Controle da Qualidade

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Controle da Qualidade 
Unidade 4 – Visão de Processos e Gráficos de 
Controle 
Prof. Luciana Rosa Leite 
Nesta Unidade: 
4.1 – Variabilidade de processos 
4.2 – Características da Qualidade 
4.3 – Gráficos de Controle para atributos 
4.4 – Gráficos de Controle para variáveis 
4.5 – Capabilidade de processos 
O que é processo? 
• Conjunto de causas necessárias (ativos) para atingir 
um efeito (objetivo). 
Máquina Método Meio Ambiente 
Medida Matéria-prima Mão de obra 
EFEITO 
O que é processo? 
• Fluxo de transformação – em que entram “inputs” 
e saem “output”. 
SUPPLIERS INPUTS PROCESSES OUTPUTS CUSTOMERS 
SIPOC 
• Outra forma de definir processos, muito utilizada 
no mapeamento de processos. 
Controle de Processos 
• Atua sobre o efeito, mas tem relação com a causa. 
• A ideia é observar o que ocorre no efeito, para atingir as 
causas desse efeito. 
• O cliente também pode “controlar” o processo, de acordo 
com os seus requisitos de escolha de produtos ou serviços. 
• Na visão moderna de controle de processos, a ideia é além 
de manter o padrão, buscar sempre a melhoria e adequação 
dos mesmo. 
Ciclo de Controle de Processos 
Máquina Método Meio Ambiente 
Medida Matéria-prima Mão de obra 
EFEITO 
Característica 
da qualidade 
Sensor 
Medida 
Padrão 
Referência 
Avaliação 
Desvio 
Aceitável 
Manter o 
processo como 
está 
Desvio 
Inaceitável 
Ação Corretiva 
no processo 
Conhecimento 
sobre o processo 
Variação dos Processos 
• A variação é o desvio de algo que era esperado 
(padrão). 
• Esta sempre presente! 
• A variação pode ser decomposta de duas 
componentes: 
• Inerente – conhecida, previsível, sempre ocorre 
em qualquer processo. 
• Não inerente – não é conhecida, nem previsível, 
variações além do esperado, que não pode ser 
tolerada. 
Causas 
• Causas comuns – inerentes ao processo, produzem uma 
variação previsível e esperada. 
• Causas especiais – não são inerentes ao processo, 
produzem efeitos não desejados e comportamentos 
imprevisíveis, não fazem parte o processo e exigem paradas 
para não produzir produtos não-conformes. 
Causas Comuns e Especiais 
Causas Comuns 
Causas Especiais 
• Controlar as causas comuns 
• Identificar as causas especiais 
Gráficos de Controle 
• Desenvolvido por Shewhart – ao invés de controlar 
cada causa, controlar o conjunto das causas a partir 
de características do efeito. 
• Auxiliam no controle do processo. 
• Indicam o desempenho de um processo com base 
na sua variação, mediante o controle estatístico de 
uma variável ou atributo da característica da 
qualidade. 
• IMPORTANTE – o gráfico é uma “fotografia” do 
processo, ele indica o estado em que o processo se 
encontra (a voz do processo), mas não resolve os 
problemas identificados. 
• É preciso conhecimento do processo para atuar na 
causa dos problemas. 
Lembrando - Características da Qualidade 
• Determinam em boa parte como será a medição e qual será o 
gráfico de controle escolhido. 
• É importante avaliar qual é a característica mais significativa 
para a qualidade de um produto ou serviço. 
• Avaliar a qualidade significa adotar uma classificação ou uma 
escala de medição que descreva os parâmetros da qualidade 
do produto ou serviço. 
Atributos – avaliação da 
característica da qualidade 
resulta numa CLASSIFICAÇÃO. 
Exemplo: impressão de uma 
folha borrada ou não borrada. 
Variáveis – avaliação da 
característica da qualidade 
resulta numa MENSURAÇÃO 
expressa por valor numérico 
numa escala. 
Exemplo: tempo em minutos 
da permanência do cliente na 
fila de um banco. 
Formato do Gráfico de Controle 
Funcionamento do Gráfico 
Gráficos de Controle 
• Funciona como sensor (pois mede o processo) e 
objetivo (padrão – pois indica em qual faixa o 
processo deve estar), considerando o Circuito 
Fechado de Retorno. 
• Controla a variação da característica – leva ao 
controle do processo. 
• Identifica causas especiais e tendência a partir da 
variação – possibilita a correção antes do lotes todo 
estar pronto. 
• Evita ajustes desnecessários – se o processo está 
sob controle, nada deve ser mudado. 
Interpretação do Gráfico 
• Um ponto fora do limite 
• Seis pontos consecutivos 
aumentando ou diminuindo 
– indica tendência. 
• Pontos oscilando para baixo 
ou para cima, formando 
ciclos. 
Interpretação do Gráfico 
• Quinze pontos 
consecutivos no intervalo 
LC ± 1σ 
• Quatorze pontos 
consecutivos se alternando 
para baixo e para cima 
• Nove ou mais pontos 
consecutivos do mesmo lado 
com relação a linha central 
Interpretação do Gráfico 
• Oito pontos consecutivos fora 
do interval LC ± 1σ, de 
qualquer lado. 
• Dois pontos, de três 
consecutivos situados do mesmo 
lado em relação à linha central e 
fora do intervalo LC ± 2σ. 
• Quatro pontos, de cinco 
consecutivos, situados do mesmo 
lado em relação à linha central e 
fora do intervalo LC ± 1σ. 
• O controle do processo é exercido a partir de medidas 
parciais de uma ou mais peças ou unidades de 
produto retiradas do processo DURANTE SUA 
EXECUÇÃO. 
• Esse procedimento é importante, pois permite que se 
avalie as características de qualidade de interesse 
ANTES do término do lote de produção -> Mais 
eficiente que do que somente avaliar o resultado final 
do processo. 
• Os subgrupos ou amostras aleatoriamente 
independentes permitem avaliar, a partir de um 
pequeno número de unidades, se um processo está 
ou não sobre controle estatístico. 
Subgrupos Racionais 
• Aleatoriedade -> todas as unidades têm as mesmas 
chances de serem retiradas do processo, e essa 
aleatoriedade garante que a variação avaliada na 
amostra seja a mais próxima possível do processo. 
Uma amostra não aleatória poderá levar à tomada 
de decisão errada sobre uma variação natural e 
esporádica do processo. 
• Independência -> fundamental para a avaliação do 
surgimento de causas especiais ou não. O ajuste no 
processo com base na amostra retirada 
anteriormente poderá mascarar ou retardar a 
detecção de uma causa especial. 
Subgrupos Racionais 
Um subgrupo racional deve ser 
retirado do processo tendo em 
mente duas características: 
• A chance de diferença ENTRE 
os subgrupos deve ser 
MAXIMIZADA; 
• A chance de diferença 
DENTRO do subgrupo deve 
ser MINIMIZADA. 
Para detectar mudanças no 
processo 
Subgrupo 1 Subgrupo 3 Subgrupo 2 
Subgrupo 1 Subgrupo 3 Subgrupo 2 
Para detectar se o processo saiu e voltou do 
controle estatístico 
O método mais comum é retirar os subgrupos racionais de um 
processo considerando o TEMPO - detectar as mudanças no 
processo e detectar se o processo saiu e voltou ao controle 
estatístico. 
• Outra possibilidade é considerar a principal fonte de 
variação. Por exemplo, quando a produção ocorre em duas 
ou mais máquinas, diferentes turnos de trabalho, lotes de 
diferentes fornecedores. 
• Precisão X Custo -> O ideal é tomar grandes amostras, pois 
melhoram a precisão. No entanto, amostras grandes geram 
mais custos. A saída é chegar a um equilíbrio entre precisão 
e custo. 
• Pequenas amostras (n) a curtos intervalos de tempo OU 
• Grandes amostras (n) a intervalos maiores de tempo. 
 
