Fis II - Poli - P3 - 2016

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Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P3 (02/12/2016) [z7BA]
NUSP: ⓪ ⓪ ⓪ ⓪ ⓪ ⓪ ⓪
① ① ① ① ① ① ①
② ② ② ② ② ② ②
③ ③ ③ ③ ③ ③ ③
④ ④ ④ ④ ④ ④ ④
⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤
⑥ ⑥ ⑥ ⑥ ⑥ ⑥ ⑥
⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦
⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧
⑨ ⑨ ⑨ ⑨ ⑨ ⑨ ⑨
Instruções: preencha completamente os círculos com
os dígitos do seu número USP (um em cada coluna); na
parte de baixo dessa folha, preencha completamente
os círculos com as respostas corretas correspondentes a
cada questão. Use caneta esferográfica preta ou azul.
Escreva apenas nas áreas designadas.
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Assinatura: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Turma: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Professor: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ESTE ESPAÇO É DE USO EXCLUSIVO DA BANCA
DE CORREÇÃO
1a Avaliação Revisão
Múltipla-escolha
Parte discursiva
Total
• Esta prova é formada de uma parte objetiva contendo quatro (4) questões de múltipla-escolha (Q1-Q4) e uma
parte discursiva contendo duas (2) questões (Q5 e Q6).
• As soluções das questões discursivas devem ser feitas no CADERNODERESPOSTAS devidamente identificado
com nome, NUSP e turma.
• A parte objetiva corresponde a um total de 4,0 pontos e a parte discursiva a 6,0 pontos.
Marque as respostas das questões de múltipla-escolha
(1) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ
(2) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ
(3) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ
(4) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ
Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P3 (02/12/2016) [z7BA]-p1/13
QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-4)
Quando necessário, use vsom = 340 m/s.
(1) [1,0 pt] Suponha duas ondas progressivas transversais numa corda sob tensão de densidade linear de massa
µ = 100 g/m, dadas por
y1(x, t) = 0, 01 cos(200pit− 20pix+ pi) e y2(x, t) = 0, 01 cos
(
200pit− 20pix+ 5pi
3
)
com y1 e y2 em metros. A intensidade da onda resultante na corda é:
 (a) 4pi2 W
 (b) 8pi2 W
 (c) 6pi2 W
 (d) 0 W
 (e) 2pi2 W
SOLUÇÃO:
Das funções de onda apresentadas, vemos que as ondas possuem mesma amplitude A, frequência angular ω,
número de onda k e velocidade de propagação v (trata-se da mesma corda). Tais variáveis podem ser obtidas dire-
tamente a partir das funções de onda: A = 0, 01m, ω = 200pi rad/s, k = 20pi rad/m, v = ω/k = 10 m/s. As
respectivas constantes de fase δ1 = pi e δ2 = 5pi/3. A intensidade da onda resultante da interferências das duas
ondas apresentadas, é dada por
I = I1 + I2 + 2
√
I1 I2 cos(δ1 − δ2),
com
I1 = I2 =
1
2
µvω2A2 =
1
2
(0, 1)(10)(200pi)2(0, 01)2 = 2pi2 W.
Dessa forma
I = 2I1 (1+ cos(2pi/3)) = 4pi2(1− 1/2) = 2pi2 W
Alternativa correta: (e)
(2) [1,0 pt] Dois tubos de um órgão de tubos possuem comprimentos de 85 cm e 80 cm, respectivamente. Ambos
os tubos são abertos nas duas extremidades. Se ambos os tubos ressonarem em seus modos fundamentais, qual é o
número de batimentos (máximos de intensidade sonora) por segundo que uma pessoa nas proximidades dos tubos
ouviria?
