Fis II - Poli - Psub - 2008

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FEP2196 - F´ısica para Engenharia II
Prova Substitutiva - 11/12/2008
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . No USP: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Assinatura: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Turma/Professor: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observac¸o˜es:
• A prova tem durac¸a˜o de 2 horas.
• Na˜o e´ permitido o uso de calculadora.
• Preencha todas as folhas, inclusive esta, com seu nome, nu´mero USP e turma, de forma leg´ıvel.
• Resolva cada exerc´ıcio comec¸ando na frente da folha com o mesmo nu´mero. Se necessa´rio utilize o verso
da folha.
• Justifique todas as suas respostas com comenta´rios, fo´rmulas e ca´lculos intermedia´rios. Na˜o esquec¸a das
unidades das grandezas f´ısicas pedidas.
• Apresente sua identidade ao assinar a lista de presenc¸a.
• Quando nos resultados aparecer qualquer raiz que na˜o seja de um quadrado perfeito, deixe indicado, sem
necessidade de substituir por uma aproximac¸a˜o. Se necesssa´rio utilize g = 10 m/s2 e c = 3x108 m/s
m~a′ = ~F + ~Fin ~Fcent = −m~ω × (~ω × ~r′) ~FCor = −2m~ω × ~v′ d2xdt2 + ω2x = 0
x(t) = a sen(ωt) + b cos(ωt) x(t) = Acos(ωt+ ϕ) d
2x
dt2
+ γ dxdt + ω
2
0x = 0 γ =
ρ
m
x(t) = Ae−
γ
2
t cos(ωt+ ϕ) ω =
√
ω20 − γ
2
4 x(t) = e
− γ
2
t
(
a eβt + b e−βt
)
β =
√
γ2
4 − ω20
x(t) = e−
γ
2
t(a+ bt) d
2x
dt2
+ γ dxdt + ω
2
0x =
F0
m cos(Ωt) x(t) = A(Ω) cos[Ωt+ ϕ(Ω)]
A(Ω) = F0m
1√
(ω20−Ω2)2+γ2Ω2
ϕ(Ω) = −arctan
(
γΩ
ω20−Ω2
)
Q = ω0γ
1
v2
∂2y
∂t2
− ∂2y
∂x2
= 0
y(x, t) = Acos(kx− ωt+ δ) ω = kv τ = 2piω λ = 2pik v =
√
T
µ I =
1
2µvω
2A2 kn = n piL
ν = ν0
(
1± u
vs
)
(
1∓ V
vs
) ν = ν0[
1−V cos(θ)
vs
] γ(v) = 1√
1− v2
c2
∆t = γ(v)∆t0 L = L0γ(v) t
′ = γ(v)
(
t− v
c2
x
)
x′ = γ(v)(x− vt) y′ = y z′ = z u′x = ux−v(
1− vux
c2
) u′y = uy
γ(v)
(
1− vux
c2
) u′z = uz
γ(v)
(
1− vux
c2
)
~p = γ(v)m0~v E = K +m0c2 = γ(v)m0c2 E2 − p2c2 = m20c4
1. Uma cunha triangular, de inclinac¸a˜o φ, e´ fixada so-
bre a tampa girato´ria de uma mesa, de tal modo
que a extremidade da cunha coincide com a linha
que passa pelo centro da mesa (A). A superf´ıcie da
cunha possui um canalete e, no interior do mesmo,
um bloco de massa m = 0, 50 kg pode deslizar sem
atrito. Observa-se que, quando a tampa gira com ve-
locidade angular ~ω = 5, 0~k rad/s, o bloco permanece
em equil´ıbrio sobre a cunha, estando a uma altura
h = 0, 40 m, em relac¸a˜o ao n´ıvel da tampa girato´ria
(B) (veja figura).
 
 
(φ
h
(A
)
(B
)
ωr
y
z
x
(φ
h
(A
)
(B
)
ωr
y
z
x
 
(a) (1,0) Determine o aˆngulo φ de inclinac¸a˜o da cunha.
Soma das forc¸as na direc¸a˜o do plano da cunha:
Fcfg cosφ = P senφ
tanφ =
mω2r
mg
=
ω2r
g
e tambe´m,
tanφ =
h
r
ω2r
g
=
h
r
r =
1
ω
√
gh =
1
5
√
4
10
× 10 = 2
5
= 0, 4 = h
Assim : tanφ =
h
r
= 1 =⇒ φ = 45◦
(b) (1,0) Para um observador fixo na tampa girato´ria,
determine a magnitude, direc¸a˜o e o sentido da
forc¸a centr´ıfuga que atua sobre o bloco.
~Fcfg = −m~ω × (~ω × ~r)
~Fcfg = (mω2r)rˆ
~Fcfg =
(
1
2
× 52 × 2
5
)
rˆ
~Fcfg = 5, 0(N)rˆ
(c) (0,5) Suponha agora que, em um dado instante
de tempo, o bloco e´ puxado por uma forc¸a ex-
terna, iniciando um movimento de descida, com
velocidade de magnitude constante v′ = 4, 0m/s,
ao longo da cunha. Qual e´, nesse caso, a magni-
tude, da forc¸a de Coriolis?