Lembrar que -> a definição da frequência deve 
considerar aqueles fatores que podem introduzir uma 
causa especial, como troca de operador, troca de lote de 
matéria-prima etc. 
Gráficos de Controle 
• Atributos 
• Váriáveis 
Tipos Gráficos de Controle para Variáveis 
• Gráfico de 𝒙 (média aritmética): utilizado para controlar a 
média do subgrupo racional de uma determinada característica 
de qualidade.Para cada amostra é calculada uma média. 
• Gráfico de x (indivíduos): quando os dados são obtidos num 
longo intervalo de tempo ou a formação de subgrupos racionais 
não é eficiente, um gráfico com valores individuais é 
recomendado. Os processos contínuos muito rápidos ou muito 
lentos, ou ainda, produção de lotes unitários são exemplos. 
• Gráfico de s (desvio-padrão): utilizado para controlar o desvio-
padrão dentro do subgrupo racional, sendo recomendado 
quando o tamanho da amostra é maior que nove unidades. 
• Gráfico de R (amplitude): utilizado para controlar a amplitude 
dos valores no subgrupo racional, sendo recomendado quando 
o tamanho da amostra é menor que nove unidades. 
Tipos de Gráficos de Controle - Atributo 
• Gráfico de p (fração defeituosa ou não conforme): utilizado 
para controlar a fração defeituosa de um processo. 
• Gráfico de np (número de defeito ou não conformidades): 
utilizado para controlar o número de defeitos de um 
processo. 
• Gráfico de c (número de defeitos ou não conformidade em 
uma amostra de tamanho constante): utilizado para controlar 
o número de vários tipos de defeitos de um processo 
tomando-se uma unidade de inspeção, com amostra de 
tamanho constante, podendo ser n=1. 
• Gráfico de u (número de defeitos ou não conformidades em 
uma amostra): utilizado para controlar o número total de 
defeitos de uma unidade de inspeção, com tamanho variável. 
Gráficos de Controle - Atributo 
• Os gráficos de p e np têm interesse nas unidades 
não conformes. 
• Nos gráficos c e u, o interesse é na não 
conformidade. 
• Os gráficos são definidos para avaliar processos, 
mas na maioria das vezes os valores dos 
processos (média, desvio padrão, etc.) não são 
conhecidos, por isso é necessário um estudo do 
processo antes de fazer o controle por gráficos. 
• E como fazer um estudo do processo? 
• O primeiro passo é definir o gráfico que será 
utilizado. 
Fluxograma de Decisão 
Ou Constante? 
Estudo do Processo 
1) Definido o gráfico, é preciso tomar amostras (de 20 a 25, no 
mínimo) de tamanho n. Tenha em mente que quanto menor 
for o p (taxa de defeitos) do processo maior terá que ser o n 
da amostra, uma vez que uma unidade não conforme pode 
distorcer a fração defeituosa. 
 
