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Profª Drª Simone F. Souza Aula 4 Potencial elétrico OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao participar dessa aula, você aprenderá: • Como calcular a energia potencial elétrica de um conjunto de cargas; • O significado e a importância do potencial elétrico; • Como usar as superfícies equipotenciais para visualizar como o potencial elétrico varia no espaço ; • Como usar o potencial elétrico para calcular o campo elétrico. Vamos dar início ao estudo da energia associada às interações elétricas! Introdução Toda vez que você liga uma lâmpada, ouve um CD ou usa um aparelho doméstico, está utilizando a energia elétrica, um ingrediente indispensável em nossa sociedade tecnológica. Os conceitos de trabalho e energia foram introduzidos na Mecânica. Vamos agora combinar esses conceitos com tudo aquilo que você aprendeu sobre cargas elétricas, forças elétricas e campos elétricos. Quando uma partícula carregada se desloca em um campo elétrico, o campo exerce uma força que realiza um trabalho sobre a partícula. Esse trabalho realizado pode ser expresso em termos da energia potencial elétrica. Tal como a energia potencial gravitacional depende da altura em que se encontra a massa sobre a superfície terrestre, a energia potencial elétrica depende da posição da partícula carregada no campo elétrico. Descreveremos a energia potencial elétrica usando um conceito novo, chamado potencial elétrico. Vamos relembrar os conceitos de trabalho e energia potencial! Trabalho e energia potencial elétrica Quando uma força 𝐹 atua sobre uma partícula que se move de um ponto a até um ponto b, o trabalho realizado pela força é dado pela integral de linha: É uma medida da energia transferida para (ou de) um corpo (ou sistema) por intermédio de uma força que age sobre ele, provocando um deslocamento. 𝑑𝑙 deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória da partícula; Փ é o ângulo entre 𝐹 e 𝑑𝑙 em cada ponto da trajetória. O trabalho é positivo se a força está no mesmo sentido do deslocamento e negativo se a força está no sentido contrário ao deslocamento. Se a força 𝐹 for conservativa, o trabalho realizado por essa força pode ser sempre expresso em função da energia potencial U: Uma força 𝐹 é dita conservativa quando o trabalho realizado por ela não depende da trajetória. Quando uma partícula que se move de um ponto no qual a energia potencial é 𝑈𝑎 até um ponto no qual a energia potencial é 𝑈𝑏. Quando 𝑊𝑎→𝑏 é positivo, 𝑈𝑎 é maior do que 𝑈𝑏 , logo ∆𝑈 é negativa e a energia potencial diminui. Isso é o que ocorre com a bola de beisebol quando ela cai do ponto mais elevado até um ponto mais baixo. O teorema trabalho-energia afirma que a variação da energia cinética ∆𝑘 = 𝐾𝑏 − 𝐾𝑎 durante qualquer deslocamento é igual ao trabalho total realizado sobre a partícula: Quando somente forças conservativas realizam trabalho sobre a partícula, então teremos que: A energia mecânica total (energia cinética mais energia potencial) é conservada nas circunstâncias mencionadas. Vamos examinar um exemplo elétrico desses conceitos básicos! Energia potencial elétrica em um campo uniforme A figura indica um par de placa metálicas paralelas carregadas, produzindo um campo elétrico uniforme (orientado de cima para baixo) sobre uma carga elétrica positiva. A carga se move uma distância d de um ponto a até um ponto b. O trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a partícula é dado por: Esse valor é positivo porque a força possui a mesma direção e o mesmo sentido do deslocamento da carga. Os físicos e os engenheiros descobriram empiricamente que a força elétrica é conservativa e, portanto, é possível associar a ela uma energia potencial (chamada energia potencial elétrica). Em analogia ao caso gravitacional, podemos definir a energia potencial para a força elétrica 𝐹𝑦 = −𝑞0𝐸 como sendo: Quando uma carga de teste se move de uma altura 𝑦𝑎 até uma altura 𝑦𝑏 , o trabalho realizado pelo campo elétrico sobe a carga é dado por: Quando 𝑦𝑎 > 𝑦𝑏 : A carga se move de cima pra baixo. Quando 𝑦𝑎 < 𝑦𝑏 : A carga se move de baixo pra cima. Para uma carga de teste negativa: Tanto para cargas de testes positivas quanto para negativas as seguintes regras são válidas: U aumenta quando a carga de teste se move em sentido contrário ao da força; U diminui quando a carga de teste se move no mesmo sentido da força. Energia potencial elétrica de duas cargas puntiformes A idéia da energia potencial elétrica não se restringe apenas ao caso especial do campo elétrico uniforme. Podemos aplicar esse conceito para uma carga puntiforme situada em qualquer campo elétrico produzido por uma distribuição estática de cargas. Uma vez que podemos representar uma distribuição de cargas como uma coleção de cargas puntiformes, é útil calcular o trabalho realizado sobre uma carga de teste que se move no campo elétrico produzido por uma única carga puntiforme estática q. Inicialmente, vamos considerar um deslocamento radial, como indicado na figura, do ponto a até o b. Pela lei de Coulomb: 𝐹𝑟 positiva q e 𝑞0 possuem o mesmo sinal (repulsão) 𝐹𝑟 negativa q e 𝑞0 possuem sinais contrários (atração) A força não é constante durante o deslocamento; é preciso integrar para calcular o trabalho realizado por essa força sobre a carga de teste quando ela se desloca de a até b: O trabalho realizado pela força elétrica para essa trajetória particular depende apenas do ponto inicial e do ponto final. Na verdade, o trabalho realizado é sempre o mesmo para todas as possíveis trajetórias entre a e b! Considere o caso do deslocamento geral mostrado na figura ao lado. Pela definição de trabalho, teremos: Contudo, a figura mostra que o trabalho depende da componente radial do deslocamento: Dessa forma, dada a equação podemos fazer as seguintes definições: Concluímos que a equação abaixo é válida para um deslocamento mais geral: Concluímos também que, se a carga de teste volta ao seu ponto inicial, o trabalho realizado nessa trajetória fechada é igual a zero (pois a integral acima vai de 𝑟𝑎 para 𝑟𝑎. Essas são características necessárias de uma força conservativa. Logo, a força que atua sobre a carga de teste é conservativa. Energia potencial quando a carga de teste está no ponto a. Energia potencial quando a carga de teste está no ponto b. Logo, a energia potencial U quando a carga de teste está em um ponto situado a qualquer distância r da carga q é dada por: Energia potencial elétrica de duas cargas puntiformes A energia potencial é sempre definida em relação a algum ponto, no qual U = 0. Na equação acima, U = 0 quando a distância entre q e a carga de teste é muito grande: Portanto, U é igual ao negativo do trabalho realizado pelo campo elétrico gerado pela carga q para deslocar uma carga de teste do infinito até o ponto r. Vamos considerar que este é o ponto da configuração inicial. A energia potencial U é uma propriedade comum das duas cargas (que decorre a interação entre elas) , por essa razão nunca usaremos a frase “ a energia potencial de uma carga puntiforme”. Potencial elétrico Como vimos anteriormente, a energia potencial associada a uma carga de teste devido ao campo elétrico criado por outra carga depende do valor da carga de teste. Por outro lado, a energia potencial por unidade decarga associada a um campo elétrico possui um valor único em cada ponto do espaço e é uma característica apenas do campo elétrico na região do espaço que está sendo investigada. Exemplo: Uma partícula de prova com uma carga positiva é colocada em um ponto do espaço no qual pode se associar uma determinada energia potencial: Substituindo a partícula de prova, teremos: A energia potencial por unidade de carga em um ponto do espaço é chamada potencial elétrico (ou simplesmente potencial) e representada pela letra V: Observe que o potencial elétrico é uma grandeza escalar. Carga de teste Para um deslocamento da partícula de teste de um ponto inicial até um ponto final, teremos (estamos dividindo a equação conhecida pela carga de teste): Logo, a diferença de potencial entre dois pontos (potencial de i em relação a f) é dada por: É o negativo do trabalho realizado pela força eletrostática para deslocar uma carga de um ponto para outro. De acordo com a equação que define o potencial elétrico, se tomarmos U = 0 no infinito como configuração inicial, o potencial elétrico V também será nulo no infinito. Neste caso, uma vez que podemos definir o potencial elétrico em qualquer ponto do espaço através da relação: 𝑊∞ é o trabalho executado pelo campo elétrico sobre uma partícula carregada quando esta se desloca do infinito para o ponto final f. De acordo com o sistema internacional de unidades, a unidade de potencial elétrico é o Joule por Coulomb: Em homenagem ao italiano e pesquisador experimental da eletricidade Alessandro Volta (1745 – 1827), do J/C foi definido como volt: Essa nova unidade permite adotar uma unidade mais conveniente para o campo elétrico, que até agora vem sendo expresso em Newtons por Coulomb: 𝑊 = 𝑞. ∆𝑉 𝑊 = 𝐹. 𝑑 Podemos definir também uma unidade de energia que é conveniente no caso da medida da energia de sistemas de dimensões atômicas e subatômicas: eV. Energia igual ao trabalho necessário para deslocar uma carga elementar através de uma diferença de potencial de 1 V. Trabalho realizado por uma força aplicada Vamos supor agora que uma partícula de carga q seja transportada de um ponto i para um ponto f, na presença de um campo elétrico, através da aplicação de uma força. Essa força aplicada realiza um trabalho 𝑊𝑎𝑝 sobre a carga, enquanto o campo elétrico realiza um trabalho W sobre a mesma carga. De acordo com o teorema do trabalho e energia cinética: Suponha que a partícula esteja parada antes e depois do deslocamento. Nesse caso: Dessa forma: Isso significa que se a energia cinética da partícula é a mesma antes e depois de um deslocamento, o trabalho realizado pela força aplicada durante o deslocamento é igual ao negativo do trabalho realizado pelo campo elétrico. Podemos então relacionar o trabalho da força aplicada à variação da energia potencial da partícula durante o deslocamento: Além disso, podemos relacionar o trabalho da força aplicada à diferença de potencial elétrico entre as posições inicial e final da partícula: O trabalho da força aplicada pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal e do valor absoluto de q e ∆V. Superfícies equipotenciais As linhas de campo auxiliam na visualização de um campo elétrico. De modo análogo, os potenciais em diversos pontos de um campo elétrico podem ser representados graficamente por superfícies equipotenciais. Uma superfície equipotencial é uma superfície em três dimensões, sobre a qual o potencial elétrico V permanece constante em todos os seus pontos. Quando uma carga de teste se desloca de um ponto a outro sobre essa superfície, a energia potencial elétrica U = qV permanece constante. Como a energia potencial não varia quando uma carga de teste se desloca ao longo de uma superfície equipotencial, o campo elétrico não pode realizar trabalho sobre essa carga (W = 0): = 0 Isso indica que o campo E deve ser perpendicular à superfície em todos os seus pontos, de modo que a força será sempre perpendicular ao deslocamento de uma carga que se move sobre a superfície. As linhas de campo elétrico e as superfícies equipotenciais são sempre mutuamente perpendiculares. As superfícies equipotenciais foram desenhadas de modo que mantenham constante a diferença de potencial entre duas superfícies adjacentes. Em regiões onde o campo 𝐸 é grande, as superfícies equipotenciais ficam agrupadas mais compactamente. Atenção: o campo elétrico não precisa ser constante sobre uma superfície equipotencial. Cálculo do potencial a partir do campo elétrico É possível calcular a diferença de potencial entre dois ponto i e f em uma região do espaço onde existe um campo elétrico se o vetor campo elétrico for conhecido em todos os pontos de qualquer trajetória que ligue esses pontos. Considere um campo elétrico qualquer como representado pelas linhas de campo da figura ao lado e uma carga de prova positiva que se move do ponto i para o ponto f percorrendo a trajetória mostrada na figura. Em todos os pontos da trajetória uma força eletrostática 𝑞0𝐸 age sobre a carga enquanto ela sofre um deslocamento elementar 𝑑𝑠 . Como vimos anteriormente, o trabalho elementar dW realizado sobre uma partícula por uma força durante um deslocamento 𝑑𝑠 é dado por: Para determinar o trabalho total realizado pelo campo somamos, por integração, os trabalhos elementares realizados sobre a carga quando esta sofre todos os deslocamentos 𝑑𝑠 de que é composta a trajetória: Lembrando que: Teremos: A diferença de potencial entre dois pontos i e f na presença de um campo elétrico é igual ao negativo da integral de linha (integral ao longo de uma trajetória) de do ponto i até o ponto f. Se escolhermos o potencial 𝑉𝑖 do ponto i como sendo zero, encontraremos: Essa eq. pode ser usada para calcular o potencial em qualquer ponto f em relação ao potencial i, tomado como sendo zero. Se o ponto i está no infinito, a eq. nos fornece o potencial V em qualquer ponto f em relação ao potencial no infinito, tomado como sendo zero. Exemplo 1: determinação da diferença de potencial a partir do campo elétrico Fig. 24-5 a Resolução do item (a) do exemplo 1: Deslocando a carga de prova do ponto i ao ponto f na trajetória mostrada na figura, notamos que o deslocamento elementar 𝑑𝑠 tem sempre a mesma orientação do campo 𝐸. Dessa forma: Neste caso, de acordo com a expressão encontrada anteriormente: Como o campo é uniforme: O sinal negativo mostra que o potencial no ponto f é menor que o potencial no ponto i. Resolução do item (b) do exemplo 1: A idéia-chave do item (a) também se aplica neste caso, mas agora estamos deslocando a carga ao longo de uma trajetória formada por dois segmentos de reta, ic e cf. Dessa forma, teremos: Em todos os pontos do segmento ic o deslocamento 𝑑𝑠 é perpendicular a 𝐸. No caso do segmento cf, temos θ = 45º, logo: A integral nessa equação é simplesmente o comprimento do segmento cf. De acordo com a figura, esse comprimento é dado por: Dessa forma: O resultado é igual ao obtido no item (a), mostrando que a diferença de potencial entre dois pontos não depende da trajetória usada para o cálculo. Potencial produzido por uma carga pontual Vamos agora obter a expressão para o potencial elétrico V criado por uma carga pontual, tomando como referência um potencial zero no infinito. Para utilizar a equação que fornece o potencial elétrico, imaginemosque uma carga de prova 𝒒𝟎 é deslocada do infinito até o ponto P. Como a trajetória é irrelevante, podemos escolher a mais simples: uma reta que liga o ponto P à partícula e se estende até o infinito. O campo elétrico é radial e aponta para longe da partícula fixa; assim, 𝑑𝑠 tem a mesma direção que 𝐸. Logo: Como a trajetória é radial, podemos fazer Lembrando que 𝑉𝑖 ∞ = 0. Neste caso, podemos escrever a expressão para o potencial elétrico como sendo: O campo E no ponto onde se encontra a carga de prova é dado pela lei de Coulomb: Com as substituições a equação se torna: Lembrando que: Explicitando V e substituindo R por r, temos: Potencial elétrico V produzido por uma partícula de carga q a uma distância r da partícula. Embora a equação anterior tenha sido demonstrada para uma partícula de carga positiva, a demonstração vale também para uma partícula de carga negativa. Observe que o sinal de V é igual ao sinal de q: Uma partícula de carga positiva produz um potencial elétrico positivo; uma partícula de carga negativa produz um potencial elétrico negativo. Potencial produzido por um grupo de cargas pontuais Podemos calcular o potencial produzido em um certo ponto por um grupo de cargas pontuais com a ajuda do princípio da superposição. Dado o potencial elétrico produzido por uma única carga Devemos calcular separadamente os potenciais produzidos pelas cargas no ponto especificado e somamos os potenciais. 𝒒𝒊 é a carga de ordem i e 𝑟𝑖 é a distância radial entre o ponto dado e a carga de ordem i. No caso de n cargas, o potencial é dado por: O somatório é uma soma algébrica. Essa é uma vantagem importante do potencial em relação ao campo elétrico, já que é mais fácil somar escalares do que vetores. Exemplo 2: potencial total de várias partículas carregadas Fig. 24-8 a Resolução do exemplo 2: O potencial elétrico V no ponto P é a soma algébrica dos potenciais elétricos produzidos pelas quatro cargas. Como o potencial é um escalar, as orientações das cargas são irrelevantes. Potencial produzido por uma distribuição contínua de cargas Quando a distribuição de cargas é contínua não podemos usar o somatório para calcular o potencial no ponto P. Em vez disso, devemos escolher um elemento de carga dq, calcular o potencial dV produzido por dq no ponto P e integrar para toda a distribuição de carga. Vamos tomar novamente o potencial no infinito como sendo nulo. Tratando o elemento de carga como uma carga pontual, podemos expressar o potencial dV no ponto P devido a dq como: Onde r é a