~Fcor = −2m(~ω × ~v′)
~Fcor = 2mω(v′senφ)θˆ
~Fcor = 2× 12 × 5× 4×
√
2
2
θˆ
~Fcor = 10
√
2(N)θˆ
2. Um bloco de massa m = 0, 20 kg, apoiado sobre uma
mesa horizontal sem atrito, esta´ ligado a extremidade
de uma mola de constante k = 80 N/m. Aplica-se
sobre o bloco uma forc¸a externa F0cos(Ωt) na direc¸a˜o
horizontal, com Ω = 30 rad/s. A forc¸a de resisteˆncia
viscosa do ar pode ser desprezada.
(a) (0,5) Escreva a equac¸a˜o diferencial que descreve
o movimento.
mx¨+ kx = F0cos(Ωt)
x¨+
k
m
x =
F0
m
cos(Ωt)
x¨+ ω20x =
F0
m
cos(Ωt)
x¨+ 80× 10
2
x =
10
2
F0cos(30t)
x¨+ 400x = 5F0cos(30t)
(b) (1,0) Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o dife-
rencial do item (a) para F0 = 0, com as condic¸o˜es
iniciais x(0) = 2, 0 m e v(0) = 0.
Equac¸a˜o diferencial: x¨ = −ω20x
x¨ = −400x
Frequ¨eˆncia natural:
ω20 = 400 =⇒ ω0 = 20(rad/s)
Soluc¸a˜o geral:
x(t) = Acos(20t+ ϕ)
C.I.1 : 2, 0 = Acos(ϕ)
C.I.2 : 0 = −20Asen(ϕ)
De C.I.2 : ϕ = 0(rad) ou ϕ = pi(rad)
De C.I.1 :=⇒ A = 2, 0 para ϕ = 0(rad)
x(t) = 2, 0cos(20t)
ou
A = −2, 0 para ϕ = pi(rad)
x(t) = −2, 0cos(20t+ pi)
(c) (1,0) Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o dife-
rencial do item (a) para F0 = 2, 0 N , com as
condic¸o˜es iniciais x(0) = 0 e v(0) = 0.
Equac¸a˜o diferencial:
x¨+ 400x = 10cos(30t)
Soluc¸a˜o geral:
x(t) = Bcos(ω0t+ φ) +A(Ω)cos(Ωt+ ϕ(Ω))
A(Ω) =
F0
m
1√
(ω20 − Ω2)2 + γ2Ω2
Amortecimento desprezado: γ = 0
A(Ω) =
F0
m
(
1
ω20 − Ω2
)
A(Ω) =
2, 0
2
× 10
(
1
202 − 302
)
A(Ω) = − 1
50
= −0, 02 (m)
Fase: ϕ(Ω) = −arctan
(
γΩ
ω20−Ω2
)
Como γ = 0:
ϕ(Ω) = −arctan
(
0× 30
202 − 302
)
⇒ ϕ(Ω) = 0 (rad)
C.I.1 : x(0) = 0
B cos(φ) +A(Ω)cos(ϕ(Ω)) = 0
Sendo, ϕ(Ω) = 0, teremos cos(ϕ(Ω)) = 1
Enta˜o:
B cos(φ) +A(Ω) = 0
Equac¸a˜o 1: B cos(φ)− 0, 02 = 0
C.I.2 : v(0) = 0⇒
[
dx
dt
]
t=0
= 0
−Bω0 sen(φ)− ΩA(Ω)sen(ϕ(Ω)) = 0
ϕ(Ω) = 0⇒ sen(ϕ(Ω)) = 0
−Bω0 sen(φ) = 0⇒ sen(φ) = 0⇒ φ = 0 (rad)
Da equac¸a˜o 1:
B cos(0)− 0, 02 = 0
B = 0, 02 (m)
Soluc¸a˜o Geral:
x(t) = 0, 02 cos(20t)− 0, 02 cos(30t)
3. Uma onda harmoˆnica transversal se propaga na a´gua a
partir da borda de uma piscina retagular muito longa,
segundo a equac¸a˜o: y(x, t) = Asen(kx− ωt). A onda
se origina num dos extremos da piscina e 10 segundos
depois ela atinge uma bo´ia que se encontra a` 10 metros
da borda. Como resultado do processo, a bo´ia passa
a oscilar com per´ıodo T = 0, 50 s e amplitude A =
0, 05 m.
(a) (1,0) Determine o nu´mero de onda k e a frequeˆncia
angular ω da onda.
Soluc¸a˜o:
ω =
2pi
T
= 2pi × 2 = 4pi (rad/s)
v =
∆x
∆t
=
10
10
= 1, 0(m/s)
k =
ω
v
=
4pi(rad/s)
1, 0(m/s)
k = 4pi (rad/m)
(b) (0,5) Calcule a velocidade ma´xima da bo´ia na
oscilac¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
v =
dy
dt
= −Aωcos(kx− ωt)
vmax ⇒ cos(kx− ωt) = 1
|vmax| = Aω = 0, 05 (m)× 4pi (rad/s)
|vmax| = 0, 20pi (m/s)
(c) (1,0) Finalmente, a onda se superpo˜e com uma
onda ideˆntica, enviada em sentido contra´rio, a`
partir da borda oposta da piscina, estabelecendo-
se uma onda estaciona´ria. Nessas condic¸o˜es,
qual sera´ a amplitude ma´xima de oscilac¸a˜o da
onda e a amplitude de oscilac¸a˜o da bo´ia?
Soluc¸a˜o:
Onda indo:
y1 = Asen(kx− ωt)
e, onda retornando:
y2 = Asen(kx+ ωt)
Onda estaciona´ria:
y = y1 + y2
y(x, t) = A[sen(kx)cos(ωt)− sen(ωt)cos(kx)]+
+A[sen(kx)cos(ωt) + sen(ωt)cos(kx)]
y(x, t) = 2Asen(kx)cos(ωt)
A amplitude ma´xima da onda estaciona´ria sera´
Amax = 2A.
Amax = 2× 0, 05 (m)
Amax = 0, 10 (m)
Para a bo´ia, a amplitude de oscilac¸a˜o sera´ quando
cos(ωt) = 1, na posic¸a˜o da bo´ia.
Na posic¸a˜o da bo´ia, em x = 10m, a onda esta-
ciona´ria y(x, t) = 2Asen(kx)cos(ωt) oscilara´
com a amplitude 2Asen(kx):
Abo´ia = 2Asen(kx)
Abo´ia = 2× 0, 05× sen(4pi × 10)
sen(40pi) = 0⇒ Abo´ia = 0(m)
Portanto, a bo´ia fica parada. Na˜o oscila porque
esta´ localizada em um no´ da onda estaciona´ria.
4. Considere dois referenciais, S e S′, com origens em O e
O′. O referencial S′ move-se com velocidade ~v = 45c~i,
em relac¸a˜o a` S.
(a) (1,0) Se um foguete e´ lanc¸ado de S com veloci-
dade ~u = (12~i +
2
5
~j)c qual e´ a velocidade ~u′ dofoguete para um observador em repouso no re-
ferencial S′?
Soluc¸a˜o:
Ca´lculo de u′x:
u′x =
ux − v(
1− vuxc2
)
u′x =
(
1
2 − 45
)
c(
1− (
4
5× 12 )c2
c2
)
u′x =
(
5
10 − 810
)
c(
10
10 − 410
) = − 310c6
10
= −1
2
c
Ca´lculo de γ para v = 45c =
8
10c
γ(v) =
√
100
36
=
10
6
=
5
3
Ca´lculo de u′y:
u′y =
uy
γ(v)
(
1− vuxc2
)
u′y =
2
5c
5
3
(
1− (
4
5× 12 )c2
c2
) = 25c5
3 × 610
=
2
5
c
Portanto:
~u′ =
(
−1
2
ıˆ +
2
5
ˆ
)
c
(b) (1,0) Suponha que dois pulsos de luz sejam en-
viados simultaneamente em S, dos pontos
x1 = 600 m e x2 = 800 m, na direc¸a˜o de um de-
tetor localizado na origemO. Quais os intervalos
de tempo entre as detec¸o˜es dos pulsos de luz em
O, medidos por observadores nos sistemas S e
S′?
Soluc¸a˜o:
Em S:
t1 =
x1
c
=
6× 102
3× 108 = 2× 10
−6s
t2 =
x2
c
=
8× 102
3× 108 =
8
3
× 10−6s
∆t = t2 − t1 =
(
8
3
− 6
3
)
× 10−6s
∆t =
2
3
× 10−6s
Em S′:
∆t′ = γ∆t
∆t′ =
5
3
× 2
3
× 10−6s
∆t′ =
10
9
× 10−6s
ou
∆t′ =
1
9
× 10−5s
(c) (0,5) Suponha agora que uma uma part´ıcula de
massa M0 = 1, 0 GeV/c2 move-se em S, com
velocidade ~v = 35c~i. Determine a energia e o
momento linear relativ´ıstico da part´ıcula, em
relac¸a˜o ao referencial S.
Soluc¸a˜o:
Ca´lculo de γ para v = 35c =
6
10c:
γ(v) =
√
100
64
=
10
8
=
5
4
Ca´lculo da energia em S:
E = γ(v)M0c2 =
5
4
× 1, 0 GeV
c2
× c2
E = 1, 25 GeV
Ca´lculo do momento linear em S:
~p = γ(v)M0~v
~p =
5
4
× 1, 0 GeV
c2
× 3
5
cˆı
~p =
3
4
ıˆ
(
GeV
c
)
~p = 0, 75ˆı
(
GeV
c
)