2) Calcular a estatística de cada amostra (em caso de Gráficos 
p e u); 
3) Calcular o Linha Central (LC), Limite Superior de Controle 
(LSC) e Limite Inferior de Controle (LIC) de acordo com o tipo 
de gráfico escolhido; 
4) Marcar o valor da estatística para cada amostra no gráfico 
de controle; 
5) Interpretar o gráfico de controle para verificar a 
ocorrência de causa especial, seguindo os critérios de 
Interpretação de Gráficos de Controle; 
6) Caso não seja encontrada nenhuma causa especial, os 
limites são aqueles calculados no passo (3); caso seja 
encontrada uma ou mais causas especiais, verificar o que 
aconteceu naquela amostra e eliminá-la somente se a causa 
for identificável; recalcular novamente os limites de controle 
e repetir os passos de (3) a (5); no caso de eliminar muitos 
pontos no gráfico, refazer o processo de amostragem. 
Formato do Gráfico de Controle 
Fórmulas 
Gráfico de p 
𝑝 = 
𝑑
𝑛
= proporção de defeitos da amostra 
LM = 𝑝 = (p1+p2+...+pk)/k 
LSC = 𝑝 + 3.
𝑝 .(1−𝑝 )
𝑛
 
LIC = 𝑝 − 3.
𝑝 .(1−𝑝 )
𝑛
 
Gráfico de np 
np = d = número de defeitos na amostra 
LM = 𝑛𝑝 = (np1+np2+...+npk)/k 
LSC = 𝑛𝑝 + 3. 𝑛𝑝. (1 − 𝑝 ) 
LIC = 𝑛𝑝 − 3. 𝑛𝑝. (1 − 𝑝 ) 
Fórmulas 
Gráfico de u 
u = número de defeitos em amostras de tamanhos variados. 
u = 
𝑥
𝑛
 onde x é o número de não conformidades da amostra 
LM = 𝑢 = (x/n1+ x/n2+...+x/nk)/k 
LSC = 𝑢 + 3.
𝑢 
𝑛
 
