Perda de carga

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AMB0207 – Hidráulica aplicada à Engenharia Ambiental	� PAGE �1�
PERDA DE CARGA EM CONDUTOS FORÇADOS
O líquido ao escoar em um conduto é submetido a forças resistentes exercidas pelas paredes da tubulação e por uma região do próprio líquido. Nesta região denominada camada limite há um elevado gradiente de velocidade e o efeito da velocidade é significante. A conseqüência disso é o surgimento de forças cisalhantes que reduzem a capacidade de fluidez do líquido. O conceito de camada limite foi desenvolvido em 1904 por Ludwig Prandtl.
O líquido ao escoar transforma (dissipa) parte de sua energia em calor. Essa energia não é mais recuperada na forma de energia cinética e/ou potencial e, por isso, denomina-se perda de carga. Trata-se de perda de energia devido ao atrito contra as paredes e à dissipação devido à viscosidade do líquido em escoamento.
Para efeitos de estudo e de cálculos para dimensionamentos em engenharia, a perda de carga, denotada por h ou hp, é classificada em perda de carga contínua, ou linear, denotada por: h’, hf ou hL; e perda de carga singular, h’’ ou hS.
As perdas de carga lineares são aquelas devido ao fluxo em trechos retilíneos de tubulação, enquanto que as singulares, são devidas à trechos curvos, à peças e dispositivos especiais instalados na linha onde se está verificando ou calculando as perdas de carga, sendo assim denominadas como perdas de carga singulares.
Conforme visto anteriormente, temos na figura abaixo, e na respectiva equação da conservação de energia de Bernoulli, o seguinte:
Considerando agora o mesmo esquema ilustrado acima, para uma tubulação sem variação de diâmetro, sabe-se que a velocidade média nas duas seções será igual, pois a vazão e o diâmetro do conduto são constantes (equação da continuidade).
Assim, pode-se definir, para a perda de carga entre os pontos 1 e 2, o seguinte:
	A perda de carga linear quando expressa por unidade de comprimento do conduto, é chamada de perda de carga unitária, expressa por J, ou seja:
J = hp1,2 / L1,2
4.1 Fórmula Universal de Perda de Carga (Darcy-Weisbach)
Diversos estudos apontaram para a relação de proporcionalidade que a resistência ao escoamento em uma tubulação poderia possuir, concluindo-se que a mesma é:
Independente da pressão a que o líquido é submetido em um escoamento;
Diretamente proporcional ao comprimento L;
Inversamente proporcional a uma certa potência do diâmetro D;
Proporcional a uma certa potência da velocidade V; e
Relacionada à rugosidade da tubulação, se o escoamento for turbulento.
Assim, diversas formulações empíricas foram sugeridas baseadas nesta proporcionalidade, sendo que Henry e Weisbach por volta de 1845 fizeram um estudo avaliando as diferentes forças presentes em um elemento de fluido em escoamento sobre uma tubulação, principalmente relacionando a força de cisalhamento existente junto às paredes do conduto.
Estabeleceram então a formulação seguinte:
então chamada de Fórmula Universal da Perda de Carga, ou Fórmula de Darcy-Weisbach, onde:
		L: comprimento da tubulação;
		D: o diâmetro do conduto;
		v: velocidade do escoamento;
		g: aceleração local da gravidade; e
		f: fator de perda de carga (ou fator de atrito ( friction).
O fator de perda de carga f, na época da proposição da fórmula, era tido como um valor constante e dependente então de características da tubulação. Com o tempo, porém, esta teoria demonstrou-se equivocada, descobrindo-se e propondo formulações específicas para o cálculo deste coeficiente.
Como ficaria uma equação para expressar a perda de carga unitária J utilizando a equação da perda de carga universal, e ainda expressa em termos de vazão, para um conduto de seção circular?
4.1.1 Determinação do fator de perda de carga f
A fórmula universal da perda de carga apresentada acima se trata de uma equação dimensionalmente homogênea, sendo o fator de perda de carga f, um elemento numérico adimensional. Esta formulação, pela sua generalidade, pode ser utilizada para calcular as perdas de carga lineares nos condutos tanto em regime laminar, quanto em regime turbulento. A estrutura da fórmula continua válida nestes dois regimes, entretanto a determinação do fator de perda de carga f é que deverá ser modificada para considerar a diferença de comportamento do fluxo nestes dois regimes de escoamentos.
Experimentalmente, demonstra-se que este fator de perda de carga é dependente de variáveis como a velocidade média do escoamento (v), o diâmetro do tubo (D), a massa específica () e a viscosidade () do fluido, bem como de características físicas relacionadas com a rugosidade das paredes internas do conduto (), tais como o tamanho, a forma e o arranjo espacial (distribuição) dessas rugosidades.
