FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL 2 (20)

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4320196 – F´ısica para Engenharia II - Prova P2 - 2011
Observac¸o˜es:
• Preencha todas as folhas com o seu nome, nu´mero
USP, nu´mero da turma e nome do professor.
• A prova tem durac¸a˜o de 2 horas.
• Na˜o somos responsa´veis por provas com identificac¸a˜o
insuficiente.
• Na˜o e´ permitido o uso de calculadora e celular (manter
desligado).
• Apresente sua identidade ou carta˜o USP ao assinar a
lista de presenc¸a.
• Resolva cada exerc´ıcio a partir da frente da folha de
resposta com o mesmo nu´mero.
• Justifique todas as respostas com fo´rmulas, co-
menta´rios (sucintos) e ca´lculos intermedia´rios, na˜o es-
quecendo das unidades das grandezas f´ısicas.
• Caso aparec¸a alguma raiz que na˜o seja um quadrado
perfeito, deixe indicado (na˜o e´ necessa´rio calcular o va-
lor decimal).
• Resultados sera˜o anunciados no site da disciplina.
Formula´rio:
x(t) = A cos (ω0t+ ϕ)
ω0 =
√
k
m ; k =
d2U(x)
dx2
∣∣∣
x=x0
x(t) = Ae−
γ
2
t cos (ωt+ ϕ); ω =
√
ω20 − γ
2
4
x(t) = e−
γ
2
t
(
aeβt + be−βt
)
;β =
√
γ2
4 − ω20
x(t) = e−
γ
2
t (a+ bt)
x(t) = F0/m
ω20−Ω2
cos (Ωt+ ϕ)
x(t) = A(Ω) cos (Ωt+ ϕ(Ω));
A(Ω) = F0/m√
(ω20−Ω2)
2
+γ2Ω2
; tanϕ(Ω) = − γΩ
ω20−Ω2
Q = A(ω0)A(0) ;Q =
ω0
γ ; τd = γ
−1
Q1 - Um planeta de massa m orbita uma estrela de massa M . Considerando a massa
da estrela muito maior que a do planeta, podemos descrever a energia mecaˆnica do sistema
(que deve ser constante) em termos do momento angular (outra constante do movimento), da
distaˆncia instantaˆnea entre o planeta e a estrela r e de sua velocidade radial dr/dt:
E = −GMm
r
+
L2
2mr2
+
m
2
(
dr
dt
)2
= Ue(r) +
m
2
(
dr
dt
)2
onde G e´ a constante de gravitac¸a˜o universal. Note que a contribuic¸a˜o da velocidade angular
para a energia cine´tica e´ completamente descrita em termos do momento angular L e do
momento de ine´rcia I = mr2. A combinac¸a˜o deste termo com a energia potencial gravitacional
da´ origem a um potencial efetivo, dependente apenas de r.
(a) [0,75] Qual a distaˆncia re, correspondente ao mı´nimo da energia potencial efetiva?
(b) [0,5] Fac¸a o gra´fico da energia potencial efetiva Ue(r).
(c) [0,75] Para pequenas flutuac¸o˜es em torno desta condic¸a˜o de equil´ıbrio, qual a frequeˆncia
de oscilac¸a˜o de r(t)?
(d) [0,5] A oscilac¸a˜o de r ira´ fazer com que o planeta se aproxime e se afaste da estrela de
forma perio´dica, combinando este movimento ao giro do mesmo em torno da estrela.
Mostre que esta frequeˆncia de oscilac¸a˜o em torno de re e´ igual ao inverso do per´ıodo
da o´rbita, calculada para a condic¸a˜o de equil´ıbrio r = re, o que implica em uma o´rbita
fechada.
1
Soluc¸a˜o Q1:
a)
dUe
dr
=
GMm
r2
− L
2
mr3
= 0
re =
L2
GMm2
, Um = −G
2M2m3
2L2
b)
c)
d2Ue
dr2
= −2GMm
r3
+ 3
L2
mr4
d2Ue
dr2
|r=re =
G4M4m7
L6
= k
E = Um +
mr˙2
2
+
k (r − re)2
2
ω = 2piν =
√
k
m
→ ν = G
2M2m3
2piL3
(1)
d)
Acelerac¸a˜o centr´ıpeta:acp = (
2pi
T
)2re =
F
m
=
GMm
r2
T = 2pi
√
r3e
GMm
= 2pi
L3
G2M2m3
=
1
ν
(2)
2
Q2 - Considere um sistema como o da figura ao
lado, composto por treˆs molas ideˆnticas (com cons-
tantes k = 150 N/m) de massas desprez´ıveis e uma
polia, tambe´m de massa desprez´ıvel. Inicialmente
o sistema esta´ em equil´ıbrio na posic¸a˜o 0. Em um
determinado instante, uma massa m e´ conectada a
uma das molas, deslocando o sistema do valor y0.
Logo abaixo desta massa ha´ um dispositivo sens´ıvel
ao toque que acende uma laˆmpada cada vez que e´
tocado pela massa. Despreze quaisquer efeitos de
atrito no sistema.
Supondo que a distaˆncia entre a posic¸a˜o de
equil´ıbrio da massa e a superf´ıcie do dispositivo
sens´ıvel ao toque e´ de 10 cm e que, pra dar in´ıcio
ao movimento, voceˆ simplesmente encosta a massa
no dispositivo e libera o sistema, calcule:
(a) [0,25] A posic¸a˜o de equil´ıbrio y0 (em termos da massa m).
(b) [0,5] A equac¸a˜o do movimento resultante da massa m.
(c) [0,75] A soluc¸a˜o da equac¸a˜o do movimento da massa m.
(d) [0,5] O valor que deve ser escolhido para a massa m para que a laˆmpada acenda uma vez
a cada 0,4 pi segundos.
(e) [0,5] O trabalho realizado sobre o sistema em equil´ıbrio para dar in´ıcio ao movimento
descrito no ı´tem (d).
Soluc¸a˜o Q2:
a)
y(t) = y1(t)
2
+ y2(t)
2
+ y3(t)
T1 = ky1 = T2 = ky2 ; T3 = ky3
como T3 = T = 2T1 ⇒ T1 = T2 , temos, no equil´ıbrio
y0 =
y1(0)
2
+
y2(0)
2
+ y3(0) =
T1
2k
+
T2
2k
+
T3
k
y0 =
T
4k
+
T
4k
+
T
k
=
3T
2k
mg = T = 2k.y0
3
⇒ y0 = 3mg2k = 0, 1×m metros.
3
b)
y(t) =
y1(t)
2
+
y2(t)
2
+ y3(t) =
3T
2k
=
T
K
onde K = 2
3
k
Equac¸a˜o de movimento para a massa:
md
2y(t)
dt2
= mg −Ky(t) = −K (y(t)− mg
K
)
= −K (y(t)− y0)
Se Y (t) = y(t)− y0
d2Y (t)
dt2
= −K
m
Y (t)
c) Soluc¸a˜o: Y (t) = A cosω0t+ ϕ
com ω0 =
√
K
m
=
√
2k
3m
= 10√
m
rad/s
Y (0) = 0, 1m→ A cosϕ = 0, 1
Y˙ (0) = 0→ −Aω0 sinϕ = 0
}
⇒ ϕ = 0;A = 0, 1.
Y (t) = 0, 1 cos 10√
m
t .
d) Per´ıodo: T = 2pi
ω0
= 2pi.
√
m
10
Logo m =
(
10 T
2pi
)2
Se T = 0, 4pi enta˜o m = (10× 0, 2)2 = 4 kg.
e) Trabalho realizado sobre a mola para mover a massa 10 cm a partir da posic¸a˜o de
equil´ıbrio:
W = ∆U = 1
2
KY (0)2
ou seja
W = 1
2
× 100× (0, 1)2 = 0, 5 J
4
Q3 - Considere um sistema massa-mola, composto por uma mola de constante k e uma
massa m0, sujeito a uma forc¸a de amortecimento proporcional a` velocidade dada por Fa =
−ρdx
dt
. O sistema esta´ no regime cr´ıtico de amortecimento.