LIC = 𝑢 − 3.
𝑢 
𝑛
 
Gráfico de c 
c = número de defeitos em uma unidade amostral constante 
LM = 𝑐 = (c1+c2+...+ck)/k 
LSC = 𝑐 + 3. 𝑐 
LIC = 𝑐 − 3. 𝑐 
Exemplo 1 
• Foram retiradas 10 amostras (k), cada uma com 250 peças 
(n). A análise considerou a presença ou não de manchas na 
superfície das peças. 
• Os dados obtidos foram: 
Amostra 
Peças 
defeituosas (d) 
Fração 
defeituosa (p) 
1 13 0,052 
2 12 0,048 
3 15 0,060 
4 16 0,064 
5 17 0,068 
6 18 0,072 
7 09 0,036 
8 10 0,040 
9 06 0,024 
10 05 0,020 
p=d/n 
0,0891 
0,0484 
0,0077 
Amostras 1 2 3 4 
pbarra 
5 6 7 8 9 10 
Gráfico p 𝐿𝑀 = 𝑝 = 0,484 
𝐿𝑆𝐶 = 0,0484 + 3.
0,0484. (1 − 0,0484)
250
 = 0,0891 
𝐿𝐼𝐶 = 0,0484 − 3.
0,0484. 1−0,0484
250
= 0,0077 
Exemplo 2 
Os dados a seguir representam o número de 
defeitos por 10 m de cabo telefônico. Da análise 
dos dados, você concluiria que o processo está sob 
controle? 
Amostra N. de Defeitos Amostra N. de Defeitos 
1 1 12 6 
2 1 13 9 
3 3 14 11 
4 7 15 15 
5 8 16 8 
6 10 17 3 
7 5 18 6 
8 13 19 7 
9 0 20 4 
10 19 21 9 
11 24 22 20 
• Qual gráfico adotar? – 10 metros de fio – 1 unidade 
de amostra padrão = Gráfico de c 
• Calcular Limites: 
LM = média de defeitos nas amostras 
𝐿𝑀 =
1 + 1 + 3 + 7 +⋯+ 20
22
= 8,59 
LSC = 𝑐 + 3. 𝑐 
𝐿𝑆𝐶 = 8,59 + 3. 8,59 = 17,38 
LIC = 𝑐 − 3. 𝑐 
𝐿𝐼𝐶 = 8,59 − 3. 8,59 = −0,20 
 
• Colocar as estatísticas no Gráfico. 
 
Não está sob controle – pontos acima do limite superior. 
• Supondo que os problemas que aconteceram nas 
amostras 10, 11 e 22, sejam conhecidos. O 
processo estaria sob controle? É possível adotar 
esses limites como novos limites de processo? 
Amostra N. de Defeitos Amostra N. de Defeitos 
1 1 12 6 
2 1 13 9 
3 3 14 11 
4 7 15 15 
5 8 16 8 
6 10 17 3 
7 5 18 6 
8 13 19 7 
9 0 20 4 
10 19 21 9 
11 24 22 20 
• Novos limites: 
𝐿𝑀 = 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 = 6,63 
𝐿𝑆𝐶 = 6,63 + 3. 6,63 = 14,35 
𝐿𝐼𝐶 = 6,63 − 3. 6,63 = −1,09 ≅ 0 
 
Relembrando... 
• Gráficos (ou Cartas) de Controle – Controle Estatístico 
da Qualidade. 
• Fotografia do processo. 
• Causas Comuns e Causas Especiais. 
• Atributos e Variáveis. 
Gráficos para Variáveis 
Tipo 1 - 𝑥 e R 
Tipo 2 - 𝑥 e s 
Tipo 3 - 𝑥 e MR 
Gráficos para Atributos 
Tipo 1 - 𝑝 
Tipo 2 - 𝑛𝑝 
Tipo 3 - 𝑐 
Tipo 4 - 𝑢 
Exercício de Terça-feira 
Exercício de Aula 
 
Os dados a seguir foram coletados em uma empresa do setor eletrônico 
que está implementando cartas de controle para atributos - fração de não 
conformes p. Os valores apresentados representam as peças defeituosas. 
 
