Provinha 4 Resolução

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Microeconomia II
Resolução da Provinha 4
Maximiliano Barbosa da Silva
Universidade de São Paulo
28 de Novembro de 2011
Questão 1 (30 pontos) Considere uma economia com quatro indivíduos e dois bens, x e y. O bem
y é produzido com uma função custo c (y) = 12y
2
. Os indivíduos desta economia são indexados por
i ∈ {1, 2, 3, 4}. A utilidade do individuo 1 é dada por u (y1, x1) = 2√y1 + x1 e dos demais indivíduos
com i > 1 é dada por u (y1, xi) = 2
√
y1 + xi para i > 1. Isto é, na perspectiva do indivíduo 1 os dois
bens são bens privados enquanto para os demais indivíduos o consumo do bem y pelo indivíduo 1 é
um bem público. O bem x é um numerário, i.e. px = 1. O preço do bem y é dado por py. A renda do
indivíduo i é dada por mi para i ∈ {1, 2, 3, 4}, tal que mi > 1 para todo i.
a) (10 pontos) Suponha que esta economia é competitiva. Encontre o preço e a quantidade produzida
de y no equilíbrio competitivo.
O problema do consumidor 1 é:
max
x1,y1>0
2
√
y1 + x1
sujeito a:
x1 + pyy1 ≤ m1. (1)
Substituindo a restrição orçamentária, que vale com igualdade, na função utilidade e assumindo
solução interior, y∗1 > 0, a condição de primeira ordem é dada por:
1√
y∗1
− py = 0⇔ y∗1 =
1
p2y
. (2)
Substituindo (2) em (1) encontra-se que:
x∗1 = m1 −
1
py
. (3)
Todos os demais indivíduos gastam toda a renda no consumo do bem x, ou seja, x∗i = mi para
todo i ∈ {2, 3, 4}.
A firma competitiva, que produz o bem y, maximiza lucro igualando preço a custo marginal. Logo,
y∗ = py. Resolvendo para o market clearing do mercado do bem y:
1
p∗2y
= p∗y ⇔ p∗y = 1. (4)
Substituindo (4) em (2), encontra-se que y∗ = 1.
b) (10 pontos) Mostre que a alocação resultante do equilíbrio competitivo não é socialmente ótima
e encontre a alocação socialmente ótima.
1
A alocação socialmente ótima é dada por:
−
4∑
i=1
TMgSi (y˜, xi) = CMg (y˜) .
Logo:
4√
y˜
= y˜ ⇔ y˜ = 4 23 . (5)
Como é possível perceber, y˜ > y∗, o que significa que, no equilíbrio competitivo, a quantidade
produzida do bem y é inferior à quantidade socialmente ótima.
c) (10 pontos) Proponha um imposto/subsídio no bem y que faça com que o equilíbrio competitivo,
com o imposto/subsídio, seja socialmente ótimo.
Seja s > 0 o subsídio por unidade consumida do bem y pelo indivíduo 1, o qual é financiado em
parcelas iguais por toda a sociedade através de um imposto lump sum de total T . Então, o problema
do indivíduo 1 é:
max
x1,y1>0
2
√
y1 + x1
sujeito a:
x1 + (py − s) y1 ≤ m1 − T
4
. (6)
Substituindo a restrição orçamentária, que vale com igualdade, função utilidade e assumindo solução
interior, y1 > 0, a condição de primeira ordem é dada por:
1√
y∗1
− (py − s) = 0⇔ y∗1 =
1
(py − s)2
. (7)
Substituindo (7) em (6) encontra-se que:
x∗1 = m1 −
T
4
− 1
py − s . (8)
Todos os demais indivíduos gastam toda a renda, líquida do imposto, no consumo do bem x, ou
seja, x∗i = mi − T4 para todo i ∈ {2, 3, 4}.
Como se deseja a quantidade eficiente de y1, que é dada por y˜1 = 4
2
3
, pela equação (7), encontra-se
que:
1
(py − s)2
= 4
2
3 . (9)
A firma competitiva, que produz o bem y, maximiza lucro igualando preço que ela recebe ao custo
marginal. Logo, y∗ = py. Como se deseja y∗ = 4
2
3
, conclui-se que py = 4
2
3
. Assim, pela equação (9):
1(
4
2
3 − s
)2 = 4 23 ⇔ s = 34 13 . (10)
Assim, o total de imposto que deve ser arrecadado é T = 3 · 4 13 , sendo que cada um dos indivíduos
deve pagar um quarto deste valor.