( Escoamentos Laminares
Para escoamentos laminares em condutos, ou seja, para aqueles que apresentam Número de Reynolds Re<2000(300, tanto se verifica experimentalmente, quanto se demonstra analiticamente pela composição das forças atuantes e do comportamento deste tipo de fluxo; que o fator f irá depender exclusivamente da viscosidade dinâmica () e da massa específica () do fluido, juntamente com a velocidade média do fluxo e com o diâmetro da tubulação.
Assim, para escoamentos laminares o fator de perda de carga f, assim pode ser determinado:
				
 , ou seja,
Com isso, a determinação da perda de carga hp, através da utilização da equação universal da perda de carga, fica:
( Escoamentos Turbulentos
Para este regime, devido às diversas oscilações das variáveis características do escoamento (velocidade, pressão, etc.) em torno de valores médios, tornou-se um tanto mais complexo a dedução de uma formulação para a quantificação do fator de perda de carga f.
Para essa dedução, diversas teorias sobre o comportamento do escoamento sobre a superfície interna do tubo foram aplicadas. A teoria sobre o comprimento de mistura apresentada por Prandtl em 1925, é uma delas. Esta teoria demonstra uma relação existente entre as tensões aparente de Reynolds e uma escala de comprimento proporcional à distância à parede e ao gradiente de velocidade média, identificando basicamente duas regiões, uma primeira denominada região interna, onde a tensão de Reynolds aumenta linearmente com a distância à parede; e uma segunda, onde ela passa a decrescer devido à queda do gradiente de velocidades.
Esta hipótese só não foi verificada como válida em duas regiões: uma no centro do escoamento, onde o gradiente de velocidades é praticamente nulo, e outra numa região muito próxima à parede do conduto, onde os efeitos viscosos são preponderantes sobre o termo turbulento, região esta denominada de sub-camada viscosa.
O conceito de sub-camada viscosa está relacionado ao fato de que em um escoamento muito próximo de um contorno sólido qualquer, o mesmo encontra-se regido basicamente pelas forças viscosas do fluído, com relação as forças de inércia do próprio escoamento. Este efeito é um dos principais elementos geradores da turbulência do fluxo.
No estudo de escoamentos turbulentos em condutos, é importante a relação então existente entre a espessura desta sub-camada viscosa e da rugosidade equivalente das paredes do conduto.
A teoria da camada limite mostra que a espessura da sub-camada viscosa, de forma simplificada, pode ser calculada por:
onde u* é a velocidade de cisalhamento (ou de atrito), relação entre a tensão de cisalhamento junto à parede e a massa específica do fluido.
Assim, é possível definir diferentes regiões para o regime de escoamento turbulento de acordo com as relações existente entre a espessura da sub-camada limite viscosa e a espessura da rugosidade das paredes do conduto.
( Escoamento turbulento hidraulicamente liso
	Ocorre no caso em que as rugosidades da parede da tubulação, , estão totalmente cobertas pela sub-camada viscosa, apresentando a relação adimensional:
		
 < 5
( Escoamento turbulentohidraulicamente rugoso
Para a situação em que as asperezas da parede afloram a sub-camada viscosa, alcançando o núcleo turbulento e gerando fontes de turbulência. Nesta região tem-se que:
		
 > 70
( Escoamento turbulento de transição, ou hidraulicamente misto
É uma condição intermediária entre os dois anteriores, onde:
		5 ( 
 ( 70
O termo 
 é denominado de número de Reynolds da rugosidade.
Através destes conceitos, Nikuradse em 1933 determinou experimentalmente a influência da rugosidade, colocando areias de diferentes diâmetros uniformes nas paredes de condutos circulares cilíndricos e determinando os diferentes perfis de velocidades resultantes. Com estes ensaios o perfil de velocidades obtido resultou numa lei do tipo:
		
Ou seja, um perfil de velocidades logarítmico.
A partir dessa relação básica, deduziu o fator de perda de carga f para cada uma das situações de escoamento em regime turbulento, apresentando equacionamentos para este fator no caso dos escoamentos hidraulicamente liso, rugoso e de transição.
O valor da rugosidade absoluta  para tubulações comerciais é determinado experimentalmente, sendo normalmente fornecido pelo fabricante, bem como é encontrado tabelado em diversas bibliografias da área.
(apresentar tabelas)
Em 1939, Colebrook e White apresentaram uma formulação para o fator de perda de carga, agrupando os equacionamentos apresentados por Nikuradse. Assim, ficou apresentada a fórmula de Colebrook-White para o fator de perda de carga em escoamentos turbulentos:
A resolução desta formulação para fator de perda de carga exige a aplicação de métodos iterativos de cálculo numérico, que até bem pouco tempo apresentavam dificuldades matemáticas e computacionais. Porém, com o advento das máquinas calculadoras programáveis, bem como das planilhas de cálculos eletrônicas, estes procedimentos vêm se tornando cada vez mais simples.