Em uma primeira corrida, os Engenheiros tentaram descobrir qual é a 
fração média de peças defeituosas. 
 
a) Construa uma carta p para a corrida 1. Há causas especiais? Aponte no 
gráfico. 
 
b) Qual foi a fração média de peças defeituosas sem causas especiais que 
poderá ser utilizada como base para os cálculos dos limites numa próxima 
corrida? 
 
c) Os tamanhos de amostra utilizados parecem adequados para identificar 
causas especiais? 
 
d) Construa uma carta p para a corrida 2 utilizando p médio da letra b. Há 
causas especiais? Aponte no gráfico. 
 
e) Conclua a respeito da capacidade do processo (% de conformes e 
índice Cp). A meta gerencial é de no máximo 2% de defeituosos. 
 
f) Os engenheiros decidiram utilizar amostras constantes para a terceira 
corrida. Se o tamanho da amostra fosse definido em 440, quais seriam os 
limites de controle adequados para monitorar a produção futura através de 
uma carta p? 
Um processo é denominado 
capaz quando, além de estar 
sobre controle, atende às 
especificações do cliente. 
Capacidade 
Índice de Capacidade 
Capabilidade 
Índice de Capabilidade 
Capability 
Capabilidadede Processos 
• Definido que o processo está em controle 
estatístico, ainda permanece a questão se o 
processo é ou não capaz, isto é, o resultado satisfaz 
às exigências dos clientes. 
• A avaliação da capacidade do processo só inicia 
após a eliminação das causas especiais. Assim, a 
capacidade está associada com as causas comuns 
de variação. 
• Demonstra, por meio de dados numéricos, quanto 
um processo é capaz de produzir um produto 
atendendo a uma dada especificação. 
Capabilidade de Processos - Atributos 
• Em atributos, a capacidade é expressa em % de 
produtos conformes que o processo produz, ou seja: 
𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 1 − 𝑝 . 100 
Assim, se um processo tem 𝑝 = 0,147 sua capacidade 
será: 
1 − 0,147 . 100 = 85,3% 
Essa capacidade deve ser comparada com as 
expectativas e metas gerenciais. 
 
Caso não seja satisfatória, a gerência deve agir sobre o 
sistema (causas comuns). 
Capabilidade de Processos - Atributos 
• Também é possível comparar a fração de não-
conformes (𝑝) com as expectativas e metas gerenciais 
(por exemplo, 5% de defeitos). 
• Essa análise gera o Índice de Capacidade - 𝐶𝑝 
𝐶𝑝 =
𝑝𝑚𝑒𝑡𝑎 𝑔𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑝 
 
Assim, se um processo tem 𝑝 = 0,147 seu Índice de 
Capacidade será: 
𝐶𝑝 =
0,05
0,147
= 0,34 
Caso 𝐶𝑝 < 1, a gerência deve agir sobre o sistema - Atuar 
sobre causas comuns. 
Voltando ao Exercício... 
 
Variáveis 
• Avaliação é resultado de uma medida: tem escala e 
unidade. 
• Requer um aparelho de medida. 
• Mais demorado de ser avaliado. 
• Maior conteúdo de informação. 
• Necessidade de calibração e aferição. 
 Exemplos 
• Diâmetro de um rolamento 
• Resistência elétrica de um componente 
• Tempo de atendimento de um pedido 
• Dispersão de um pigmento 
• pH de uma substância 
• Viscosidade 
• Gráfico de 𝒙 (média aritmética): utilizado para controlar a média do 
subgrupo racional de uma determinada característica de qualidade. 
Para cada amostra é calculada uma média. 
• Gráfico de s (desvio-padrão): utilizado para controlar o desvio-padrão 
dentro do subgrupo racional, sendo recomendado quando o tamanho 
da amostra é maior que nove unidades. 
• Gráfico de R (amplitude): utilizado para controlar a amplitude dos 
valores no subgrupo racional, sendo recomendado quando o tamanho 
da amostra é menor ou igual a nove unidades. 
• Gráfico de 𝒙 (indivíduos): quando os dados são obtidos num longo 
intervalo de tempo ou a formação de subgrupos racionais não é 
eficiente, um gráfico com valores individuais é recomendado. Os 
processos contínuos muito rápidos ou muito lentos, ou ainda, 
produção de lotes unitários são exemplos. 
• Gráfico MR (amplitude móvel): estima a amplitude móvel do 
processo. Utilizado para verificar a dispersão dos valores em gráficos 
de x. 
Tipos de Gráficos de Controle de Variáveis 
Gráficos de Controle para Variáveis 
• Gráficos de posição – indicam a posição da amostra 
ou do indivíduo na escala de medida (𝑥 e 𝑥 𝑜𝑢 𝐼). 
• Gráficos de dispersão – indicam o quanto a amostra 
(ou os indivíduos coletados) são homogêneos 
(𝑅, 𝑠,𝑀𝑅) 
• Para controlar variáveis SEMPRE utilizar dois 
gráficos – um de posição e um de dispersão. 
 