 (a) 12 Hz
 (b) 12,5 Hz
 (c) 5 Hz
 (d) 24 Hz
 (e) 25 Hz
Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P3 (02/12/2016) [z7BA]-p2/13
SOLUÇÃO:
Como ambos os tubos possuem as duas extremidades abertas, temos nós de pressão nessas duas extremidades,
de modo que as frequências dos modos normais desses órgão são dadas por:
f1 = n1
vsom
2`1
e f2 = n2 vsom2`2 ,
onde `1 = 85 cm e `2 = 80 cm. Na situação do enunciado, n1 = n2 = 1.
A frequência dos batimentos é igual à diferença entre as frequências f2 e f1
fbat = f2 − f1 = n2 vsom2`2 − n1
vsom
2`1
=
vsom
2
(
n2`1 − n1`2
`1`2
)
=
34000
2
(
85− 80
6800
)
=
25
2
= 12, 5 Hz
Alternativa correta: (b)
(3) [1,0 pt]Quais das funções abaixo são soluções da equação de ondas em uma dimensão?
y1(x, t) = 2x3 + 12x2t+ 24xt2 + 16t3
y2(x, t) = A cos(kx) cos(ωt)
y3(x, t) = A sin2(Bx+ Ct)
 (a) nenhuma delas
 (b) as funções y2, y3
 (c) todas elas.
 (d) as funções y1 e y3
 (e) apenas a função de onda y3
SOLUÇÃO:
A equação de ondas em uma dimensão é dada por:
1
v2
∂2y
∂t2
− ∂
2y
∂x2
= 0
Para a função y1(x, t) temos que
∂y1
∂t
= 12x2 + 48xt+ 48t2 =⇒ ∂
2y1
∂t2
= 48x+ 96t
∂y1
∂x
= 6x2 + 24xt+ 24t2 =⇒ ∂
2y1
∂x2
= 12x+ 24t,
de modo que y1(x, t) é solução de uma equação de onda com velocidade v = 2 (em unidades de comprimento por
tempo).
Para a função y2(x, t) temos que
∂y2
∂t
= −ωA cos(kx) sin(ωt) =⇒ ∂
2y2
∂t2
= −ω2A cos(kx) cos(ωt)
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∂y2
∂x
= −kA sin(kx) cos(ωt) =⇒ ∂
2y2
∂x2
= −k2A cos(kx) cos(ωt),
de modo que y2(x, t) é solução de uma equação de onda com velocidade v = ω/k.
Para a função y3(x, t) temos que
∂y3
∂t
= 2AC sin(Bx+ Ct) cos(Bx+ CT) = AC sin(2Bx+ 2Ct) =⇒ ∂
2y3
∂t2
= 2AC2 cos(2Bx+ 2Ct)
∂y3
∂x
= 2AB sin(Bx+ Ct) cos(Bx+ CT) = AB sin(2Bx+ 2Ct) =⇒ ∂
2y3
∂x2
= 2AB2 cos(2Bx+ 2Ct),
de modo que y3(x, t) é solução de uma equação de onda com velocidade v = C/B.
Alternativa correta: (c)
(4) [1,0 pt] A função abaixo que descreve uma onda transversal se propagando no sentido negativo do eixo x com
amplitude 0,003 m, frequência 5 Hz e velocidade 300 m/s é (para x e y em metros e t em segundos):
 (a) y(x, t) = 0, 003 cos
(
1
60x− 5t
)
 (b) y(x, t) = 0, 003 cos ( pi30x− 10pit)
 (c) y(x, t) = 0, 0015 cos ( pi30x+ 10pit)
 (d) y(x, t) = 0, 003 cos ( pi30x+ 10pit)
 (e) y(x, t) = 0, 006 cos ( pi30x+ 10pit)
SOLUÇÃO:
Partindo da fórmula geral para uma onda progressiva se propagando no sentido de x negativo
y(x, t) = A cos(kx+ωt+ δ)
temos que ω = 2pi f = 10pi rad/s, k = ω/v = pi/30 rad/m e A = 0, 003 m.
