P3 POLI 2009

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FEP2196 � Física para Engenharia II
Prova P3 � 04/12/2008
Nome:.................................................. N
o
USP:................................................
Assinatura:.......................................... Turma/Professor:................................
Observações:
• A prova tem duração de 2 horas.
• Não é permitido o uso de calculadora.
• Preencha de forma legível todas as folhas (inclusive esta) com seu nome, número
USP e turma, e apresente sua identidade ao assinar a lista de presença.
• Resolva cada exercício a partir a frente da folha com o mesmo número.
• Justifique todas as respostas com fórmulas, comentários e cálculos intermediários,
não esquecendo das unidades das grandezas físicas.
• Caso apareça alguma raiz que não seja um quadrado perfeito, deixe indicado (não
é necessário aproximar a resposta).
Formulário
x′ = γ(v)(x− vt) t′ = γ(v)(t− v
c2
x) γ(v) =
1√
1− v
2
c2
x = γ(v)(x′ + vt′) t = γ(v)(t′ +
v
c2
x′)
u′x =
ux − v
1− vux
c2
u′y =
1
γ(v)
uy
1− vux
c2
~p = γ(v)m0~v E = γ(v)m0c2
E2 = p2c2 +m02c4 ν ′ =
√
1∓ v/c
1± v/c ν
sen30◦ = cos 60◦ =
1
2
sen60◦ = cos 30◦ =
√
3
2
sen45◦ = cos 45◦ =
√
2
2
1
S
S
S
S’
S’
S’ 30o
30o x
y S
u
u
A
B
Figura 1: Painel da esquerda (Q. 1): Caixa com espelhos nas extremidades. Os eventos A,
B e C correspondem à emissão do raio de luz no espelho esquerdo, reflexão no espelho direito,
e retorno ao espelho esquerdo, respectivamente. Painel da direita (Q. 4): Partículas A e B
vistas do referencial S, num instante t.
Questão 1
Dois espelhos são colocados nas extremidades de uma caixa de largura própria L0 = 900 m,
como mostra o painel da esquerda da Figura 1. Considere dois observadores: para um deles, o
observador S, essa caixa se move à velocidade v = 0, 8 c para a direita (na direção de x positivo);
o outro observador, S′, está no referencial próprio da caixa. No instante t = t′ = 0 as origens
dos sistemas de coordenadas de S e S′ coincidem e um raio de luz é emitido do espelho esquerdo
da caixa (na origem de S′), em direção ao espelho direito (evento A). Mais tarde, o raio de luz é
refletido pelo espelho direito (evento B) e, finalmente, o raio de luz retorna ao espelho esquerdo
(evento C).
Responda:
(a) Quais as coordenadas (t′, x′) no referencial S′, e (t, x) no referencial S, dos eventos A, B e
C? (0,5)
(b) No referencial próprio da caixa, quanto tempo demora entre o raio de luz ser emitido (A) e
retornar (C) ao espelho esquerdo? (0,5)
(c) Para o observador no referencial S, quanto tempo demora entre o raio de luz ser emitido
(A) e retornar (C) ao espelho esquerdo? (0,5)
(d) O observador no referencial S quer medir o comprimento da caixa. Supondo que o observador
S conhece as coordenadas dos eventos A, B e C, como ele pode fazer para determinar o
comprimento da caixa, e que valor ele obtém? (1,0)
2
Questão 2
Alfa-Centauro é a estrela mais próxima da Terra, situada a uma distânciaD medida no referencial
próprio da Terra. Um astronauta parte da Terra em direção a ela com velocidade 0, 6c. Considere
a estrela em repouso em relação à Terra.
(a) Para o astronauta, qual foi a distância percorrida? (0,5)
(b) Para o astronauta, qual foi o tempo da viagem? (0,5)
(c) Qual a duração da viagem, medida por um observador na Terra? (0,5)
(d) Se na metade da viagem o astronauta emitisse um sinal de luz em direção à Terra, quanto
tempo depois da partida do astronauta esse sinal seria observado na Terra? (0,5)
(e) Existe algum referencial inercial em que a partida do astronauta da Terra e sua chegada em
Alfa-Centauro sejam eventos simultâneos? (0,5)
Questão 3
Considere um elétron e um pósitron (partícula idêntica ao elétron exceto por sua carga elétrica,
que tem mesma magnitude mas sinal oposto), de massas de repouso m0 = 0, 51MeV/c2 e ve-
locidades de mesma magnitude, tal que γ = 5/3 , colidindo de frente segundo um observador no
referencial inercial S. Nesse processo, o elétron e o pósitron se aniquilam, produzindo radiação
gamma (fótons).
(a) Qual o valor das velocidades das partículas segundo o observador em S? (0,5)
(b) É possível que um único fóton seja gerado nesse processo? Ou seja, a reação e
− + e+ −→ γ
pode ocorrer? (0,5)
(c) É possível que dois fótons sejam gerados nesse processo? Ou seja, a reação e
−+e+ −→ γ+γ
pode ocorrer? (0,5)
(d) Calcule a energia e o momento linear do(s) fóton(s) gerado(s), no referencial S (pelo menos
um dos processos dos ítens anteriores é possível). (0,5)
(e) Qual a energia cinética total inicial, no referencial de laboratório? Há conservação da energia
cinética? (0,5)
Questão 4
Em um referencial inercial S, um observador vê duas partículas idênticas (A e B) emergirem da
origem, com velocidades iguais em módulo u = c
√
3/3 , formando ângulos de +30◦ e −30◦ com
o eixo x, conforme o painel da direita da Figura 1.
(a) Qual a velocidade do referencial de centro de massa das duas partículas? (0,5)
(b) Calcule as velocidades de A e B, quando observadas no referencial do centro de massa das
duas partículas. (1,0)
(c) Admita que, num determinado instante, a partícula A emita um sinal luminoso de freqüência
própria ν0, na direção de um observador localizado no centro de massa. Calcule a freqüência
ν do sinal medida por esse observador. (1,0)
3
FEP2196 � Físi
a para Engenharia II
Prova P3 � 10/12/2009 � Gabarito
Formulário
x′ = γ(v)(x − vt) t′ = γ(v)(t− v
c2
x) γ(v) =
1√
1− v
2
c2
x = γ(v)(x′ + vt′) t = γ(v)(t′ +
v
c2
x′) y′ = y z′ = z
l =
1
γ(v)
l0 τ = γ(v)τ0
u′x =
ux − v
1− vuxc2
u′y =
1
γ(v)
uy
1− vuxc2
~p = γ(v)m0~v E = γ(v)m0c
2 E2 = p2c2 +m0
2c4
sen30◦ = cos 60◦ =
1
2
sen60◦ = cos 30◦ =
√
3
2
sen45◦ = cos 45◦ =
√
2
2
Questão 1: GP do Brasil e Supernova
No Grande Prêmio (GP) do Brasil de Fórmula 1 em Interlagos, o piloto A ganha a 
orrida 
ruzando
a linha de 
hegada um segundo antes do piloto B. Supondo que o autódromo de Interlagos possa ser
onsiderado um referen
ial iner
ial (S), responda:
(a) [1,0℄ A ordem de 
hegada é a mesma em qualquer referen
ial S′ que se move 
om relação a S,
independentemente de sua velo
idade 
om relação a S? Mostre que o intervalo de tempo entre as
hegadas dos pilotos medido em S é sempre menor ou igual a um intervalo de tempo medido em
um outro referen
ial S′.
R: Em S,
∆t = 1 s , ∆x = 0
Já em S′,
∆t′ = γ(v)(∆t− v
c2
∆x) = γ∆t > ∆t .
Portanto, a ordem de 
hegada é inalterada (∆t > 0 e ∆t′ > 0), e o intervalo de tempo em S′ é
sempre maior que o em S.
(b) [0,5℄ Um ano depois da 
orrida (em S) o
orre uma explosão de uma �estrela supernova� a 100 anos-
luz de distân
ia da terra (obs: 1 ano-luz é a distân
ia que a luz per
orre em um ano). Quantos anos
depois do �nal da 
orrida a luz da explosão da supernova será observada por astr�nomos na terra?
R: O tempo é 1 ano + 100 anos-luz/c = 101 anos.
(
) [1,0℄ Para um observador situado em um referen
ial iner
ial S′, que se afasta de S 
om velo
idade
v, a explosão da supernova o
orre um ano antes do GP do Brasil. Estime a velo
idade do sistema
S′ 
om relação a S em m/s (
onsidere a velo
idade da luz 
omo sendo c = 3.0 × 108 m/s; se vo
ê
a
har ne
essário, utilize também o fato de que um ano 
orresponde a aproximadamente 3× 107 s).
R: Temos que o evento da explosão da supernova, que no referen
ial S o
orre em t2 = 1 ano, e
x2 = 100 anos-luz, o
orre em S
′
num instante:
t′2 = γ(t2 −
v
c2
x2) = −1 ano
Agora, usando que γ = 1/
√
1− v2/c2 e resolvendo para v obtemos que:
v =
200
104 + 1
c ≃ 6× 106 m/s .
1
Questão 2: Metralhadora espa
ial
Uma metralhadora atira balas relativísti
as 
om velo
idade 0,5 
, a uma taxa de 60 balas por minuto,
ontra uma espaçonave inimiga.A nave inimiga, por sua vez, se aproxima da metralhadora 
om velo
idade
0,5 
.
(a) [0,5℄ Qual é a distân
ia entre as balas no referen
ial da metralhadora (S)?
R: Em S temos que
λ = 0.5c× 1 s = 1, 5× 108 m .
(b) [0,5℄ Cal
ule o intervalo de tempo entre dois disparos 
onse
utivos no referen
ial da nave (S′)?
R: Dilatação temporal apli
ada ao intervalo τ = 1 s de disparos em S:
τ ′ = γ(v = 0, 5c)τ =
2√
3
=≃ 1, 15 s .
(
) [0,5℄ Qual a velo
idade das balas no referen
ial S′?
R: Vamos 
hamar de u a velo
idade da bala no referen
ial S, e u′ será a velo
idade no referen
ial
S′. Vamos também supor que a metralhadora está no eixo x, à esquerda da nave inimiga, que se
move para a esquerda (na direção −xˆ) 
om velo
idade 0,5 c.
Usando a fórmula para a transformação de velo
idades na direção paralela ao movimento relativo
entre os referen
iais, temos que a velo
idade das balas é dada por:
u′ =
0, 5 c− (−0, 5 c)
1− (0.5 c)(−0,5 c)c2
=
1 c
5/4
=
4
5
c = 2, 4× 108 m/s .
(d) [1,0℄ Qual é a distân
ia entre balas 
onse
utivas no referen
ial da nave (S′)?
R: É a distân
ia (u′τ ′) per
orrida pela bala no intervalo entre disparos (τ ′) menos a distân
ia (vτ ′)
per
orrida pela metralhadora no mesmo intervalo de tempo.
λ′ = (u′ − v)τ ′ = (4
5
− 0, 5)c 2√
3
=
√
3
5
c = 1, 04× 108 m .
Questão 3: Nave espa
ial que �engole� asteróide
Uma espaçonave 
ruza nossa galáxia 
om os propulsores desligados e uma velo
idade v próxima da
velo
idade da luz, medida no referen
ial S que está em repouso 
om relação à galáxia. Ao longo da
trajetória da nave ela 
aptura um pequeno asteróide que estava em repouso na galáxia, aumentando
assim sua massa e diminuindo um pou
o sua velo
idade.
Sendo M e m as massas de repouso da nave e do asteróide, respe
tivamente, responda (deixando,
quando ne
essário, suas respostas em função de γ(v) = [1− (v/c)2]−1/2):
(a) [1,0℄ Qual a velo
idade �nal u da nave (após a 
aptura) para um observador em repouso na galáxia
(no referen
ial S)?
R: Usando 
onservação de energia e momento, temos que, no referen
ial S:
γ(v)Mv = γ(u)Mfu ,
e
γ(v)Mc2 +mc2 = γ(u)Mfc
2 ,
onde u é a velo
idade da nave após ela 
apturar o asteróide, e Mf é a massa �nal da nave após a
aptura (note que Mf 6= M +m, pois se trata de um 
hoque inelásti
o!)
Substituindo γ(u)Mf da segunda equação na primeira, temos que:
u =
γ(v)M
γ(v)M +m
v .
2
(b) [1,0℄ Agora tome o referen
ial (S′), que está em repouso 
om relação à nave antes da 
aptura. Nesse
referen
ial, qual a velo
idade �nal u′ da nave depois de 
apturar o asteróide?
R: Novamente, usamos 
onservação de energia e momento, agora no referen
ial S′. Note que, se a
velo
idade relativa da nave 
om rela
ão ao asteróide é v, então a velo
idade relativa do asteróide
om relação à nave é −v (vetorialmente, é 
laro). Temos então que:
−γ(v)mv = −γ(u′)Mfu′ ,
e
γ(v)mc2 +Mc2 = γ(u′)Mfc
2 ,
onde u′ é a velo
idade da nave após ela 
apturar o asteróide, no referen
ial S′, e Mf é a massa �nal
da nave após a 
aptura (note que a massa de repouso Mf é a mesma nos dois referen
iais!)
Substituindo γ(u′)Mf da segunda equação na primeira, temos que:
u′ =
γ(v)m
γ(v)m+M
v .