Por estes motivos de dificuldade na resolução rápida deste equacionamento, foi que em 1944, Moody propôs a tabulação dos dados de forma gráfica, através de um diagrama de dupla entrada (/D e Re, ou /D e f, ou ainda Re e f), que levou seu nome: Diagrama de Moody.
(apresentar diagrama)
	Ainda devido a estas dificuldades matemáticas para a resolução desta equação, surgiram e foram propostas diversas formulações aproximadas e/ou empíricas para a resolução de escoamentos em condutos. Muitas delas até hoje ainda são aplicadas no cálculo ou na verificação de redes de distribuição de água e sistemas de adução, salientando-se que algumas têm apresentado excelentes resultados quando comparados com a realidade, ou quando comparadas com a própria formulação de Colebrook-White. Porém, com as facilidades matemáticas e computacionais agora disponíveis, torna-se um tanto quanto injustificável a utilização de formulações aproximadas, quando da existência de formulação deduzida a partir de conceitos físicos estabelecidos e aceitos como verdadeiros.
Além disso, a tendência das Normas é estabelecer a unificação destes cálculos em hidráulica, todos a partir da formulação de Darcy-Weisbach (Fórmula Universal da Perda de Carga) em conjunto com a determinação do fator de perda de carga através da Fórmula de Colebrook-White.
4.2 Cálculos de condutos em hidráulica
Diante de todas as teorias e equacionamentos apresentados, tem-se a estrutura básica para a determinação da perda de carga linear em condutos circulares, que servirá em engenharia para o dimensionamento e/ou verificação de tubulações nas mais variadas aplicações possíveis, em conjunto, é claro, com as perdas localizadas que irão ocorrer nas singularidades do sistema, como em curvas, registros, e demais peças especiais.
Primeiramente, vamos condicionar os procedimentos de cálculo hidráulico básicos em trechos lineares de uma tubulação, para diferentes situações de cálculo, para depois entrar no detalhamento das perdas singulares e as respectivas aplicações de cálculo para casos mais reais.
Assim, tem-se que o cálculo de condutos em hidráulica envolve sete variáveis, desconsiderando os efeitos de compressibilidade do fluido:
Q: vazão; 
v: velocidade do escoamento (média);
L: comprimento do conduto;
D: diâmetro do conduto;
hp: perda de carga;
: viscosidade cinemática; e
: rugosidade absoluta.
Destas sete variáveis, cinco delas, Q, v, D, hp e , podem ser incógnitas de um problema, não sendo isto coerente para as outras duas, pois tanto o comprimento da canalização quanto a viscosidade cinemática do fluido são características intrínsecas ao problema. O comprimento da linha caracteriza exatamente o trecho que seria o objetivo de resolução do problema, já a viscosidade cinemática é determinável somente em função da temperatura do fluido.
Para o caso da água, a viscosidade cinemática como função da temperatura, pode ser determinada através da formulação empírica de Poiseulle, da seguinte forma:
onde  é a viscosidade cinemática dada em m²/s, e  é a temperatura da água dada em graus Celsius (entre 0 e 100°C).
4.2.1. Escoamento laminar
Para escoamentos laminares, como a rugosidade não é um fator importante, as incógnitas ficam então reduzidas somente a quatro: Q, D, v e hp. 
A combinação dos possíveis problemas de cálculo e/ou verificação que podem surgir seriam os seguintes:
a) caso I: incógnitas D e v 
Calcula-se D, derivado da equação da continuidade Q=V(A e da Universal, considerando a área da seção transversal de um tubo circular, ficando D em função de Q:
D=
b) caso II: incógnitas D e Q
Calcula-se D, derivado da equação da continuidade Q=V(A e da Universal, considerando a área da seção transversal de um tubo circular, ficando D em função de V:
D=
c) caso III: incógnitas D e hp 
da equação da continuidade, determina-se o diâmetro da canalização:
D=
Calcula-se então hp, combinando-se o resultado anterior com a Universal:
hp=
 
d) caso IV: incógnitas Q e v 
da Universal calcula-se v:
v=
e da continuidade, calcula-se Q.
e) caso V: incógnitas v e hp 
da equação da continuidade, determina-se a velocidade média:
v=
Calcula-se então hp, combinando-se o resultado anterior com a Universal:
hp=
 
f) caso VI: incógnitas Q e hp 
da equação da continuidade, determina-se a vazão:
Q=
Calcula-se então hp, combinando-se o resultado anterior com a Universal:
hp=
4.2.2. Escoamento turbulento
Para escoamentos turbulentos, teremos as cinco variáveis: Q, D, v, hp e , podendo surgir como incógnitas.
Para raciocínio das diferentes combinações de problemas que poderão surgir, é bom termos em mente as seguintes equações, já conhecidas:
1 – continuidade : Q = V ( A
2 – Fórmula Universal da Perda de Carga: 
3 – Fórmula de Colebrook-White: 
Observa-se agora a fórmula para o fator de perda de carga de Colebrook-White, expressa em termos de fi+1 e fi, simplesmente para facilitar tanto aos cálculos quanto a própria convergência do processo iterativo.