Alternativa correta: (d)
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Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P3 (02/12/2016) [z7BA]-p5/13
QUESTÕES DISCURSIVAS
ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas
(5) [3,0 pt] Uma onda progressiva transversal está se propagando numa corda infinita esticada. Escolhemos
como eixo Ox a extensão da corda quando em repouso e o sentido da progressão como positivo. Seja Oy a direção
da vibração da corda. São dadas a velocidade de propagação da onda, v = 1, 0m/s, e a densidade linear de massa da
corda, µ = 1, 0 g/cm. No instante t = 0, a forma da onda é dada por y(x) = A cos(kx), onde k = pi m−1, A = 1, 0
mm.
(a) (0,75) Determine o comprimento de onda λ dessa onda e faça um esboço dessa onda para − λ2 ≤ x ≤ + λ2 em
t = 0, indicando as escalas escolhidas no eixo Ox e no eixo Oy.
(b) (0,75) Determine o período T dessa onda e ache a expressão matemática do deslocamento transversal da corda
em função de (x, t).
(d) (0,75) Determine a magnitude da tensão F na corda.
(e) (0,75) Calcule a partir da potência instantânea (em Watts) a potência média, em um período, transportada pela
onda.
SOLUÇÃO
a) O comprimento de onda λ é definido tal que o argumento do cosseno varia de 2pi se ∆x = λ donde kλ = 2pi,
ou seja,
λ =
2pi
k
= 2, 0 m.
b) O período T pode ser determinado a partir do comprimento de onda e a velocidade v:
T =
λ
v
= 2, 0 s.
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Como a onda é progressiva no sentido de x positivo, temos :
y(x, t) = A cos (kx−ωt) = A cos
[
2pi
(
x
λ
− t
T
)]
= 0, 001 cos(pix− pit),
para x e y em metros e t em segundos.
d) A magnitude da tensão na corda é obtida a partir de F = µv2 = 0, 1 N.
e) A potência instantânea da onda pode ser obtida a partir da componente transversal Fy(x, t) da tensão e da
velocidade instantânea na direção transversal à direção de propagação vy(x, t)
P(x, t) = Fy(x, t)vy(x, t) = −F ∂y
∂x
∂y
∂t
= FA2k2v sin2
[
2pi
(
x
λ
− t
T
)]
O valor médio sobre um períododo sin2 sendo 1/2, achamos, em termos dos dados iniciais:
P =
1
T
T∫
0
P(x, t)dt = µA2k2v3
1
T
T∫
0
sin2
[
2pi
(
x
λ
− t
T
)]
dt
︸ ︷︷ ︸
1/2
=
pi2
2
× 10−7 W
Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P3 (02/12/2016) [z7BA]-p7/13
(6) [3,0 pt] Uma corda de violino com 30 cm de comprimento vibra no seu segundo modo normal de vibração
quando é colocada próxima a uma fonte sonora que emite um som com frequência igual a 440 Hz. Suponha que a
corda do violino em repouso coincide com o eixo Ox.
(a) (0,5) Qual a frequência f2 da onda estacionária observada? Justifique a sua resposta.
(b) (0,5) Determine a partir da expressão geral da onda estacionária
y(x, t) = A cos(kx+ β1) cos(ωt+ β2)
o comprimento de onda das ondas progressivas que produziram a onda estacionária observada.
(c) (0,5) Determine a velocidade v da onda progressiva que produziu a onda estacionária observada.
(d) (0,75) Determine a localização ao longo do eixo Ox dos pontos da corda onde estão os ventres ou antinós.
(e) (0,75) Sabendo que o movimento de um ponto da corda que dista 7,5 cm da extremidade direita da corda do
violino (origem do eixoOx) é dada por y(0, 075 m, t) = 0, 002 m cos(2pi f2t), obtenha a função que descreve
a onda estacionária na corda.
SOLUÇÃO:
a) Ao vibrar em seu segundo modo normal, conclui-se que a frequência desse modo coincide com a frequência
da onda sonora. Logo a frequência de vibração f2 da corda é igual a 440 Hz.
b) A expressão geral de uma onda estacionária é
y(x, t) = A cos(kx+ β1) cos(ωt+ β2).