Note também que poderíamos ter 
hegado a essa expressão utilizando a transformação de velo
i-
dades, obtendo u′ em função de u e de v. O resultado seria idênti
o ao obtido a
ima � a menos de
um pou
o de álgebra.
(
) [0,5℄ Qual a massa de repouso �nal da nave depois de 
apturar o asteróide? Deixe sua resposta em
termos dos γ's das velo
idades.
R: Podemos obter a massa de qualquer uma das equações de 
onservação de energia, no referen
ial
S ou no referen
ial S′. Temos que:
Mf =
γ(v)M +m
γ(u)
=
γ(v)m+M
γu′
.
É fá
il (embora um pou
o trabalhoso) veri�
ar que as duas expressões a
ima são iguais � mas isso
não foi exigido na prova.
Questão 4: Colisão de partí
ulas idênti
as
Um 
hoque envolve duas partí
ulas idênti
as de massa de repousom0. Antes da 
olisão uma das partí
ulas
(1) estava se movendo na direção x de en
ontro à outra (2), que estava ini
ialmente parada num referen
ial
S. A energia da partí
ula (1) antes da 
olisão, medida no referen
ial S, era de 5m0 c
2
.
Sabendo que o 
hoque foi elásti
o e que as duas partí
ulas emergem 
om energias 
inéti
as iguais,
responda (sempre no referen
ial S):
(a) [0,5℄ Qual é a energia 
inéti
a ini
ial do sistema, antes do 
hoque?
R:
K = K1 = [γ(v)− 1]m0 c2 = 4m0 c2 .
(b) [1,0℄ Mostre que depois do 
hoque as 
omponentes do momento linear das duas partí
ulas na direção
x são iguais, e determine as 
omponentes do momento �nal da partí
ula (1), p
(1)
x e p
(1)
y em termos
de m0c.
(
) [1,0℄ Qual é o ângulo entre as trajetórias das duas partí
ulas depois do 
hoque?
R: Primeiro, vamos es
rever a energia antes do 
hoque:
Ei = E1 + E2 = 5m0 c
2 +m0 c
2 = 6m0 c
2 .
Depois do 
hoque, as partí
ulas saem 
om velo
idades iguais em módulo (u), portanto, por 
onser-
vação de energia:
Ef = 2 γ(u)m0 c
2 ⇒ γ(u) = 3 .
3
Agora, podemos obter v e u sabendo que γ(v) = 5 (do enun
iado e do item anterior), e que γ(u) = 3.
Obtemos que:
v =
√
24
25
c , u =
√
8
9
c .
Quanto ao momento ini
ial, temos que
~Pi = γ(v)m0 v xˆ .
Como as velo
idades es
alares �nais das duas partí
ulas são iguais (u), então 
laramente as 
ompo-
nentes dessas velo
idades na direção y têm que ser iguais mas 
om sentidos opostos (u
(2)
y = −u(1)y ),
para que haja 
onservação de momento naquela direção. Isso signi�
a que na direção x as 
ompo-
nentes das velo
idades �nais das duas partí
ulas são idênti
as (u
(2)
x = u
(1)
x ). Portanto, no estado
�nal as duas partí
ulas têm a mesma quantidade de movimento na direção x, que então é a metade
da quantidade de movimento ini
ial.
Temos então que:
~Pf = 2 γ(u)m0 ux xˆ = 2 × 3 × m0 ×
√
8
9
c × cos θ xˆ = 4
√
2 cos θm0 c xˆ; ,
onde θ é o ângulo que ~u (de qualquer uma das duas partí
ulas) faz 
om o eixo x. Mas o momento
ini
ial está dado a
ima, e vale:
~Pi = γ(v)m0 v xˆ = 5m0
√
24
25
c xˆ = 2
√
6m0 c xˆ .
Igualando o momento ini
ial 
om o momento �nal, temos que:
cos θ =
√
3
2
⇒ θ = 30◦ .
Assim, �nalmente temos que a resposta para o item (b) é:
p(1)x = γ(u)m0 u cos θ =
1
2
Pi =
√
6m0 c ,
p(2)y = γ(u)m0 u senθ =
√
2m0 c .
Dessas expressões também podemos obter que p =
√
p2x + p
2
y = 2
√
2m0 c, o que 
onfere 
om a
expressão p = γ(u)m0u.
A resposta para o item (
) é portanto a seguinte: a primeira partí
ula emerge num ângulo de
30◦ 
om respeito ao eixo x; a segunda partí
ula emerge num ângulo −30◦ 
om respeito ao eixo x.
Portanto, o ângulo entre as trajetórias das partí
ulas é de 60◦.
4