Função par e Impar

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RESUMO TEÓRICO
Seja f(x) uma função de domínio um subconjunto dos reais.
Definimos:
i) f(x) é par se e somente se f(x) = f(( x), (x ( D(f) 
ex: f(x) = x2 
 f(( x) = (( x)2 = x2 = f(x) logo é par 
Observação: 
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo 
.
ii) f(x) é ímpar se somente se f(x) = ( f( - x ) ou ( f(x) = f ( - x ) ou f(x) + f(( x) = 0
 
ex: f(x) = x3 
 f(( x) = (( x)3 = - x3 = ( f(x) logo é ímpar 
 	 
Graficamente: 	 
 
 y f(x) = x3
	 
 
 x
 
Observações: 
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação a origem. 
Existem funções que não são nem pares e nem ímpares. 
ex: f(x) = x3 + x2 + 1 
i) f(( x) = (x3 + x2 + 1 ( f(x) não é par 
ii) f(x) + f(( x) = 0 ( x3 + x2 + 1 ( x3 + x2 + 1 = 0 
 2x2 + 2 ( 0 logo não é ímpar 
Portanto, não é par nem ímpar. 
Observação: 
A função nula é a única função que é par e ímpar simultaneamente. 
f(x) = f(( x) f(x) = f(( x) 
f(x) = ( f (( x) ( f (x) = f(( x) 
 
 f (x) = ( f(x) 
 2 f(x) = 0 
 f(x) = 0
Teorema: 
	Toda função de domínio real, nem par nem ímpar pode ser decomposta em uma soma de duas funções: uma par e outra ímpar (essas funções são únicas) 
Demonstração da umicidade.
Supondo que, exista, outra tal que: f(x) = g’ (x) + h’ (x) , logo f ( - x ) = g’ (x) – h’ (x) (1)
( 
 par ímpar 
 
Seja f (x) = g (x) + h ( x)
Logo f ( - x ) = g (x) – h (x) (2)
De (1) temos: De (2) temos:
f (x) + f (( x) = 2g’ (x) f (x) + f (( x) = 2g (x) 
 
 g’(x) = g(x) 
Observação: 
Como achar essas funções: 
Sendo f(x) nem par e nem ímpar, temos: 
f(x) = g(x) + h(x) 
f(( x) = g (( x) + h (( x)
Fazendo por exemplo g ímpar e h par, temos: 
f(( x) = ( g(x) + h(x)
 
(1) - (2) ( f (x) - f( - x) =2 g(x) 
 g(x) = 
(1) + (2) ( f(x) + f( - x) = 2h(x) ( h(x) = 
EXERCÍCIOS
Determine o domínio de f(x) = 
 para que a função possa ser decomposta na soma de funções par e ímpar. Resp. D (f) = lR – { ( 5}
Determine a paridade das funções: 
y = 2x + 2(x
f(x) = 
 
f(x) = 3 
f(x) = 
 
f(x) = | x |
f(x) = [x] 
f(x) = 
n 
f(x) = cos x 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Determine a paridade das funções: 
y = 
 
y = 
 
y = ex
y = 
 
y = x 2 
 
Sejam f e g duas funções. Mostre que: 
Se f e g são pares então f + g é par. 
Se f e g são pares então f . g é par. 
Se f é par e g ímpar então f + g é não par e não ímpar.
Se f ímpar e g ímpar então f + g é ímpar.
Se f é impar e g é ímpar então f . g é par.
 
 
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_1018355918.unknown
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