 A combinação dos possíveis problemas de cálculo e/ou verificação que podem surgir seriam os seguintes:
a) caso I: incógnitas D e v 
isolando a velocidade média na expressão 1 e substituindo na equação 2, estabelece-se uma expressão para o fator de perda de carga em função do diâmetro e da vazão. Igualando esta expressão com a expressão 3 e isolando o diâmetro, é possível obter-se:
resolve-se então esta equação de forma iterativa, arbitrando-se valores para o diâmetro Di, e verificando o seu resultado em Di+1.
Obtida convergência para um valor de diâmetro, adota-se o diâmetro comercial mais próximo, e procede-se o cálculo da velocidade através da equação da continuidade (equação 1 para tubos de seção circular):
A convergência desta equação é excelente para uma gama extensa de faixas de diâmetro adotada como valor inicial. Recomenda-se, para uma convergência mais rápida, adotar-se valor de diâmetro correspondente a uma velocidade igual a 1m/s.b) caso II: incógnitas D e hp 
Da equação da continuidade, determina-se primeiramente o diâmetro da canalização:
Com a equação 3, por iterações, determina-se o valor do fator de perda de carga:
Como um primeiro valor para f no processo iterativo, recomenda-se utilizar f(0,027. Agora, com o valor do fator de perda de carga com o diâmetro, determina-se a perda de carga com a equação 2, a Fórmula Universal da Perda de Carga.
c) caso III: incógnitas D e  
A partir da equação da continuidade (1), determina-se o diâmetro. Isola-se o fator de perda de carga na equação universal (2), o qual deve ser igualado à expressão de Colebrook-White (3), resultando:
d) caso IV: incógnitas D e Q 
Substituindo na equação 3 o valor da vazão dado por Q=V(A, tem-se:
Com o valor da velocidade e do diâmetro calculado, determina-se a vazão.
e) caso V: incógnitas v e hp 
Da equação da continuidade (1) calcula-se a velocidade média. Com a equação de Colebrook-White (3), determina-se iterativamente, o fator de perda de carga, que aplicado na Fórmula Universal (2), fornecerá o valor da perda de carga.
v) caso VI: incógnitas v e 
Similar ao “caso III”, calcula-se a velocidade do escoamento com a equação da continuidade (1), e determina-se a rugosidade com a mesma equação apresentada no “caso III”.
g) caso VII: incógnitas Q e v
Manipulando as expressões do fator da perda de carga, a partir da equação universal (2) e da fórmula de Colebrook-White (3), resulta a seguinte expressão para a velocidade:
 
h) caso VIII: incógnitas hp/L e 
Caso incoerente, pois teríamos um sistema de equações indeterminado.
i) caso IX: incógnitas hp e Q
Com a equação da continuidade (1) se calcula a vazão. Com a equação (3) determina-se o fator de perda de carga f. Com isso, calcula-se a perda de carga unitária aplicando Hazen-Willians (2).
j) caso X: incógnitas Q e 
Análogo à solução apresentada para o “caso VI”, somente manipulando Q e v através da equação da continuidade.
4.2.3. Rotina de cálculos para a resolução hidráulica de condutos simples sobre pressão
Conhecendo-se agora cada solução para os dois regimes de escoamento, laminar e turbulento, bem como as diversas possibilidades de solução de acordo com as incógnitas propostas pelo problema; é possível esquematizar um raciocínio para os procedimentos de cálculo a ser seguido diante destes problemas.
Assim, pode-se simplificar uma rotina baseada em três passos fundamentais que, por sua vez, desdobram-se em outros passos com vistas à solução do problema e verificação dos resultados. 
Esquematicamente, pode-se assim simplificar esta metodologia:
	1 – Identificação do tipo de problema
	1.1 – verificar se o número de incógnitas é coerente, ou seja, nem demais, nem de menos.
	
	1.2 – identificar o coeficiente de viscosidade cinemática adequado para o fluido e para as condições de temperatura respectivas
	
	1.3 – quando a velocidade (ou vazão) e diâmetro forem conhecidos, deve ser verificado o Re para identificação do regime de escoamento, senão, considera-se para fins de cálculo e posterior verificação, a condição de regime turbulento
	
	1.4 – classificar o problema de acordo com os “casos” apresentados
	
	1.5 – quando for o caso, arbitrar convenientemente o valor da primeira iteração
	2 – Solução do problema 
	2.1 – classificado o tipo de problema, e enquadrado em seu respectivo “caso”, aplica-se a solução adequado conforme a situação de regime laminar ou turbulento
	3 – Verificação da solução
	3.1 – nos casos em que inicialmente não for conhecida a velocidade (ou vazão) e o diâmetro, resolve-se considerando o escoamento como turbulento, verficando-se ao final se esta condição de regime prevaleceu, senão, retorna-se os procedimentos de cálculo, considerando agora o regime então laminar
	
	3.2 – com as incógnitas determinadas, é possível verificar a solução em direção inversa aos procedimentos realizados, tomando como incógnita agora o dado inicial
EXEMPLOS
1. Um reservatório está sendo alimentado diretamente de uma represa, conforme mostra a figura abaixo. Determine o nível da água NA2 do reservatório, sabendo-se que o nível de água da represa está na cota 50m.