Pelas condições de contorno, tomando uma das extremidades da corda como a origem do eixoOx, temos que:
y(0, t) = 0 =⇒ cos(β1) = 0 =⇒ β1 = ±pi/2 rad =⇒ y(x, t) = ∓A sin(kx) cos(ω+ β2)
y(L, t) = ∓A sin(kL) cos(ωt+ β2) = 0 =⇒ kL = npi =⇒ 2pi
λ
L = 2pin =⇒ L = nλ
2
,
com n sendo um inteiro positivo.
Como a corda está vibrando no seu segundo modo normal, temos que:
L = 2
λ2
2
= λ2 =⇒ λ2 = 30 cm.
Outra solução aceitável é perceber que as extremidades do violino são nós e que no segundo modo normal
deve haver um nó adicional no meio da corda, de forma que L = 2λ22 .
c) λ2 = vf2 =⇒ v = L f2 =⇒ v = (0, 3× 440)m/s = 132m/s.
d) Nos pontos onde existem ventres (antinós), o módulo do deslocamento máximo da corda é A. Logo, temos
que
A sin(kx) = ±A =⇒ kx = (2n+ 1)pi
2
=⇒ 2pi
λ2
x = (2n+ 1)
pi
2
=⇒ x = (2n+ 1)λ2
4
,
onde n é nulo ou um inteiro positivo e x < L. Por isso os antinós da corda estão localizados em x1 = λ24 =
7, 5 cm, x2 = 3λ24 = 22, 2 cm
Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P3 (02/12/2016) [z7BA]-p8/13
e) O movimento de qualquer ponto da corda é dado por: y(x, t) = ∓A sin(k2x) cos(ω2t+ β2).
O número de onda é dado por: k2 = 2piλ2 = 203 pirad/m. A frequência angular é dada por: ω2 = 2pi f2 =
880pirad/s. A equação do movimento do ponto que dista 7,5 cm do ponto O é:
y(0, 075 m, t) = ∓A sin
(
20
3
pi × 0, 075
)
cos (880pit+ β2) = ∓A sin(pi/2) cos(880pit+ β2)
y(0, 075 m, t) = ∓A cos(880pit+ β2), com x em metros e t em segundos.
Pela comparação entre a expressão anterior e a expressão fornecida pelo problema y(0, 075 m, t) = 0, 002 m cos(2pi f2t),
temos que A = 0, 002 m e β2 = 0 rad e β1 = −pi/2 rad. Logo, a função que descreve a onda estacionária
na corda é:
y(x, t) = 0, 002 sin
(
20
3
pix
)
cos(880pit), onde x está em metros e t em segundos.
Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P3 (02/12/2016) [z7BA]-p9/13
FORMULÁRIO
1
v2
∂2y
∂t2
− ∂
2y
∂x2
= 0
A2 = A21 + A
2
2 + 2A1A2 cos(δ1 − δ2)
sin β =
A2
A
sin(δ1 − δ2)
kn =
npi
`
n = 1, 2, 3, ...
kn =
(2n+ 1)pi
2`
n = 0, 1, 2, 3, ...
I =
1
2
µvω2A2
I =
1
2
P2
ρ0vsom
P(x, t) = −F ∂y
∂x
∂y
∂t
Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P3 (02/12/2016) [z7BA]-p10/13
CADERNO DE RESPOSTAS
NOME:
NUSP:
TURMA:
Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P3 (02/12/2016) [z7BA]-p11/13
CADERNO DE RESPOSTAS
NOME:
NUSP:
TURMA:
Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P3 (02/12/2016) [z7BA]-p12/13
CADERNO DE RESPOSTAS
NOME:
NUSP:
TURMA:
Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P3 (02/12/2016) [z7BA]-p13/13
CADERNO DE RESPOSTAS
NOME:
NUSP:
TURMA: