Aula_4_Potencial_Eletrico

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Profª Drª Simone F. Souza 
 
 
Aula 4 
 
Potencial elétrico 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 
Ao participar dessa aula, você aprenderá: 
 
• Como calcular a energia potencial elétrica de um conjunto de cargas; 
• O significado e a importância do potencial elétrico; 
• Como usar as superfícies equipotenciais para visualizar como o 
potencial elétrico varia no espaço ; 
• Como usar o potencial elétrico para calcular o campo elétrico. 
Vamos dar início ao estudo da energia associada às interações elétricas! 
Introdução 
Toda vez que você liga uma lâmpada, ouve 
um CD ou usa um aparelho doméstico, está 
utilizando a energia elétrica, um 
ingrediente indispensável em nossa 
sociedade tecnológica. 
Os conceitos de trabalho e energia foram introduzidos na Mecânica. Vamos agora 
combinar esses conceitos com tudo aquilo que você aprendeu sobre cargas 
elétricas, forças elétricas e campos elétricos. 
Quando uma partícula carregada se desloca em um 
campo elétrico, o campo exerce uma força que realiza 
um trabalho sobre a partícula. 
Esse trabalho realizado pode ser expresso 
em termos da energia potencial elétrica. 
Tal como a energia potencial gravitacional depende da altura em que se encontra a 
massa sobre a superfície terrestre, a energia potencial elétrica depende da posição da 
partícula carregada no campo elétrico. 
Descreveremos a energia potencial elétrica usando um 
conceito novo, chamado potencial elétrico. 
Vamos relembrar os conceitos de 
trabalho e energia potencial! 
Trabalho e energia potencial elétrica 
Quando uma força 𝐹 atua sobre uma partícula que se move de um ponto a até um 
ponto b, o trabalho realizado pela força é dado pela integral de linha: 
É uma medida da energia transferida para 
(ou de) um corpo (ou sistema) por 
intermédio de uma força que age sobre 
ele, provocando um deslocamento. 
 𝑑𝑙  deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória da partícula; 
 Փ é o ângulo entre 𝐹 e 𝑑𝑙 em cada ponto da trajetória. 
 O trabalho é positivo se a força está no mesmo sentido 
do deslocamento e negativo se a força está no sentido 
contrário ao deslocamento. 
Se a força 𝐹 for conservativa, o trabalho realizado por essa força pode ser sempre 
expresso em função da energia potencial U: 
Uma força 𝐹 é dita conservativa quando o trabalho realizado por ela não depende da trajetória. 
 
Quando uma partícula que se move de um ponto no qual a energia 
potencial é 𝑈𝑎 até um ponto no qual a energia potencial é 𝑈𝑏. 
Quando 𝑊𝑎→𝑏 é positivo, 𝑈𝑎 é maior do que 𝑈𝑏 , logo ∆𝑈 é 
negativa e a energia potencial diminui. Isso é o que ocorre com a 
bola de beisebol quando ela cai do ponto mais elevado até um 
ponto mais baixo. 
O teorema trabalho-energia afirma que a variação da energia cinética ∆𝑘 = 𝐾𝑏 − 𝐾𝑎 
durante qualquer deslocamento é igual ao trabalho total realizado sobre a partícula: 
Quando somente forças conservativas realizam trabalho sobre a partícula, então 
teremos que: 
A energia mecânica total (energia cinética mais energia potencial) é conservada 
nas circunstâncias mencionadas. 
Vamos examinar um exemplo elétrico desses conceitos básicos! 
Energia potencial elétrica em um campo uniforme 
A figura indica um par de placa metálicas paralelas 
carregadas, produzindo um campo elétrico 
uniforme (orientado de cima para baixo) sobre 
uma carga elétrica positiva. 
A carga se move uma distância d de um ponto a 
até um ponto b. 
O trabalho realizado pelo campo elétrico 
sobre a partícula é dado por: 
Esse valor é positivo porque a força possui a mesma 
direção e o mesmo sentido do deslocamento da carga. 
Os físicos e os engenheiros descobriram empiricamente que a força elétrica é 
conservativa e, portanto, é possível associar a ela uma energia potencial (chamada 
energia potencial elétrica). 
Em analogia ao caso gravitacional, podemos definir a energia potencial para a força 
elétrica 𝐹𝑦 = −𝑞0𝐸 como sendo: 
Quando uma carga de teste se move de uma altura 
𝑦𝑎 até uma altura 𝑦𝑏 , o trabalho realizado pelo campo 
elétrico sobe a carga é dado por: 
Quando 𝑦𝑎 > 𝑦𝑏 : 
A carga se move de cima pra 
baixo. 
 