Dados:
Q = 200L/s
 = 5mm
D = 400mm
L = 750m
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2. Determine a vazão transportada pela adutora que liga uma represa e um reservatório, conforme mostra a figura.
Dados: 
L = 360m
D = 0,15m
 = 0,00026m
�
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. A tubulação que liga uma represa e um reservatório tem 1.300m de comprimento e 600mm de diâmetro e é executada em concreto com acabamento comum (=0,4mm). Determinar a cota do nível d´água (NA1) na represa sabendo-se que a vazão transportada é de 250L/s e que o nível d´água no reservatório inferior (NA2) está na cota 10,00 m. Desprezar as perdas localizadas e adotar água=1(10-6m²/s. 
2. Para a instalação da figura abaixo, determinar o valor de a, sabendo-se que a vazão é 10L/s e que o conduto é de ferro fundido novo (=0,25mm). 
3. O conduto da figura tem rugosidade =0,25mm e o diâmetro D=150mm. Determinar o comprimento L do conduto, sabendo-se que está escoando uma vazão de 50L/s. Desprezar as perdas localizadas e adotar água=1(10-6m²/s. 
4. Determine a vazão que escoa através da tubulação que interliga dois reservatórios, conforme mostra a figura abaixo. Dados: L=150m; =0,0035mm; D=200mm; e água=1(10-6m²/s. 
5. Uma tubulação de aço rebitado, com 0,3m de diâmetro e 300m de comprimento, conduz 130L/s de água à 15,5°C. A rugosidade do tubo é 0,003m. Determinar a velocidade média e a perda de carga.
6. Dois reservatórios estão interligados por uma canalização de ferro fundido (=0,000260m) com 0,15m de diâmetro e 360m de extensão. Determinar a velocidade e a vazão no momento em que a diferença de nível entre os dois reservartórios igualar-se a 9,30m. Admitir a temperatura da água como sendo de 26,5°C.
7. Determinar o diâmetro necessário para que um encanamento de aço (=0,000046m) conduza 19L/s de querosene à 10ºC (=0,00000278cm²/s) com uma perda de carga que não exceda 6m em 1200m de extensão. Calcular velocidade e perda de carga para o diâmetro adotado.
8. Uma canalização nova de aço com 150m de comprimento transporta gasolina a 10°C (=0,000000710m²/s) de um tanque para outro com velocidade média igual a 0,000061m. determinar o diâmetro e a vazão da linha, conhecida a diferença de nível entre os depósitos que é de 1,86m.
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4.3 Cálculos de condutos com o uso de fórmulas empíricas
Para se calcular a perda de carga em condutos, antes do advento dos recursos computacionais e das máquinas de calcular eletrônicas, evitava-se o uso de formulações com métodos de resolução iterativos. Utilizavam-se formulações empíricas, determinadas por aproximações experimentais, onde a partir da correlação entre algumas das variáveis as quais dependem o equacionamento de um fluxo em conduto, com algum coeficiente empírico normalmente relacionado à perda de energia, determinava-se a perda de carga do escoamento.
A multiplicidade de fórmulas de perda de carga é tamanha que no livro Manual de Hidráulica, o autor Azevedo Neto, apresenta uma listagem de quarenta fórmulas, desde a fórmula de Chézy (1775), até a fórmula de Hazen-Willians (1903). Percebe-se que todas estas fórmulas foram desenvolvidas antes do surgimento da Teoria da Camada Limite (Prandtl – 1904), das hipóteses de perfil de velocidade e tensão de cisalhamento (Kármán – 1930) para condutos lisos, e das experiências de Nikuradse (1933) para condutos rugosos. Dessa forma, nenhuma das equações empíricas considera todas as variáveis das quais a perda de carga é dependente.
Dada a suas origens experimentais, cabe alertar que todas as formulações empíricas foram estabelecidas e, assim, são válidas para certos condições de escoamento. A própria fórmula de Darcy, como já detectado e citado por ele mesmo em seus experimentos, apresenta imprecisõesmaiores em condições de baixas velocidades onde o escoamento torna-se turbulento liso ou na zona de transição entre laminar e turbulento.
4.3.1. Fórmula de Hazen-Williams
Dentre as diversas formulações empíricas existentes, vamos aqui apresentar somente esta, considerada a de mais uso ainda hoje, dentre os projetistas na área de engenharia hidráulica.