(a) [0,5] Determine, em func¸a˜o de k e m0, o valor da constante de amortecimento ρ.
(b) [0,5] Sabendo que o sistema parte da posic¸a˜o x0 com velocidade nula, determine a posic¸a˜o
do sistema em func¸a˜o do tempo em termos de k e m0.
(c) [0,5] Se trocarmos a massa do sistema por uma massa m1 =
m0
2
qual sera´ o regime de
oscilac¸a˜o do sistema? Justifique.
(d) [0,5] Sabendo que com a nova massa o sistema parte da posic¸a˜o x0 com velocidade nula,
determine a posic¸a˜o do sistema em func¸a˜o do tempo em termos de k e m0.
(e) [0,5] Se trocarmos agora a massa do sistema por uma massa m2 = 2m0 qual sera´ o regime
de oscilac¸a˜o do sistema? Justifique.
Soluc¸a˜o Q3:
(a) Determine, em func¸a˜o de k e m0, o valor da constante de amortecimento.
No regime cr´ıtico:
γ0
2
= ω0 ⇒ ρ
2m0
=
√
k
m0
A constante de amortecimento e´ dada por:
ρ = 2
√
km0
(b) Sabendo que o sistema parte da posic¸a˜o x0 com velocidade nula, determine a posic¸a˜o do
sistema em func¸a˜o do tempo em termos de k e m0.
No regime cr´ıtico a posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo e´ dada por:
x(t) = (a+ bt)e−
γ0
2
t
Usando as condic¸o˜es iniciais temos:
x(0) = x0 ⇒ a = x0
5
Velocidade:
dx
dt
(t) = be−
γ0
2
t − γ0
2
(a+ bt)e−
γ0
2
t
dx
dt
(0) = b− γ0
2
a = 0 ⇒ b = γ0
2
x0
Dessa forma a posic¸a˜o do sistema em func¸a˜o do tempo sera´ dada por:
x(t) = x0
(
1 +
γ0
2
t
)
e−
γ0
2
t = x0
(
1 +
√
k
m0
t
)
e
−
√
k
m0
t
(c) Se trocarmos a massa do sistema por uma massa m1 =
m0
2
qual sera´ o regime de oscilac¸a˜o
do sistema? Justifique.
Para m1 =
m0
2
temos:
ω1 =
√
2k
m0
=
√
2ω0
γ1
2
=
ρ
m0
= 2
γ0
2
Dessa forma:
γ1
2
> ω1 ⇒ o sistema estara´ no regime supercr´ıtico de amortecimento
(d) Sabendo que com a nova massa o sistema parte da posic¸a˜o x0 com velocidade nula,
determine a posic¸a˜o do sistema em func¸a˜o do tempo em termos de k e m0.
Soluc¸a˜o para o regime supercr´ıtico:
x(t) = ae−(
γ1
2
−β)t + be−(
γ1
2
+β)t
onde beta e´ dado por:
β =
√
γ21
4− ω21 =
√
2
k
m0
6
Usando as condic¸o˜es iniciais temos:
x(0) = a+ b = x0
Velocidade:
dx
dt
(t) = −a
(γ1
2
− β
)
e−(
γ1
2
−β)t − b
(γ1
2
+ β
)
e−(
γ1
2
+β)t
dx
dt
(0) = −a
(γ1
2
− β
)
− b
(γ1
2
+ β
)
= 0
Combinando as duas equac¸o˜es temos:
a =
x0
2
(
1 +
γ1
2β
)
=
x0
2
(
1 +
√
2
2
)
b =
x0
2
(
1− γ1
2β
)
=
x0
2
(
1−
√
2
2
)
Dessa forma a posic¸a˜o do sistema em func¸a˜o do tempo sera´ dada por:
x(t) =
x0
2
[(
1 +
√
2
2
)
e
−(2−
√
2)
√
k
m0
t
+
(
1−
√
2
2
)
e
−(2+
√
2)
√
k
m0
t
]
(e) Se trocarmos agora a massa do sistema por uma massa m2 = 2m0 qual sera´ o regime de
oscilac¸a˜o do sistema? Justifique.
Para m2 = 2m0 temos:
ω2 =
√
k
2m0
=
ω0√
2
γ2
2
=
ρ
4m0
=
1
2
γ0
2
Dessa forma:
γ2
2
< ω2 ⇒ o sistema estara´ no regime subcr´ıtico de amortecimento
7
Q4 - Um peˆndulo de torc¸a˜o de massa M=5,0 kg, imerso
em um meio viscoso, oscila em torno do seu ponto de
equil´ıbrio obedecendo a seguinte equac¸a˜o de movimento:
Iθ¨ = −bθ˙ − kθ
onde I=3,0 kg.m2, k=2,0 N.m e b = 3
√
2 N.m.s.
(a) [1,0] Determine a soluc¸a˜o da equac¸a˜o de movimento considerando as seguintes condic¸o˜es
iniciais: θ(t = 0) = 0, 5 rad e θ˙(t = 0) = 0.
(b) [0,5] Qual e´ o tempo necessa´rio para que a amplitude do movimento caia a` metade?
Suponha agora que o peˆndulo esteja sob a ac¸a˜o de um torque externo perio´dico τ(t) =√
7 cos(
√
3
3
t).
(c) [0,25] Calcule a amplitude da soluc¸a˜o estaciona´ria.
(d) [0,75] Dadas as mesmas condic¸o˜es iniciais do ı´tem (a), qual e´ o tempo necessa´rio para
que a amplitude da soluc¸a˜o transiente seja 1/6 da amplitude da soluc¸a˜o estaciona´ria?
Soluc¸a˜o Q4:
θ¨ + b
I
θ˙ + k
I
θ = 0
γ = b
I
=
√
2 rad/s e ω0 =
k
I
=
√
2
3
rad/s ⇒ ω =
√
1
6
rad/s
Como ω0 >
γ
2
⇒ amortecimento sub-cr´ıtico
(a)
θ(t) = θ0e
− γt
2 cos(ωt+ ϕ)
θ˙(t) = −γ
2
θ0e
− γt
2 cos(ωt+ ϕ)− ωθ0e− γt2 sin(ωt+ ϕ)
Condic¸o˜es iniciais:
8
θ0 cos(ϕ) =
1
2
(1)
−γ
2
θ0 cos(ϕ)− ωθ0 sin(ϕ) = 0 ⇒ tan(ϕ) = − γ2ω (2)
ϕ = tan−1(−√3) ⇒ ϕ = 5pi
3
rad ou ϕ = −pi
3
rad
Substituindo em (1) temos que θ0 = 1 rad
Portanto:
θ(t) = e−
√
2t
2 cos(
√
1
6
t+ 5pi
3
) ou θ(t) = e−
√
2t
2 cos(
√
1
6
t− pi
3
)
(b)
e−
√
2t
2 = θ0
2
= 1
2
−
√
2t
2
= ln(1
2
)
t =
√
2 ln(2) s
(c)
τ(t) =
√
7 cos(
√
3
3
t) ⇒ τo =
√
7 N m e Ω =
√
3
3
rad/s
Soluc¸a˜o particular: Θp(t) = Θ0(Ω) cos[Ωt+ φ(Ω)]
Θ0(Ω) =
τo
I
1√
(ω20−Ω2)2+γ2Ω2
Θ0(Ω) =
√
7
3
1√
( 23− 13)
2
+ 2
3
⇒ Θ0(Ω) = 1 rad
(d)
θ0e
− γt
2 = 1
6
Θ0(Ω)
e−
√
2t
2 = 1
6
√
2t
2
= ln(6)
t =
√
2 ln(6) s
9