Questão 2 (50 pontos) Considere o jogo em forma extensiva descrito abaixo:
2
3 
-1 
-2 
2 
2 
-2 
2 
-2 
-2 
2 
1
1 
A B 
a 
A 
a b b 
A B B 
Jogador 1 
Jogador 2 Jogador 2 
Jogador 1 Jogador 1 
a) (10 pontos) Indique o conjunto de estratégias puras de cada jogador.
O conjunto de estratégias puras do jogador 1 é S1 = {(A,A) , (A,B) , (B,A) , (B,B)}. O conjunto
de estratégias puras do jogador 2 é S2 = {(a, a) , (a, b) , (b, a) , (b, b)}.
b) (25 pontos) Encontre o(s) equilíbrio(s) de Nash Perfeito(s) de Subjogo (em estratégias puras
ou mistas) se existir algum. Para cada equilíbrio que você achar você deve indicar as estratégias de
equilíbrio de cada jogador e dizer o payoff que cada jogador recebe. Caso não exista nenhum equilíbrio,
você deve explicar como chegou a esta conclusão.
Um equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos deve ser um equilíbrio de Nash em cada subjogo.
Ignorando o jogo completo, os subjogos do jogo proposto estão destacados abaixo:
3
3 
-1 
-2 
2 
2 
-2 
2 
-2 
-2 
2 
1
1 
A B 
a 
A 
a b b 
A B B 
Jogador 1 
Jogador 2 Jogador 2 
Jogador 1 Jogador 1 
�
SJ1 SJ2 
Note que, se o jogo atingir o subjogo 1 (SJ1), então o jogador 2 escolherá a, que lhe rende um
payoff de 1 enquanto que b lhe proporciona -1. Se o jogo atingir o segundo subjogo (SJ2), então
um de seus equilíbrios de Nash deve ser jogado. Abaixo, este subjogo está representado em sua
forma matricial, sendo que os asteriscos representam as melhores respostas dos jogadores. Repare
que este jogo não possui equilíbrio de Nash em estratégias puras, porém, como este subjogo é finito,
pelo teorema da existência de equilíbrio de Nash, sabe-se que há pelo menos um equilíbrio de Nash
envolvendo estratégias mistas.
Jogador 2
a b
Jogador 1
A −2, 2∗ 2∗,−2
B 2∗,−2 −2, 2∗
Pela simetria deste subjogo é evidente que o único equilíbrio de Nash em estratégias mistas prevê
que Pr(A) = Pr(a) = 12 . Sendo assim, caso o jogo atinja o segundo subjogo, ambos os jogadores têm
um payoff esperado de zero. Mas então, o jogador 1 deve escolher, na primeira etapa, entre jogar A,
levando o jogo para o subjogo 1, e desta forma ganhar payoff de 1 e entre jogar B, o que leva o jogo
para o segundo subjogo e lhe proporciona um payoff de zero. Claramente, o jogador 1 prefere jogar
A no começo do jogo. Com isto, conclui-se que o equilíbrio de Nash perfeito em subjogos é dado por:
ENPS =
〈(
A,Pr (A) = 12
)
,
(
a,Pr (a) = 12
)〉
e os payoffs são dados por (1, 1). É importante perceber
que as estratégias que compõem um equilíbrio de Nash perfeito em subjogos são as ótimas para cada
jogador dadas as estratégias dos demais jogadores tanto sobre quanto fora da trajetória de equilíbrio
prevista pelas estratégias.
c) (15 pontos) Escreva a forma normal deste jogo e encontre o(s) equilíbrio(s) de Nash em estratégias
puras, se existir algum. Caso não exista nenhum equilíbrio, você deve explicar como chegou a esta
conclusão.
A forma normal deste jogo está representada abaixo pela matriz de payoffs. Nesta matriz, as
melhores respostas dos jogadores estão destacadas por asteriscos. Como se pode perceber, não existe
4
nenhuma combinação de estratégias puras tal que a estratégia de cada jogador é a melhor resposta para
a estratégia do outro. Por este motivo, conclui-se que não há equilíbrios de de Nash em estratégias
puras neste jogo.