A fórmula de Hazen-Willians, é apresentada originalmente em termos de determinação da velocidade do escoamento, através da correlação entre o diâmetro, a perda de carga linear um coeficiente fixo caracterizado de acordo com o tipo e as condições do conduto.
Para o SISTEMA DE UNIDADES INTERNACIONAL, a fórmula de Hazen-Willians fica:
	onde:
	V: velocidade do escoamento (m/s)
	D: diâmetro interno do conduto (m)
	J: perda de carga linear (m/m)
	C: coeficiente característico do conduto, com valores tabelados
	Tipo de conduto
	C
	Aço corrugado
	60
	Aço galvanizado
	125
	Aço rebitado novo
	110
	Aço rebitado em uso
	85
	Aço soldado novo
	130
	Aço soldado em uso
	90
	Aço e ferro fundido revestidos
	130
	Chumbo
	130
	Cimento amianto
	140
	Cobre
	130
	Ferro fundido novo
	100
	Ferro fundido usado
	90
	Manilha de grés
	110
	Vidro
	140
	Plástico
	140
Deve-se ter em mente as limitações de uso desta formulação, seus limites de validade, e o fato de não ser uma equação homogênea, ou seja, apresenta coeficientes e expoentes que são variáveis de acordo com o sistema de unidades que se está utilizando.
Os principais limites de validade a serem observados, são os seguintes:
escoamento turbulento liso;
temperatura (20°C, pois não leva em consideração os efeitos viscosos; e
diâmetros ( 50mm.
É comum vermos e necessitarmos a expressão de Hazen-Willians, expressa para a determinação da perda de carga linear J, e em termos tanto da velocidade v, quanto da vazão Q, ficando assim apresentada:
 ou 
4.3.2. Comparação entre Hazen-Williams e a Fórmula Universal
Com a finalidade de verificar a adequabilidade da fórmula prática de Hazen-Williams, na qual o coeficiente de rugosidade, além de não ser adimensional, independe do número de Reynolds, igualaram-se as perdas de carga unitárias correspondentes ás duas formulações, ou seja:
Isolando C, para fins de comparação, ficamos com:
Esta expressão foi graficada para quatro diâmetros, 50, 100, 150 e 200mm; para números de Reynolds na faixa entre 104 a 107; e para quatro valores de rugosidades absolutas , zero (rigorosamente liso), 0,005mm (PVC), 0,05mm (aço laminado novo), e 0,5mm (aço rugoso). Os resultados são apresentados na figura abaixo:
Do gráfico, pode avaliar as seguintes conclusões:
para tubos rigorasamente lisos, a fórmula de Hazen-Williams pode se constituir de uma razoável aproximação, para valores de Reynolds superiores a 5(106 e D(150mm. Evidentemente tal tudo não existe na prática.
Para tubos de PVC, o valor da rugosidade absoluta de 0,005mm realmente corresponde a valores de C entre 150 e 155 e mostra que, para diâmetros maiores, na faixa de Reynolds entre 5x105 a 106, a equação prática pode ser usada. Fora disso é inadequada.
Para valores de C entre 140 e 150 e valores de Reynolds relativamente baixos, 5x104 a 105, existe uma razoável aproximação na região do regime turbulento de transição, para D(100mm.
Para valores de C < 120, e elevados números de Reynolds, que caracteriza escoamento turbulento rugoso, a formula de Hazen-Williams é inadequada.
Portanto, o coeficiente C, além de depender do diâmetro, é afetado pelo grau de turbulência, não caracterizando uma categoria de tubos como especificado nas tabelas que acompanham a fórmula de Hazen-Williams.
EXERCÍCIOS
Propõe-se a resolução dos exercícios (exemplos e propostos) anteriores, agora calculados com a fórmula de Hazen-Williams, determinando-se o valor do coeficiente C, de acordo com os dados e resultados dados pelos exercícios resolvidos anteriormente, identificando que tipo de material mais provável seria composta a tubulação.
Além daqueles, resolva os seguintes:
1) Calcular o diâmetro de uma tubulação de aço usada (C=90), que veicula uma vazão de 250l/s com uma perda de carga de 1,7/100m. Calcular também a velocidade.
2) Calcular a vazão que escoa por um conduto de ferro fundido (C=90) de 200mm de diâmetro, desde um reservatório na cota 200m até outro reservatório na cota 0. L deve ser 10.000m. calcular a velocidade.
3) Deseja-se conhecer a vazão e o diâmetro de uma tubulação com C=120, de forma que a velocidade seja 3m/s e a perda de carga seja 5m/100m.
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4.4 Perdas de Carga Singulares
As perdas de carga devido ao escoamento de fluido em conduto sob pressão podem ser decorrentes da condição de ‘não-deslizamento’, denominada de perda de carga linear ou distribuída, como também podem ser provocadas por alguma alteração brusca nas condições de contorno físicas deste escoamento, denominadas então de perdas de carga singulares ou localizadas.