• O processo só vai estar sob controle estatístico se 
os DOIS GRÁFICOS não apresentarem sinais de 
causas especiais. 
• Gráfico 𝑥 
• Gráfico de x 
 
 
• Gráfico de R 
• Gráfico de s 
• Gráfico de MR 
Gráficos de Controle para Variáveis 
Gráficos de posição 
Gráficos de dispersão 
• Gráfico 𝑥 + s – para amostras com n > 𝟗 
• Gráfico 𝑥 + 𝑅 – para amostras com n ≤ 𝟗 
• Gráfico 𝑥 +𝑀𝑅 – para unidades (n=1) 
 
Gráficos de Controle para Variáveis 
Gráfico 𝑥 + s 
Gráfico 𝑥 +R 
Gráfico 𝑥 +𝑀𝑅 
Fórmulas 
Para n <= 9 
Gráfico 𝑥 
𝑥 = 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 
LC = 𝑥 
LSC = 𝑥 + 𝑅. 𝐴2 
LIC = 𝑥 − 𝑅. 𝐴2 
Gráfico 𝑅 
𝑅 = 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 
LC = 𝑅 
LSC =𝑅 .𝐷4 
LIC = 𝑅 .𝐷3 
Para n > 9 
Gráfico 𝑥 
𝑥 = 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 
LC = 𝑥 
LSC = 𝑥 + 𝑠. 𝐴1 
LIC = 𝑥 − 𝑠. 𝐴1 
Gráfico s 
𝑠 = 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 
𝑠 = 
 𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑛
𝑖=1
𝑛−1
 
σ = 
𝑠 
𝑐2
 
LC = σ 
LSC = σ.𝐵4 
LIC = σ.𝐵3 
Parâmetros Tabelados 
Exemplo 
• Uma peça componente de um motor de avião a jato é 
fabricada por um processo de fundição. A abertura do 
rotor é um parâmetro importante para a qualidade do 
produto. Deseja-se saber se o processo de fundição 
está sob controle estatístico. Para tanto, foram 
retiradas regularmente 20 amostras de 5 peças do 
processo de fundição. Os dados estão na tabela a 
seguir. 
Amostra x1 x2 x3 x4 x5
1 33 29 31 32 33
2 33 31 35 37 31
3 35 37 33 34 36
4 30 31 33 34 33
5 33 34 35 33 34
6 38 37 39 40 38
7 30 31 32 34 31
8 29 39 38 39 39
9 28 33 35 36 43
10 38 33 32 35 32
11 28 30 28 32 31
12 31 35 35 35 34
13 27 32 34 35 37
14 33 33 35 37 36
15 35 37 32 35 39
16 33 33 27 31 30
17 35 34 34 30 32
18 32 33 30 30 33
19 25 27 34 27 28
20 35 35 36 33 30
Como o tamanho 
da amostra (n) é 
5, vamos utilizar o 
gráfico 𝑋 − 𝑅. 
O primeiro passo 
é calcular a média 
e a amplitude de 
cada amostra. 
Amostra x1 x2 x3 x4 x5
1 33 29 31 32 33
2 33 31 35 37 31
3 35 37 33 34 36
4 30 31 33 34 33
5 33 34 35 33 34
6 38 37 39 40 38
7 30 31 32 34 31
8 29 39 38 39 39
9 28 33 35 36 43
10 38 33 32 35 32
11 28 30 28 32 31
12 31 35 35 35 34
13 27 32 34 35 37
14 33 33 35 37 36
15 35 37 32 35 39
16 33 33 27 31 30
17 35 34 34 30 32
18 32 33 30 30 33
19 25 27 34 27 28
20 35 35 36 33 30
Média Amplitude
31.60 4
33.40 6
35.00 4
32.20 4
33.80 2
38.40 3
31.60 4
36.80 10
35.00 15
34.00 6
29.80 4
34.00 4
33.00 10
34.80 4
35.60 7
30.80 6
33.00 5
31.60 3
28.20 9
33.80 6
Gráfico 𝑥 
 
• 𝑥 =
31,60+33,40+35,00+⋯+33,80 
20
 = 
666,40
20
 = 33,32 
 
• 𝑅 = 
4+6+⋯+6
20
= 
116
20
 = 5,8 
 
• LC = 𝑥 = 33, 32 
• LSC = 𝑥 + 𝑅. 𝐴2 = 33,32 + 5,8 𝑥 0,5777 = 36,67 
• LIC = 𝑥 − 𝑅. 𝐴2 = 33,32 − 5,8 𝑥 0,5777 = 29,97 
 
Gráfico 𝑅 
• 𝑅 = 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 
• 𝑅 = 5,8 
• LC = 𝑅 = 5,8 
• LSC =𝑅 .𝐷4 = 5,8 𝑥 2.115 = 12,27 
• LIC = 𝑅 .𝐷3 = 5,8 𝑥 0 = 0 
Gráfico de x 
• Algumas vezes é preciso fazer o controle do 
processo usando medidas individuais. 
• Tecnologia de medição automática em que toda a 
peça fabricada é inspecionada. 
• Taxa de população muito baixa (ex. 1 produto por 
dia). 
• Testes muito caros (ex. testes destrutivos ou que 
exijam parada na produção). 
• Características muito homogêneas, que variam 
muito lentamente (ex. um digestor químico ou 
espessura do rolo de papel). 
Gráfico x 
𝑥 = média das amostras unitárias 
LM = 𝑥 
𝑀𝑅𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 
LSC = 𝑥 + 3.
𝑀𝑅
𝑑2
 
LIC = 𝑥 - 3.
𝑀𝑅
𝑑2
 
Fórmulas 
Gráfico MR 
𝑀𝑅 = média das amplitudes 
LM = 𝑀𝑅 
LSC = 𝑀𝑅.𝐷4 
LIC = 𝑀𝑅.𝐷3 
Como o calculo de MR 
é entre 2 amostras, 
considerar n=2. 
Parâmetros Tabelados 
• A tabela abaixo contém as medições de acidez para 
as últimas 25 bateladas de um processo. Ao final de 
cada batelada, a acidez foi medida em pH. Deseja-
se saber se o processo está sob controle estatístico. 
Amostra Acidez (pH) Amostra Acidez (pH) Amostra Acidez (pH)
1 4.9 11 3.9 21 1.9
2 3.0 12 3.4 22 4.4
3 4.2 13 2.4 23 3.0
4 4.4 14 3.3 24 2.5
5 3.0 15 4.3 25 2.9
6 3.3 16 4.3
7 5.1 17 3.3
8 3.0 18 4.8
9 2.9 19 5.4
10 4.3 20 4.7
Amostra Acidez (pH)
1 4.92 3.0
3 4.2
4 4.4
5 3.0
6 3.3
7 5.1
8 3.0
9 2.9
10 4.3
11 3.9
12 3.4
13 2.4
14 3.3
15 4.3
16 4.3
17 3.3
18 4.8
19 5.4
20 4.7
21 1.9
22 4.4
23 3.0
24 2.5
25 2.9
MR
1.90
1.20
0.20
1.40
0.30
1.80
2.10
0.10
1.40
0.40
0.50
1.00
0.90
1.00
0.00
1.00
1.50
0.60
0.70
2.80
2.50
1.40
0.50
0.40
𝑀𝑅 = 𝑥 𝑖 − 𝑥𝑖−1 
 
𝑀𝑅 =
1,9 + 1,20 + ⋯+ 0,40
24
 
 
𝑀𝑅 = 1,1 
 
𝑥 =
4,9 + 3,0 + ⋯+ 2,9
25
 
 
𝑥 = 3,7 
LM = 𝑥 = 3,7 
 
LSC = 𝑥 + 3.
𝑀𝑅
𝑑2
= 3,7 + 3.
1,1
1,128
= 6,6 
LIC = 𝑥 - 3.
𝑀𝑅
𝑑2
= 3,7 − 3.
1,1
1,128
= 0,8 
LM = 𝑀𝑅 = 1,1 
LSC = 𝑀𝑅.𝐷4 = 1,1 𝑥 3,267 
LIC = 𝑀𝑅.𝐷3 = 1,1 𝑥 0 = 0 
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Gráfico de x 
LIC LC LSC Acidez
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Gráfico MR 
LIC LC LSC MR
Definido que o processo está sob controle estatístico, 
ainda permanece a questão se o processo é ou não 
capaz, isto é, o resultado satisfaz às exigências dos 
clientes? 
Processo tem que estar 
sob controle 
LSE e LIE 
µ e σ 
𝐶𝑝 = 
𝐿𝑆𝐸 − 𝐿𝐼𝐸
6. 𝜎
 