Quando 𝑦𝑎 < 𝑦𝑏 : 
A carga se move de baixo pra 
cima. 
 
Para uma carga de teste negativa: 
Tanto para cargas de testes positivas quanto para negativas as 
seguintes regras são válidas: U aumenta quando a carga de 
teste se move em sentido contrário ao da força; U diminui 
quando a carga de teste se move no mesmo sentido da força. 
Energia potencial elétrica de duas cargas puntiformes 
A idéia da energia potencial elétrica não se restringe apenas ao caso especial do 
campo elétrico uniforme. Podemos aplicar esse conceito para uma carga puntiforme 
situada em qualquer campo elétrico produzido por uma distribuição estática de cargas. 
Uma vez que podemos representar uma distribuição 
de cargas como uma coleção de cargas puntiformes, 
é útil calcular o trabalho realizado sobre uma carga 
de teste que se move no campo elétrico produzido 
por uma única carga puntiforme estática q. 
Inicialmente, vamos considerar um deslocamento radial, 
como indicado na figura, do ponto a até o b. Pela lei de 
Coulomb: 
𝐹𝑟 positiva  q e 𝑞0 possuem o mesmo sinal (repulsão) 
𝐹𝑟 negativa  q e 𝑞0 possuem sinais contrários (atração) 
A força não é constante durante o deslocamento; é preciso integrar para 
calcular o trabalho realizado por essa força sobre a carga de teste quando ela se 
desloca de a até b: 
O trabalho realizado pela força elétrica para essa trajetória 
particular depende apenas do ponto inicial e do ponto final. 
Na verdade, o trabalho realizado é sempre o mesmo para todas as possíveis 
trajetórias entre a e b! 
Considere o caso do deslocamento 
geral mostrado na figura ao lado. 
Pela definição de trabalho, teremos: 
Contudo, a figura mostra que o 
trabalho depende da componente 
radial do deslocamento: 
Dessa forma, dada a equação podemos fazer 
as seguintes definições: 
Concluímos que a equação abaixo é válida para um deslocamento mais geral: 
Concluímos também que, se a carga de teste volta ao seu ponto inicial, o trabalho 
realizado nessa trajetória fechada é igual a zero (pois a integral acima vai de 𝑟𝑎 para 𝑟𝑎. 
Essas são características necessárias de uma força 
conservativa. Logo, a força que atua sobre a carga de teste é 
conservativa. 
Energia potencial quando a 
carga de teste está no ponto a. 
Energia potencial quando a 
carga de teste está no ponto b. 
Logo, a energia potencial U quando a carga de teste está em um ponto situado a 
qualquer distância r da carga q é dada por: 
Energia potencial elétrica de duas cargas puntiformes 
A energia potencial é sempre definida em relação a algum ponto, no qual U = 0. Na 
equação acima, U = 0 quando a distância entre q e a carga de teste é muito grande: 
Portanto, U é igual ao negativo do trabalho realizado 
pelo campo elétrico gerado pela carga q para deslocar 
uma carga de teste do infinito até o ponto r. 
Vamos considerar que este é o 
ponto da configuração inicial. 
A energia potencial U é uma propriedade comum das duas cargas 
(que decorre a interação entre elas) , por essa razão nunca 
usaremos a frase “ a energia potencial de uma carga puntiforme”. 
Potencial elétrico 
Como vimos anteriormente, a energia 
potencial associada a uma carga de 
teste devido ao campo elétrico criado 
por outra carga depende do valor da 
carga de teste. 
Por outro lado, a energia potencial por 
unidade decarga associada a um campo 
elétrico possui um valor único em cada 
ponto do espaço e é uma característica 
apenas do campo elétrico na região do 
espaço que está sendo investigada. 
Exemplo: Uma partícula de prova com uma carga positiva é colocada em um ponto do 
espaço no qual pode se associar uma determinada energia potencial: 
Substituindo a partícula de prova, teremos: 
A energia potencial por unidade de carga em um ponto do espaço é chamada potencial 
elétrico (ou simplesmente potencial) e representada pela letra V: 
Observe que o potencial elétrico é uma grandeza escalar. 
 
Carga de teste 
Para um deslocamento da partícula de teste de um ponto inicial até um ponto final, 
teremos (estamos dividindo a equação conhecida pela carga de teste): 
Logo, a diferença de potencial entre dois pontos (potencial de i em relação a f) é dada 
por: 
É o negativo do trabalho realizado 
pela força eletrostática para deslocar 
uma carga de um ponto para outro. 
De acordo com a equação que define o potencial elétrico, se 
tomarmos U = 0 no infinito como configuração inicial, o 
potencial elétrico V também será nulo no infinito. 
Neste caso, uma vez que 
podemos definir o potencial elétrico em qualquer ponto do espaço através da relação: 
𝑊∞ é o trabalho executado pelo campo elétrico sobre uma partícula carregada quando esta se 
desloca do infinito para o ponto final f. 
De acordo com o sistema internacional de unidades, a 
unidade de potencial elétrico é o Joule por Coulomb: 
Em homenagem ao italiano e pesquisador experimental da 
eletricidade Alessandro Volta (1745 – 1827), do J/C foi 
definido como volt: 
Essa nova unidade permite adotar uma unidade mais 
conveniente para o campo elétrico, que até agora vem sendo 
expresso em Newtons por Coulomb: 
𝑊 = 𝑞. ∆𝑉 
𝑊 = 𝐹. 𝑑 
Podemos definir também uma unidade de energia que é 
conveniente no caso da medida da energia de sistemas de 
dimensões atômicas e subatômicas: eV. 
Energia igual ao trabalho necessário para deslocar uma carga elementar através de uma 
diferença de potencial de 1 V. 
Trabalho realizado por uma força aplicada 
Vamos supor agora que uma partícula de carga q seja transportada de um ponto i para 
um ponto f, na presença de um campo elétrico, através da aplicação de uma força. 
Essa força aplicada realiza um trabalho 𝑊𝑎𝑝 sobre a carga, enquanto o campo elétrico 
realiza um trabalho W sobre a mesma carga. 
De acordo com o teorema do trabalho e energia cinética: 
Suponha que a partícula esteja parada antes e depois do deslocamento. Nesse caso: 
Dessa forma: 
Isso significa que se a energia cinética da partícula é a mesma antes e depois 
de um deslocamento, o trabalho realizado pela força aplicada durante o 
deslocamento é igual ao negativo do trabalho realizado pelo campo elétrico. 
Podemos então relacionar o trabalho da força aplicada à variação da energia potencial 
da partícula durante o deslocamento: 
Além disso, podemos relacionar o trabalho da força aplicada à diferença de potencial 
elétrico entre as posições inicial e final da partícula: 
O trabalho da força aplicada pode ser positivo ou negativo, 
dependendo do sinal e do valor absoluto de q e ∆V. 
Superfícies equipotenciais 
As linhas de campo auxiliam na visualização de um campo elétrico. De modo análogo, 
os potenciais em diversos pontos de um campo elétrico podem ser representados 
graficamente por superfícies equipotenciais. 
Uma superfície equipotencial é uma superfície em três dimensões, sobre a 
qual o potencial elétrico V permanece constante em todos os seus pontos. 
Quando uma carga de teste se desloca de um ponto a outro sobre essa 
superfície, a energia potencial elétrica U = qV permanece constante. 
Como a energia potencial não varia quando uma carga de teste se desloca ao longo de 
uma superfície equipotencial, o campo elétrico não pode realizar trabalho sobre essa 
carga (W = 0): 
= 0 
Isso indica que o campo E deve ser perpendicular à superfície 
em todos os seus pontos, de modo que a força será sempre 
perpendicular ao deslocamento de uma carga que se move 
sobre a superfície. 
As linhas de campo elétrico e as superfícies equipotenciais são sempre 
mutuamente perpendiculares. 
As superfícies equipotenciais foram desenhadas de modo que mantenham constante a 
diferença de potencial entre duas superfícies adjacentes. 
Em regiões onde o campo 𝐸 é grande, as superfícies 
equipotenciais ficam agrupadas mais compactamente. 
Atenção: o campo elétrico não precisa ser constante 
sobre uma superfície equipotencial. 
Cálculo do potencial a partir do campo elétrico 
É possível calcular a diferença de potencial entre dois ponto i e f em uma região do 
espaço onde existe um campo elétrico se o vetor campo elétrico for conhecido em 
todos os pontos de qualquer trajetória que ligue esses pontos. 
Considere um campo elétrico qualquer como 
representado pelas linhas de campo da figura ao lado 
e uma carga de prova positiva que se move do ponto 
i para o ponto f percorrendo a trajetória mostrada na 
figura. 
Em todos os pontos da trajetória uma força 
eletrostática 𝑞0𝐸 age sobre a carga enquanto ela 
sofre um deslocamento elementar 𝑑𝑠 . 
Como vimos anteriormente, o trabalho elementar dW 
realizado sobre uma partícula por uma força durante 
um deslocamento 𝑑𝑠 é dado por: 
Para determinar o trabalho total realizado pelo campo somamos, por integração, os 
trabalhos elementares realizados sobre a carga quando esta sofre todos os 
deslocamentos 𝑑𝑠 de que é composta a trajetória: 
Lembrando que: 
 
Teremos: 
A diferença de potencial entre dois pontos i e f na presença de um campo elétrico é igual ao negativo da 
integral de linha (integral ao longo de uma trajetória) de do ponto i até o ponto f. 
Se escolhermos o potencial 𝑉𝑖 do ponto i como sendo zero, encontraremos: 
Essa eq. pode ser usada para calcular o potencial em qualquer ponto f em relação ao 
potencial i, tomado como sendo zero. 
 
Se o ponto i está no infinito, a eq. nos fornece o potencial V em 
qualquer ponto f em relação ao potencial no infinito, tomado como 
sendo zero. 
Exemplo 1: determinação da diferença de potencial a partir do campo 
elétrico 
Fig. 24-5 a 
 
Resolução do item (a) do exemplo 1: 
Deslocando a carga de prova do ponto i ao ponto f na trajetória 
mostrada na figura, notamos que o deslocamento elementar 𝑑𝑠 
tem sempre a mesma orientação do campo 𝐸. Dessa forma: 
Neste caso, de acordo com a expressão encontrada anteriormente: 
Como o campo é uniforme: 
O sinal negativo mostra que o potencial no ponto f é menor que o 
potencial no ponto i. 
Resolução do item (b) do exemplo 1: 
A idéia-chave do item (a) também se aplica neste 
caso, mas agora estamos deslocando a carga ao 
longo de uma trajetória formada por dois 
segmentos de reta, ic e cf. Dessa forma, teremos: 
Em todos os pontos do segmento ic o 
deslocamento 𝑑𝑠 é perpendicular a 𝐸. 
No caso do segmento cf, temos θ = 45º, logo: 
A integral nessa equação é simplesmente o comprimento do segmento cf. De acordo 
com a figura, esse comprimento é dado por: 
Dessa forma: 
O resultado é igual ao obtido no item (a), mostrando que a 
diferença de potencial entre dois pontos não depende da 
trajetória usada para o cálculo. 
Potencial produzido por uma carga pontual 
Vamos agora obter a expressão para o potencial elétrico V criado por uma carga pontual, 
tomando como referência um potencial zero no infinito. 
Para utilizar a equação que fornece o potencial elétrico, 
imaginemosque uma carga de prova 𝒒𝟎 é deslocada do 
infinito até o ponto P. 
Como a trajetória é irrelevante, podemos escolher a mais 
simples: uma reta que liga o ponto P à partícula e se 
estende até o infinito. 
O campo elétrico é radial e aponta para longe da partícula 
fixa; assim, 𝑑𝑠 tem a mesma direção que 𝐸. Logo: 
Como a trajetória é radial, podemos fazer 
Lembrando que 𝑉𝑖 ∞ = 0. 
Neste caso, podemos escrever a expressão para o 
potencial elétrico como sendo: 
 
O campo E no ponto onde se encontra a carga de prova é 
dado pela lei de Coulomb: 
Com as substituições a equação se torna: 
Lembrando que: 
Explicitando V e substituindo R por r, temos: 
Potencial elétrico V produzido por uma partícula de carga q a 
uma distância r da partícula. 
Embora a equação anterior tenha sido demonstrada para uma partícula de carga 
positiva, a demonstração vale também para uma partícula de carga negativa. Observe 
que o sinal de V é igual ao sinal de q: 
Uma partícula de carga positiva produz um potencial elétrico positivo; 
uma partícula de carga negativa produz um potencial elétrico negativo. 
Potencial produzido por um grupo de cargas pontuais 
Podemos calcular o potencial produzido em um certo ponto por um grupo de cargas 
pontuais com a ajuda do princípio da superposição. 
Dado o potencial elétrico 
produzido por uma única carga 
 
Devemos calcular separadamente os potenciais 
produzidos pelas cargas no ponto especificado e 
somamos os potenciais. 
 𝒒𝒊 é a carga de ordem i e 𝑟𝑖 é a distância radial 
entre o ponto dado e a carga de ordem i. 
No caso de n cargas, o potencial é dado por: 
O somatório é uma soma algébrica. Essa é uma vantagem 
importante do potencial em relação ao campo elétrico, já 
que é mais fácil somar escalares do que vetores. 
Exemplo 2: potencial total de várias partículas carregadas 
Fig. 24-8 a 
 
Resolução do exemplo 2: 
O potencial elétrico V no ponto P é a soma algébrica dos potenciais elétricos produzidos 
pelas quatro cargas. Como o potencial é um escalar, as orientações das cargas são 
irrelevantes. 
Potencial produzido por uma distribuição 
contínua de cargas 
Quando a distribuição de cargas é contínua não podemos usar o somatório para 
calcular o potencial no ponto P. Em vez disso, devemos escolher um elemento de 
carga dq, calcular o potencial dV produzido por dq no ponto P e integrar para toda a 
distribuição de carga. 
Vamos tomar novamente o potencial no infinito como sendo nulo. Tratando o 
elemento de carga como uma carga pontual, podemos expressar o potencial dV no ponto 
P devido a dq como: 
Onde r é a distância entre P e dq. Para calcular o potencial total, integramos para todos 
os elementos de carga: 
Potencial elétrico - Linhas de cargas 
Barra fina não-condutora de comprimento L e que 
possui uma densidade linear de cargas λ. 
Vamos determinar o potencial elétrico V produzido 
pela barra no ponto P, situado a uma distância 
perpendicular d da extremidade esquerda da barra. 
Começamos por considerar um elemento de 
comprimento dx da barra. A carga desse elemento é 
dada por: 
Esse elemento produz um potencial dV no ponto P, 
que está à seguinte distância r: 
Tratando o elemento como uma carga pontual, 
podemos escrever: 
Tomamos como referência V = 0 no infinito. 
Sabendo que: 
Para calcular o potencial total produzido pela barra no ponto P devemos integrar a 
equação anterior ao logo de toda a barra, de x = 0 a x = L: 
Teremos: 
Potencial elétrico – Disco carregado 
Considere o disco não-condutor de raio R e 
densidade superficial de cargas uniforme σ em uma 
das superfícies. 
Vamos obter a expressão para o potencial em 
um ponto qualquer do eixo central. 
Considere um elemento de área constituído por um 
anel de raio R’ e largura radial dR’. A carga desse 
elemento é dada por: 
Elemento de área do anel. 
 
Como o ponto P está sobre o eixo central, todas as partes do 
elemento de carga estão à mesma distância r do ponto 
A contribuição do anel para o potencial no ponto P será: 
Para calcular o potencial total somamos, por integração, 
as contribuições de todos os anéis, de R’ = 0 a R’ = R: 
Observe que a variável de integração é R’ e não z (que 
permanece constante). 
Cálculo do campo elétrico a partir do potencial 
Nos tópicos anteriores vimos como calcular o potencial em um ponto f a partir do 
conhecimento do valor do campo elétrico ao longo da trajetória de um ponto de 
referência até o ponto f. 
Agora vamos calcular o campo elétrico a partir do potencial. 
Graficamente: fácil resolução. Se conhecermos o 
potencial V para todos os pontos nas vizinhanças de uma 
distribuição de cargas, podemos desenhar uma família 
de superfícies equipotenciais. As linhas de campo elétrico 
desenhadas perpendicularmente a essas superfícies, 
revelam a variação de 𝐸. 
Vamos buscar um método matemático equivalente a 
esse processo gráfico! 
A figura ao lado mostra seções retas de uma 
família de superfícies equipotenciais muito 
próximas umas das outras; a diferença de 
potencial entre duas superfícies adjacentes é 
dV. 
O campo elétrico em qualquer ponto P é 
perpendicular à superfície equipotencial 
que passa por P. 
Suponha que a carga de prova sofra um deslocamento de uma superfície equipotencial 
para a superfície vizinha. O trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga durante 
o deslocamento é dado por: 
O trabalho também pode ser escrito como: 
Igualando as duas expressões para o trabalho: 
Pela figura é possível notar que Ecosθ é a 
componente de 𝐸 na direção de 𝑑𝑠 . Logo: 
 
Substituímos o símbolo da derivada por uma derivada parcial para ressaltar o fato de que 
essa equação envolve apenas a variação de V ao longo d eum certo eixo (que chamamos 
de eixo s) e apenas a componente de 𝐸 ao longo desse eixo. 
A componente de 𝐸 em qualquer direção do espaço é o negativo da 
taxa de variação do potencial elétrico com a distância nessa direção. 
Tomando o eixo s como sendo, sucessivamente, os eixos x, y e z, teremos: 
Assim, se conhecermos V para todos os pontos nas vizinhanças de uma distribuição de 
cargas, ou seja, se conhecermos V(x,y,z), podemos obter as componentes de E e 
portanto, o próprio 𝐸. 
Exemplo 3 – cálculo do campo a partir do potencial 
Resolução do Exemplo 3 
Estamos interessados em calcular o campo elétrico 𝑬 em função da distância z ao 
longo do eixo do disco. Para qualquer valor de z, o campo elétrico deve apontar ao longo 
do eixo do disco, já que disco possui simetria circular em relação a esse eixo. 
Dessa forma, teremos: 
Essa foi a mesma resposta obtida por integração como fizemos na aula 2. 
Exercícios – lista 3 
1) O campo elétrico em uma certa região do espaço tem componentes 𝐸𝑦 = 𝐸𝑧 = 0 e 
𝐸𝑥 = 4,00
𝑁
𝐶
𝑥 . O ponto A está sobre o eixo y em y = 3,00 m e o ponto B está sobre o 
eixo x em x = 4,00 m. Qual é a diferença de potencial 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 ? 
Bons estudos!