Enquanto a perda de carga linear é função de parâmetros como a rugosidade das paredes do conduto, do diâmetro da tubulação, da viscosidade do fluido e do comprimento do trecho considerado, a perda de carga singular basicamente dependerá das modificações de forma, de diâmetro, de direção do escoamento ou da combinação destas. Os efeitos de viscosidade, são pouco influentes para as perdas localizadas.
Em instalações de grande porte, com grandes comprimentos de tubulação, as perdas de carga lineares serão preponderantes sobre as distribuídas, sendo, algumas vezes, desnecessário a sua consideração para fins de dimensionamento, pelo menos numa fase de ante-projeto.
Em cálculos correntes de hidráulica, os coeficientes de perda de carga singular podem ser considerados como função única da geometria. A única exceção considerável seria no caso de transições graduais de seções (reduções ou alargamentos) de pequeno ângulo de abertura, onde o efeito da perda distribuída pode ser significativo.
Pode-se considerar estas perdas como independentes da viscosidade, quando o número de Reynolds excede 1(105 a 2(105, sendo que, na prática, para valores acima de 104 já é possível ignorar os efeitos de viscosidade.
Para efeitos de cálculo, considera-se a perda de carga singular (hps) como sendo a diferença de carga antes e depois da singularidade. Dada a sua singularidade, ou seja, o fato de que a perda de carga que proporciona ser decorrente de efeitos ocorrido em um distância relativamente curta, esta perda de carga é independente do comprimento, sendo dependente básicamente dos termos de energia relacionados à energia cinética. Assim, a perda de carga singular, é determinada por uma expressão do tipo:
onde Ks é o coeficiente de perda de carga singular, função de características geométricas da singularidade.
O valor da taquicarga (v²/2g) a ser considerado corresponde, por convenção, aquela do conduto onde está inserida a singularidade. Para o caso de estreitamentos ou reduções, considera-se o valor maior de taquicarga.
O valor de Ks é tabelado em diversos livros de hidráulica básica, como dependentes unicamente do tipo de peça inserida sistema de condutos. Alguns valores típicos para Ks são apresentados na tabela abaixo:
	Singularidade
	Ks
	Alargamento gradual
	0,30
	Bocais
	2,75
	Cotovelo 90°
	0,90
	Cotovel 45°
	0,4
	Crivo
	0,75
	Curva 90°
	0,40
	Curva 45°
	0,20
	Entrada normal
	0,50
	Entrada de borda
	1,00
	Junção
	0,40
	Redução gradual
	0,15
	Tê passagem direta
	0,60
	Tê saída de lado
	1,30
	Tê saída bilateral
	1,80
	Válvula gaveta
	0,20
	Válvula borboleta
	0,30
	Válvula de retenção
	2,50
	Válvula globo
	10,00
	Válvula de pé
	1,75
Fonte: Azevedo Neto, 1982
Cabe alertar que estes valores de Ks comumente encontrados, são valores médios típicos para cada umas das respectivas peças, sendo que normalmente podem ser utilizados paraproblemas onde as perdas lineares são preponderantes. Porém, deve-se tomar cuidado quando da aplicação de problemas de maior porte, onde as perdas singulares podem ser importantes, em se buscar coeficientes mais precisos, que correlacionem melhor as geometrias e as circunstâncias das peças com um coeficiente de perda de carga singular mais preciso.
Vamos aqui apresentar algumas destas correlações, para algumas singularidades típicas, porém deve-se ter em mente a necessidade de uma busca mais precisa na bibliografia corrente sobre como é o comportamento desses coeficientes para cada caso.
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( Mudanças bruscas de diâmetro
(Contração brusca
	D2/D1
	0,00*
	0,20
	0,40
	0,60
	0,80
	1,00
	Ks
	0,50
	0,45
	0,38
	0,28
	0,13
	0,00
*: equivalente a uma entrada de reservatório não reentrante e não ajustada
(Alargamento brusco
	D1/D2
	0,00*
	0,20
	0,40
	0,60
	0,80
	1,00
	Ks
	1,00
	0,922
	0,706
	,0410
	0,130
	0,00
*: equivalente a uma livre de um reservatório
4.4.1. Comprimento equivalente de uma singularidade
“Comprimento equivalente” é um comprimento de conduto fictício que causa uma perda de carga linear igual à perda na singularidade, ou seja:
hps = J ( Lequivalente
Portanto, somando-se todos os comprimentos equivalentes ao comprimento real obtêm-se um comprimento virtual que provocaria a mesma perda de carga total do sistema.
Deve-se alertar que esta metodologia prática só deve ser empregada para cálculos em ante-projetos, uma vez que o valor deste comprimento só é constante se o escoamento for turbulento rugoso.
Apresenta-se uma tabela genérica para a determinação do comprimento equivalente de diversas peças.
EXEMPLOS EXERCÍCIOS
1. A instalação mostrada na figura abaixo tem diâmetro de 50 mm em aço galvanizado. Determine, usando a fórmula de Hazen-Willian:
a) a vazão transportada;
b) a perda de carga localizada no registro e seu comprimento equivalente, quando a vazão for reduzida para 1,96L/s, pelo fechamento parcial do registro.
Dados: Comprimento equivalente de cada singularidade:
- entrada normal da tubulação: 0,7 m;
- saída da tubulação: 1,5 m;
- cotovelo de 90°: 1,4 m;
- curva de 45°: 0,4 m
- registro de ângulo, aberto: 8,5 m.
2. Uma tubulação de aço galvanizado, de 10 m de comprimento e 50 mm de diâmetro, interliga dois reservatórios, cujos níveis d´água mantém-se constantes, como mostra o esquema da figura.
Determine, usando a fórmula Universal:
a) a vazão transportada, admitindo que o registro de gaveta está totalmente aberto;
b) o comprimento equivalente do registro de gaveta, quando a vazão obtida no item a for reduzida de 50%.
Dados: Comprimento equivalente de cada singularidade:
- cotovelo de 45°: 0,8 m
- registro de gaveta aberto: 0,4 m
- entrada normal da tubulação: 0,7 m;
- saída da tubulação: 1,5 m;
3. O projeto de uma linha adutora ligando dois reservatórios previa uma vazão de 250L/s. A adutora, medindo 1300 m de comprimento foi executada em tubos de concreto com acabamento comum (C=120), com diâmetro de 500mm. Colocada em funcionamento, verificou-se que a vazão era de 180L/s devido a alguma obstrução deixada em seu interior por ocasião da construção.
Calcular, utilizando a fórmula de Hazen-Williams:
a) a perda de carga provocada pela obstrução;
b) o comprimento equivalente da obstrução.
4. A determinação experimental dos coeficientes e das perdas de carga localizada é feita mediante mediadas de pressão e declividades das linhas piezométricas, em trechos de escoamento estabelecido e de vazão. Calcule a perda de carga e o coeficiente de perda de carga para o alargamento gradual mostrado na figura abaixo, em relação à velocidade no tubo de 75mm de diâmetro, a partir dos dados da figura.
5. Dois reservatórios, mantidos em níveis constantes, são interligados em linha reta através de uma tubulação de 10 m de comprimento e diâmetro D=50mm, de PVC rígido, como mostra o esquema da figura. Admitindo que a única perda de carga localizada seja devido à presença de um registro de gaveta parcialmente fechado, cujo comprimento equivalente é Le = 20,0m, e usando a fórmula Universal, determine:
a) a vazão que escoa na canalização;
b) a perda de carga localizada no registro quando a vazão obtida no item a for reduzida de 30%;
c) o comprimento equivalente do registro na situação do item b.
6. A tubulação que liga dois reservatórios, mantidos em níveis constantes, é de aço comercial novo (C=120) e possui um registro de ângulo para regulagem de vazão na tubulação de diâmetro menor. Considerando todas as perdas de carga, distribuídas e localizadas, determine:
a) a vazão transportada quando o registro está totalmente aberto;
b) o coeficiente de perda de carga localizada Ks para esta situação;
c) o novo comprimento equivalente e Ks para reduzir a vazão do item a em 28%.
Comprimentos equivalentes:
- Registro de pressão totalmente aberto = 26,0 m;
- Entrada normal = 2,5 m;
- Saída da canalização = 6,0 m;
- Alargamento brusco = 3,0 m (considerar na tubulação de diâmetro menor).
7. Uma canalização de ferro dúctil com 1800m de comprimento e 300mm de diâmetro está descarregando, em um reservatório, 60L/s. calcular a diferença de nível entre a represa e o reservatório, considerando todas as perdas de carga. Verificar quanto as perdas locais representam da perda por atrito ao longo do encanamento (em %). Há na linha apenas 2 curvas de 90°, 2 de 45° e 2 registros de gaveta (abertos).
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4.5 Escoamento em sistemas de condutos
4.5.1 Condutos equivalentes
Um conduto é equivalente a outro, ou outros, quando transporta a mesma vazão sob a mesma perda de carga.
( Condutos em série
Numa situação de trecho de adutora composta por trechos de tubulação consecutivos, mas com diferentes diâmetros e/ou com diferentes rugosidades, temos a situação de uma instalação com condutos em série. Nesta situação, observamos o seguinte:
Qequivalente = Q1 = Q2 = Q3 = Qn
hpequivalente = hp1 + hp2 + hp3 + hpn
( Condutos em paralelo
Em um sistema de condutos que derivam de um ponto em comum a montante, e encontram-se em um outro ponto comum a jusantes, estamos na presença de um sistema de condutos em paralelo. Nesse tipo de sistema, observamos o seguinte:
Qequivalente = Q1 + Q2 + Q3 + Qn
hpequivalente = hp1 = hp2 = hp3 = hpn
D1
D2
D2
D1
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