X
 Y
• Mediante uma regra;
y = 3.x 
• Num gráfico de flechas.
FUNÇÃO INVERSA
f(x) também pode ser expresso por y, então a função pode ser definida por:
Para chegar a função inversa desta função, basta trocar x por y e vice-versa, temos:
Isolando y:
A definição da função inversa, já com a relação invertida, será então:
 ou 
TRIGONOMETRIA
sen (a + b) = sen a * cos b + cos a * sen b 
sen (a – b) = sen a * cos b – cos a * sen b 
cos (a + b) = cos a * cos b – sen a * sen b 
cos (a – b) = cos a * cos b + sen a * sen b 
 
ARCO DUPLO
Pra ficar mais fácil, é só substituir b por a tanto no seno, quanto no cosseno e na tangente da SOMA. Assim, vai ter sen(a+a), cos(a+a) e tg(a+a).
REDUÇÃO AO 1° QUADRANTE
1) De um ângulo do 2° quadrante (a):
 a = (π - x)
sen (π - x) = sen x
cos (π - x) = - cos x
tg (π - x) = - tg x
2) De um ângulo do 3° quadrante (b):
 b = (π + x)
sen (π + x) = - sen x
cos (π + x) = - cos x
tg (π + x) = tg x
3) De um ângulo do 4° quadrante (c):
 c = (2π - x)
sen (2π - x) = - sen x
cos (2π - x) = cos x
tg (2π - x) = - tg x
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTICAS
1) sen x = a, -1 ≤ a ≤ 1.
sen x = sen y
x = y + 2kπ ou x = (π - y) + 2kπ.
*2kπ representa o n° de voltas no ciclo. Por ser uma expressão geral, ele deve aparecer.
2) cos x = b, -1 ≤ b ≤ 1.
cos x = cos y
x = ± y + 2kπ
3) tg x = c, c R.
tg x = tg y
x = y + k π
IMPORTANTE:
• sen (-x) = - sen x • sen (π /2 – x) = cos x
• cos (-x) = cos x • cos (π /2 – x) = sen x
LOGARITMOS
MUDANÇA DE BASE
COROLÁRIOS/CONSEQUÊNCIAS
1° Consequência: 2°Consequência: 
ANTILOGARITMO
COLOGARITMO
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
TIPO 1)Equação que envolve a igualdade entre dois logaritmos de mesma base.
A solução é dada fazendo x = y >0
TIPO 2)Equação que envolve a igualdade entre um logaritmo e um número.
A solução é dada por x = ac.
 
TIPO 3)Equação que é necessário fazer uma mudança de incógnita.
Exemplo: Resolva a equação
Solução: Vamos fazer a seguinte mudança de incógnita
 
A partir daí é só substituir e desenvolver normalmente, lembrando que a questão quer O VALOR DE X, não de Y
TIPO 4)Equações que utilizam as propriedades do logaritmo ou de mudança de base.
Exemplo: Resolva a equação
Solução: usando as propriedades do logaritmo, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:
 ( LOGARITMO DO PRODUTO)
Como ficamos com uma igualdade entre dois logaritmos, segue que:
(2x +3)(x + 2) = x2
E então é só desenvolver.
LEMBRAR SEMPRE DA CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA, com certeza vai ser necessário pra prova.
1) 0 < BASE ≠ 1
2) LOGARITMANDO > 0
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
f(x) = logax
Determinando o domínio da função logarítmica 
EXEMPLO: Dada a função f(x) =log (x – 2)(4 – x), temos as seguintes restrições(CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA):
1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 4
2) x – 2 > 0 → x > 2
3) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3
Realizando a interseção das restrições 1, 2 e 3, temos o seguinte resultado:2 < x < 3 e 3 < x < 4.
Dessa forma, D = {x ϵ R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4}
Gráfico de uma função logarítmica
Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações:
• a> 1 • 0 < a < 1
Para a > 1, temos: Para 0 < a < 1, temos:
Função crescente Função decrescente
 
Características do gráfico da função logarítmica y = logax
 A função logarítmica é uma função inversa da exponencial. Observe: