Aula_5_Exercicios_LeiGauss

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Profª Drª Simone F. Souza 
 
 
Aula 4 
Exercícios – Lei de Gauss 
Exercício 1) A figura abaixo mostra duas cascas esféricas não condutoras mantidas 
ficas no lugar. A casca 1 possui uma densidade superficial de cargas uniformes de +6,0 
µC/m² na superfície externa e um raio de 3,0 cm; a casca 2 possui uma densidade 
superficial de cargas uniforme de +4,0 µC/m² na superfície externa e raio de 2,0 cm; os 
centros das cascas estão separados por uma distância L = 10 cm. Em termos dos vetores 
unitários, qual é o campo elétrico no ponto x = 2,0 cm? 
L 
Casca 1 
Casca 2 
x 
Resolução do exercício 1 
De acordo com o enunciado: 
L=10 cm 
Casca 1 
Casca 2 
x 
x=2,0 cm 
. 
Para verificar a contribuição devido à 
casca 1 vamos aplicar a lei de Gauss 
usando uma superfície gaussiana 
esférica no ponto de interesse (em 
amarelo), ou seja, com raio: 
Neste caso, teremos: 
Notamos então, que a casca 1 não contribuirá com o campo 
elétrico no ponto de interesse. 
L=10 cm 
Casca 1 
Casca 2 
x 
x=2,0 cm 
. 
Para verificar a contribuição da casca 2 
vamos aplicar a lei de Gauss usando uma 
superfície gaussiana esférica como 
mostrado em amarelo na figura ao lado. 
O campo elétrico é radial e possui o 
mesmo valor sobre a superfície da 
gaussiana (o elemento de área também 
é radial). Logo: 
A integral dos elementos de área nos fornece: 
Lembrando que: 
Teremos: 
No ponto x = 2,0 cm, o campo devido à casca 2 é radial e está saindo da casca 
(densidade de cargas positiva). Portanto, o campo está na direção x, no sentido 
negativo: 
Substituindo os valores... 
L=10 cm 
Casca 1 
Casca 2 
x 
x=2,0 cm 
. 
Teremos: 
L=10 cm 
Casca 1 
Casca 2 
x 
x=2,0 cm 
. 
Exercício 2) Um condutor isolado de forma arbitrária possui uma carga de +10 µC. 
No interior do condutor existe uma cavidade; no interior da cavidade está uma carga 
pontual q = +3,0 µC. Determine a carga (a) da superfície da cavidade; (b) da superfície 
externa do condutor. 
q q 
(a) Primeiramente, vamos considerar uma 
gaussiana (em verde) dentro do condutor, que 
engloba a cavidade. 
q q 
Resolução do exercício 2 
Neste ponto, é importante lembrar que toda a 
carga em excesso que é introduzida em 
um condutor se concentra na superfície 
deste, o interior do condutor continua a ser 
neutro (equilíbrio eletrostático). Neste caso, 
teremos que o campo no interior do condutor é 
nulo: 
Todavia, pela lei de Gauss temos: 
Se o campo é nulo, a carga envolvida pela gaussiana deve 
ser nula! 
q q 
A carga envolvida pela gaussiana, neste caso, é 
dada pela soma da carga no interior da 
cavidade com a carga na superfície da 
cavidade. Logo: 
Deve existir uma carga –q distribuída pela superfície da 
cavidade, atraída pela carga q existente em seu interior. 
q q 
(b) A carga líquida do condutor (que foi 
fornecida no enunciado do problema) é a soma 
da carga na parede da cavidade com a carga 
na superfície externa do condutor, logo: 
O que aconteceria se não existisse a carga q no interior da cavidade? 
Dessa forma: 
Substituindo os dados fornecidos: 
Exercício 3) A figura abaixo é uma seção de uma barra condutora de raio 𝑅1 = 1,30 𝑚𝑚 
e comprimento L =11,00 m no interior de uma casca coaxial, de paredes finas, de raio 
𝑅2 = 10𝑅1 e mesmo comprimento L. A carga da barra é 𝑄1 = +3,4 pC; a carga da casca é 
𝑄2 = −2,00𝑄1 . Determine (a) o módulo E e (b) a direção (para dentro ou para fora) do 
campo elétrico a uma distância radial r = 2,00𝑅2. Determine (c) E e (d) a direção do 
campo elétrico para r = 5,00𝑅1 . Determine a carga (e) na superfície interna e (f) na 
superfície externa da casca. 
Resolução do exercício 3 
Vamos assumir que a densidade de carga nos dois 
condutores é uniforme e vamos negligenciar os efeitos de 
borda. 
Como fizemos nos exemplos da aula passada, podemos 
usar simetria para mostrar que o campo elétrico é radial. 
Lembre-se que: o campo elétrico é nulo dentro da barra 
condutora e da casca coaxial condutora. 
(a) Vamos considerar uma superfície gaussiana S₁ cilíndrica de comprimento L, coaxial 
com os cilindros dados no problema e com um raio r=2,00R₂. O fluxo através dessa 
superfície gaussiana é dado por: 
𝑆1 
Visto que o campo para os cilindros é radial (bem como os 
elementos de área), teremos: 
Aqui assumimos que o campo está no mesmo sentido do 
elemento de área, mas poderíamos ter assumido o 
contrário. 
O campo elétrico é o mesmo sobre toda a superfície 
gaussiana S₁, logo: 
𝑆1 
A lei de Gauss nos diz que: 
A carga envolvida pela superfície gaussiana S₁ é dada pela soma 
das cargas da barra e da casca: 
Logo: 
De acordo com o enunciado: 
𝑆1 
Substituindo os dados na equação do campo elétrico: 
(b) Como o sinal de E é negativo significa que o campo aponta para dentro dos 
cilindros. 
(c) Vamos considerar uma superfície gaussiana S₂ 
cilíndrica de comprimento L, coaxial com os cilindros 
dados no problema e com um raio r=5,00R₁, ou seja, 
uma gaussiana que está entre a barra e a casca. O 
fluxo através dessa superfície gaussiana é dado por: 
Visto que o campo para os cilindros é radial (bem como os 
elementos de área), teremos: 
𝑆1 
O campo elétrico é o mesmo sobre toda a superfície gaussiana 
S₂, logo: 
A lei de Gauss afirma que: 
A carga envolvida pela superfície gaussiana S₂ é somente 
aquela encontrada na barra: 
𝑆1 
Substituindo os dados: 
Logo: 
(d) Como o sinal de E é positivo significa que o campo aponta para fora da barra 
condutora. 
(e) Para encontrar a carga na superfície interna da casca vamos considerar uma 
superfície gaussiana S₃ cilíndrica dentro da casca condutora coaxial. 
 O campo elétrico é nulo em todos os pontos da 
superfície gaussiana S₃, visto que qualquer campo 
dentro de um material condutor levaria ao fluxo de 
corrente (e portanto a uma situação diferente das 
eletrostáticas que estão sendo consideradas). 
O fluxo total de eletricidade através da superfície 
gaussiana é zero e a carga líquida dentro dela é zero 
(pela lei de Gauss): 
Todavia, a barra central tem carga Q₁, logo a soma da carga na superfície interna da 
casca com a carga da barra deve ser nula: 
(f) De acordo com o enunciado do problema a carga total da casca cilíndrica é dada por: 
A carga total deve ser igual a soma da carga na superfície externa com a carga na 
superfície interna. Dessa forma: 
A carga na superfície externa será dada por: 
Exercício 4) Um cilindro maciço, longo, não-condutor, com 4,0 cm de raio, 
possui uma densidade volumétrica de cargas não-uniforme ρ que é função da 
distância radial r a partir do eixo do cilindro: ρ = Ar². Para A = 2,5 μC/m⁵, 
determine o módulo do campo elétrico (a) para r = 3,0 cm; (b) para r = 5,0 
cm. 
Resolução do exercício 4 
Para calcular o campo usando a lei de Gauss, nós utilizaremos uma superfície 
gaussiana cilíndrica de área: 
onde L é muito grande (o bastante para que possamos desprezar os efeitos 
de bordas). 
O volume da superfície cilíndrica é dada por: 
Estamos lidando com uma situação onde a densidade volumétrica de cargas 
não é uniforme ao longo do cilindro, logo, devemos calcular o valor da 
carga que será envolvida por cada superfície gaussiana. Para tanto, 
devemos encontrar o diferencial de volume para a dada superfície e 
relacioná-lo com a densidade: 
Integrando ao longo do raio de uma superfície cilíndrica de raio r, teremos: 
(a) Considerando uma gaussiana cilíndrica com raio r = 3,0 cm, teremos, a 
partir da lei de Gauss: 
Substituindoos dados: 
(b) Para r = 5,00 cm (fora do cilindro maciço0, teremos: 
Substituindo os dados: 
sendo R = 4,0 cm o valor do raio do 
cilindro maciço. 
Considerando uma gaussiana cilíndrica com raio r=5,0 cm, teremos, a partir 
da lei de Gauss: 
Exercício 5) Na figura abaixo, uma pequena esfera não-condutora de massa 
m=1,0 mg e carga q=2,0×10⁻⁸ C (distribuída uniformemente em todo o 
volume) está pendurada em um fio não condutor que faz um ângulo θ=30° 
com uma placa vertical, não-condutora, uniformemente carregada (vista de 
perfil). Considerando a força gravitacional a que a esfera está submetida e 
supondo que a placa possui uma grande extensão, calcule a densidade 
superficial de cargas σ da placa. 
Resolução do exercício 5 
As forças que atuam sobre a bola estão mostradas 
no diagrama. 
A tensão no fio não-condutor é denotada pela 
letra T. 
O campo elétrico produzido pela placa é normal ao 
plano e aponta para a direita (saindo da placa 
positiva). 
Uma vez que a bola está positivamente carregada, a força elétrica 
nesta bola também aponta para a direita. 
Uma vez que a bola está em equilíbrio, a força 
resultante sobre ela deve ser nula. Logo: 
Isolando T na primeira equação 
e substituindo o resultado na segunda: 
O campo E especificado na expressão anterior é aquele produzido pela 
placa não-condutora. 
Dessa forma, podemos igualar os resultados: 
Vamos então calcular o campo produzido pela 
placa neste ponto. Usando uma superfície 
cilíndrica, tal como na figura, teremos: 
A densidade superficial de carga será dada por: 
Substituindo os dados: 
Exercício 6) A figura abaixo mostra, em seção reta, duas esferas de raio R, 
com distribuições volumétricas uniformes de cargas. O ponto P está sobre a 
reta que liga os centros das esferas a uma distância R/2,00 do centro da 
esfera 1. Se o campo elétrico no ponto P é zero, qual é a razão q₂/q₁ entre a 
carga da esfera 2 e a carga da esfera 1? 
Resolução do exercício 6 
O campo elétrico produzido pelas esferas é 
radial (assim como os elementos de área) 
e este campo é o mesmo sobre toda a 
superfície gaussiana. Dessa forma: 
Vamos calcular o campo elétrico no ponto P usando a lei de Gauss. Para 
isso consideremos uma superfície gaussiana S₁ esférica de raio r passando 
sobre o ponto P e centrada na esfera 1: 
Calculando a carga envolvida pela superfície S₁... 
Dessa forma, podemos concluir que o campo elétrico em um ponto r dentro 
da esfera 1 será dado por: 
Visto que a distribuição de carga na esfera 1 é uniforme, teremos que a 
carga envolvida pela superfície gaussiana será dada por: 
No ponto P: 
O campo elétrico devido a esfera 2 em um ponto fora da esfera é dado por: 
Dessa forma, o campo no ponto P devido à esfera 2 é dado por: 
O ponto P está a seguinte distância do centro da esfera 2: 
Dessa forma, a razão entre as cargas é dada por: 
De acordo com o enunciado do problema, o campo elétrico no ponto P é 
nulo. Diante disso, concluímos que os módulos dos campos devem ser iguais 
(e os campos devem ter sentidos opostos): 
Exercício 7) Na figura abaixo uma esfera maciça de raio a=2,00 cm é 
concêntrica com uma casca esférica condutora de raio interno b=2,00a e raio 
externo c=2,40a. A esfera possui uma carga uniforme q₁=+5,00 fC e a casca 
possui uma carga q₂=-q₁. Determine o módulo do campo elétrico (a) em 
r=0; (b) em r=a/2,00; (c) em r=a; (d) em r=1,5a; (e) em r=2,30a; (f) em 
r=3,50a. Determine a carga (g) na superfície interna e (h) na superfície 
externa da casca. 
Resolução do exercício 7 
Em todos os pontos onde há um campo elétrico, este é radialmente para 
fora. Para cada parte do problema, nós usaremos uma superfície gaussiana 
esférica concêntrica com a esfera carregada e passando através do ponto 
onde o campo deve ser encontrado. O campo é uniforme na superfície 
gaussiana, tal que: 
r é o raio da superfície gaussiana. 
 Para : 
A carga envolvida pela superfície gaussiana 
será dada por: 
Dessa forma, de acordo com a lei de Gauss: 
Com este resultado podemos responder aos itens (a), (b) e (c)! 
Dessa forma, pela lei de Gauss: 
 Para os casos onde o raio da gaussiana é do tipo: 
Teremos que a carga envolvida por essa gaussiana será igual a carga da 
esfera maciça: 
 Na região: 
O ponto estará dentro da casca condutora. Sabemos que, neste caso, o 
campo elétrico na região é igual a zero. Dessa forma, para r=2,3a 
teremos E=0. 
(e) Dessa forma, para 
 Na região: 
(f) Teremos que a carga líquida total envolvida pela gaussiana é nula, visto 
que: 
De acordo com a lei de Gauss: 
(g) Para calcular a carga na superfície interna da casca, vamos 
considerar uma superfície gaussiana dentro da casca. Para esta configuração, 
sabemos que E = 0, dessa forma, a lei de Gauss nos fornece que: 
(h) Seja 𝑞𝑒𝑥𝑡 a carga na superfície externa a casca esférica. Uma vez 
que a carga líquida sobre a casca esférica é dada por 
teremos 
Bons estudos!!! ;-)