Jogador 2
a, a a, b b, a b, b
Jogador 1
A,A 1, 1∗ 1, 1∗ ∗3,−1 ∗3,−1
A,B 1, 1∗ 1, 1∗ ∗3,−1 ∗3,−1
B,A −2, 2∗ ∗2,−2 −2, 2∗ 2∗,−2
B,B ∗2,−2 −2, 2∗ 2,−2 −2, 2∗
Questão 3 (20 pontos) Considere o jogo simultâneo representado pela matriz de payoff abaixo.
Existem dois jogadores, jogador linha e jogador coluna. Cada jogador possui duas ações, NC e C.
Dentro de cada célula você pode encontrar o payoff do jogador linha e o payoff do jogador coluna.
NC C
NC 1, 1 3,−1
C 3,−1 2, 2
a) (5 pontos) Indique o conjunto de estratégias puras disponíveis para cada jogador e ache o(s)
equilíbrios de Nash em estratégias puras e mistas se existir algum.
Os dois jogadores possuem o mesmo conjunto de estratégias: S = {NC,C}. Abaixo estão destaca-
das as melhores respostas dos jogadores.
NC C
NC 1, 1∗ ∗3,−1
C
∗3,−1 2, 2∗
Como se percebe, pelo fato de não existir uma estratégiapura para o jogador linha e uma estratégia
pura para o jogador coluna tais que a estratégia do primeiro é a melhor resposta para a estratégia do
segundo e a estratégia do segundo é melhor resposta para a estratégia do primeiro simultaneamente,
neste jogo não existe equilíbrio de Nash em estratégias puras. Todavia, pelo fato de este jogo ser finito,
o teorema da existência de equilíbrio de Nash garante que existe um equilíbrio de Nash em estratégias
mistas. Para encontrar este(s) equilíbrio(s) denote por p a probabilidade de o jogador linha escolher
NC e por q a probabilidade de o jogador coluna escolher NC. Agora considere os payoffs esperados
do jogador linha em jogar NC com certeza e em jogar C com certeza: Ul (NC) = q + 3 (1− q) e
Ul (C) = 3q + 2 (1− q), respectivamente. Então, para o jogador linha, jogar NC é ao menos tão
bom quanto jogar C se e somente se q + 3 (1− q) > 3q + 2 (1− q) ⇔ q 6 13 . Analise então os payoffs
esperados do jogador coluna em jogar NC com certeza e em jogar C com certeza: Uc (NC) = p−(1− p)
e Uc (C) = −p + 2 (1− p), respectivamente. Assim, para o jogador coluna, jogar NC é ao menos tão
bom quanto jogar C se e somente se p − (1− p) > −p + 2 (1− p) ⇔ p ≥ 35 . No gráfico abaixo
analisam-se estas melhores respostas:
5
1 
1 
Equilíbrio de 
Nash 
3/5 p 
q 
1/3 
Melhor resposta 
do jogador coluna 
Melhor resposta 
do jogador linha 
Repare que o único ponto em que cada jogador está respondendo otimamente à estratégia mista
do outro ocorre no ponto (p∗, q∗) =
(
3
5 ,
1
3
)
, consistituindo o único equilíbrio de Nash deste jogo.
b) (5 pontos) Suponha agora que o jogo acima é repetido por dois períodos. Suponha também que o
fator de desconto intertemporal de cada jogador é dado por 0 < δ < 1. Indique o número de estratégias
puras disponíveis para cada jogador.
Se o jogo é repetido duas vezes, existem cinco contigências nas quais um jogador pode ser chamado
a jogar: quando o jogo começa e uma para cada resultado da primeira rodada do jogo, ou seja:
(NC,NC), (NC,C), (C,NC) e (C,C). Como, em cada uma destas contigências, cada jogador possui
duas ações à disposição, o conjunto de estratégias de cada jogador possui 25 = 32 estratégias.
c) (10 pontos) Sob as mesmas suposições do item anterior (i.e. item b), encontre os equilíbrio(s) de
Nash Perfeitos de Subjogo. Justifique sua resposta.
Como o stage game possui um único equilíbrio de Nash e ele é repetido finitas vezes, o único
equilíbrio de Nash perfeito em subjogos prevê que o equilíbrio de Nash do stage game seja jogado em
todas as rodadas, independentemente das contigências, ou seja, da história de jogadas do jogo.
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