Valor especificado no projeto 
VN ±𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟â𝑛𝑐𝑖𝑎 
Capabilidade 
Caso o 𝜎 seja desconhecido, o que é muito comum, é 
necessário estimar esse parâmetro por meio de uma 
amostragem significativa. 
Com base em 𝑅 ou s: 
𝜎 = 
𝑅 
𝑑2
=
𝑠 
𝑐2
 
• A média do processo está muito próxima ou coincide 
com o valor nominal . 
• As tolerâncias para mais e para menos são iguais – VN 
± 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟â𝑛𝑐𝑖𝑎 
Índices de Capabilidade 
• Cp < 1 Processo potencialmente não capaz 
• Cp ≥ 1 Processo potencialmente capaz 
Quando a tolerância da especificação do produto não 
é simétrica em relação ao valor nominal ou ao valor 
da média do processo está distante do valor nominal, 
calcular o índice de capabilidade para os valores 
superiores e inferiores à média do processo, pelo 
índice 𝑪𝒑𝒌 
Cpk – Índice de Capacidade Efetiva do Processo 
• Leva em consideração a média (posição) do 
processo. 
• O Cpk será o menor valor entre Cpks e Cpki 
 
𝐶𝑝𝑘𝑠 = 
𝐿𝑆𝐸 − 𝑥 
3. 𝜎 
 𝐶𝑝𝑘𝑖 = 
𝑥 − 𝐿𝐼𝐸
3. 𝜎 
 
Índices de Capabilidade 
• Cpk < 1 Processo efetivamente não capaz 
• Cpk ≥ 1 Processo efetivamente capaz 
• Cpk < Cp Processo descentrado 
• Cpk = Cp Processo centrado 
Cp ou Cpk 
Nível do 
Processo 
Conceito do processo 
≥ 2,0 A 
Excelente - confiável, os operadores do processo 
exercem completo controle sobre o mesmo. 
1,33 𝑎𝑡é 1,99 B 
Capaz – relativamente confiável, os operadores 
exercem controle sobre as operações, mas o 
controle da qualidade monitora e fornece 
informações para evitar a deterioração do 
processo. 
1,00 𝑎𝑡é 1,32 C 
Relativamente Capaz – pouco confiável, requer 
controle contínuo das operações, tanto pela 
fabricação quanto pelo controle da qualidade, 
visando evitar constantes descontroles e perdas 
por causa de refugos, retrabalhos, paralisações. 
< 1,0 D 
Totalmente incapaz – o processo não tem 
condições de manter as especificações ou 
padrões, por isso, é requerido o controle, revisão e 
seleção de 100% de peças, produtos ou resultados. 
Considerações Finais 
• Saber se um processo está apto e o quão apto a 
produzir ou prestar um serviço. 
• O índice de capabilidade só terá valor se o processo 
estiver sob controle estatístico. 
 
Ser Capaz / Não estar sob controle 
Requer que sejam eliminadas as 
causas especiais que estão presentes. 
Sob controle / Não capaz 
É necessária uma melhoria de processo tendo 
em vista a diminuição da influência de causas 
comuns do processo. 
Considerações Finais 
• A análise da capabilidade é parte fundamental da 
melhoria da qualidade, uma vez que ele pode 
direcionar os esforços de melhoria. 
• Predizer quão bem um processo pode atender às 
exigências do cliente; 
• Auxiliar na seleção de fornecedores; 
• Guiar o processo de redução da variação dos 
processos. 
 Uma vez que o processo tem um índice de capabilidade 
que atende às exigências naquele momento, então, os 
gráficos de controle poderão ser utilizados como uma 
ferramenta para controlar a qualidade dos processos. 
Referências 
• Conceitos Básicos de Controle Estatístico da 
Qualidade – Roberto Martins, Coleção UAB-UFSCar, 
2010.