distância entre P e dq. Para calcular o potencial total, integramos para todos os elementos de carga: Potencial elétrico - Linhas de cargas Barra fina não-condutora de comprimento L e que possui uma densidade linear de cargas λ. Vamos determinar o potencial elétrico V produzido pela barra no ponto P, situado a uma distância perpendicular d da extremidade esquerda da barra. Começamos por considerar um elemento de comprimento dx da barra. A carga desse elemento é dada por: Esse elemento produz um potencial dV no ponto P, que está à seguinte distância r: Tratando o elemento como uma carga pontual, podemos escrever: Tomamos como referência V = 0 no infinito. Sabendo que: Para calcular o potencial total produzido pela barra no ponto P devemos integrar a equação anterior ao logo de toda a barra, de x = 0 a x = L: Teremos: Potencial elétrico – Disco carregado Considere o disco não-condutor de raio R e densidade superficial de cargas uniforme σ em uma das superfícies. Vamos obter a expressão para o potencial em um ponto qualquer do eixo central. Considere um elemento de área constituído por um anel de raio R’ e largura radial dR’. A carga desse elemento é dada por: Elemento de área do anel. Como o ponto P está sobre o eixo central, todas as partes do elemento de carga estão à mesma distância r do ponto A contribuição do anel para o potencial no ponto P será: Para calcular o potencial total somamos, por integração, as contribuições de todos os anéis, de R’ = 0 a R’ = R: Observe que a variável de integração é R’ e não z (que permanece constante). Cálculo do campo elétrico a partir do potencial Nos tópicos anteriores vimos como calcular o potencial em um ponto f a partir do conhecimento do valor do campo elétrico ao longo da trajetória de um ponto de referência até o ponto f. Agora vamos calcular o campo elétrico a partir do potencial. Graficamente: fácil resolução. Se conhecermos o potencial V para todos os pontos nas vizinhanças de uma distribuição de cargas, podemos desenhar uma família de superfícies equipotenciais. As linhas de campo elétrico desenhadas perpendicularmente a essas superfícies, revelam a variação de 𝐸. Vamos buscar um método matemático equivalente a esse processo gráfico! A figura ao lado mostra seções retas de uma família de superfícies equipotenciais muito próximas umas das outras; a diferença de potencial entre duas superfícies adjacentes é dV. O campo elétrico em qualquer ponto P é perpendicular à superfície equipotencial que passa por P. Suponha que a carga de prova sofra um deslocamento de uma superfície equipotencial para a superfície vizinha. O trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga durante o deslocamento é dado por: O trabalho também pode ser escrito como: Igualando as duas expressões para o trabalho: Pela figura é possível notar que Ecosθ é a componente de 𝐸 na direção de 𝑑𝑠 . Logo: Substituímos o símbolo da derivada por uma derivada parcial para ressaltar o fato de que essa equação envolve apenas a variação de V ao longo d eum certo eixo (que chamamos de eixo s) e apenas a componente de 𝐸 ao longo desse eixo. A componente de 𝐸 em qualquer direção do espaço é o negativo da taxa de variação do potencial elétrico com a distância nessa direção. Tomando o eixo s como sendo, sucessivamente, os eixos x, y e z, teremos: Assim, se conhecermos V para todos os pontos nas vizinhanças de uma distribuição de cargas, ou seja, se conhecermos V(x,y,z), podemos obter as componentes de E e portanto, o próprio 𝐸. Exemplo 3 – cálculo do campo a partir do potencial Resolução do Exemplo 3 Estamos interessados em calcular o campo elétrico 𝑬 em função da distância z ao longo do eixo do disco. Para qualquer valor de z, o campo elétrico deve apontar ao longo do eixo do disco, já que disco possui simetria circular em relação a esse eixo. Dessa forma, teremos: Essa foi a mesma resposta obtida por integração como fizemos na aula 2. Exercícios – lista 3 1) O campo elétrico em uma certa região do espaço tem componentes 𝐸𝑦 = 𝐸𝑧 = 0 e 𝐸𝑥 = 4,00 𝑁 𝐶 𝑥 . O ponto A está sobre o eixo y em y = 3,00 m e o ponto B está sobre o eixo x em x = 4,00 m. Qual é a diferença de potencial 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 ? Bons estudos!
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