Gabarito Lista5

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Microeconomia II - Gabarito Lista 5 - Oligopo´lio
Tiago Ferraz
17 de novembro de 2015
1. Vamos resolver a forma geral, depois e´ so´ substituir os dados do enunciado.
(a) O problema da firma i e´
max
qi
a− b
qi + N∑
j 6=i
qj
− c
 qi = max
qi
a− c− b N∑
j 6=i
qj
 qi − bq2i
CPO : a− c− b
N∑
j 6=i
qj − 2bqi = 0⇒ qi = a− c
2b
−
∑N
j 6=i qj
2
Esta e´ a curva de reac¸a˜o da firma i. Por simetria, sabemos que
∑N
j 6=i qj = (N−1)qi. Portanto,
qi =
(a− c)
2b
− (N − 1)
2
qi ⇒ qi
(
1 +
N − 1
2
)
=
(a− c)
2b
⇒ qi
(
N + 1
�2
)
=
(a− c)
�2b
q∗i =
(a− c)
(N + 1)b
Substituindo na demanda inversa
p∗ = a− bQ∗ = a− bN
(
(a− c)
b(N + 1)
)
⇒ p∗ = a
N + 1
+
Nc
N + 1
Basta substituir os valores do enunciado
q∗i =
53− 5
N + 1
⇒ q∗i =
48
N + 1
p∗ =
53 + 5N
N + 1
Tomando o limite quando n→∞
lim
N→∞
53 + 5N
N + 1
L′Hospital
= 5
Ou seja, quando o nu´mero de firmas e´ suficientemente grande, p∗ = CMg.
1
(b) No caso do cartel, basta resolver o problema de uma firma u´nica
max
Q
(a− bQ− c)Q = max
Q
(a− c)Q− bQ2
CPO : a− c− 2bQ = 0⇒ Q∗ = a− c
2b
Substituindo na demanda inversa
p∗ = a− bQ∗ = a− �b (a− b)
2�b
=
a+ c
2
O lucro do cartel sera´
pi∗ = (a− c)Q∗ − bQ∗2 = (a− c) (a− c)
2b
− �b
(
a− c
2b
)2
⇒ pi∗ = (a− c)
2
4b
Novamente, usando os dados do enunciado
Q∗ =
53− 5
2
= 24
p∗ =
53 + 5
2
= 29
pi∗ =
482
4
= 576
(c) No modelo de Stackelberg, comec¸amos resolvendo o problema da seguidora (backward in-
duction). Seja qs a quantidade produzida pela seguidora e ql a quantidade produzida pela
l´ıder.
max
qs
(a− c− b(qs + ql)) qs = max
qs
(a− c− bql)qs − bq2s
CPO : a− c− bql − qbqs = 0⇒ qs = a− c
2b
− ql
2
Esta e´ a curva de reac¸a˜o da seguidora, que e´ conhecida pela l´ıder. Portanto, o problema da
firma l´ıder e´
max
ql
(a− c− b(ql + qs))ql = max
ql
[
a− c− b
(
a− c
2b
− ql
2
)]
ql − bq2l
max
ql
(
a− c
2
)
ql − bq
2
l
2
CPO :
a− c
2
− bql = 0⇒ q∗l =
a− c
2b
Substituindo em qs temos
2
qs =
a− c
2b
− a− c
4b
⇒ q∗s =
a− c
4b
Portanto,
Q∗ = q∗l + q
∗
s =
a− c
2b
+
a− c
4b
⇒ Q∗ = 3(a− c)
4b
p∗ = a− bQ∗ = a− �b3(a− c)
4�b
⇒ p∗ = a+ 3c
4
Agora, basta substituir os dados do enunciado
q∗l =
53− 5
2
= 24
q∗s =
53− 5
4
= 12
Q∗ = 24 + 12 = 36
p∗ =
53 + 15
4
= 17
E o lucro de cada firma e´
pi∗l = (p− c)q∗l = (17− 5)24 = 288
pi∗s = (p− c)q∗s = (17− 5)12 = 144
2. (a) Como ambas as firmas teˆm a mesma estrutura de custos, sabemos que o problema sime´trico
nos dara´ a mesma soluc¸a˜o para cada uma. Vamos resolver apenas o problema para a firma 1,
pois o da outra sera´ igual.
max
y1
(5400− y1 − y2)y1 − 1
2
y21
CPO : 5400− y2 − 3y1 = 0⇒ y1 = 1800− y2
3
Por simetria, sabemos que a curva de reac¸a˜o da firma 2 sera´
y2 = 1800− y1
3
Basta resolver o sistema. Vamos substituir y2 em y1
y1 = 1800− 1
3
(
1800− y1
3
)
= 1800− 600 + 1
9
y1
8
9
y1 = 1200⇒ y∗1 =
1200 ∗ 9
8
⇒ y∗1 = y∗2 = 1350
3
Os lucros das firmas sera˜o
picn1 = pi
cn
2 = (5400− y∗1 − y∗2)y∗1 −
y∗21
2
= (5400− 2.1350)1350− 1350
2
2
=
3
2
(1350)2
(b) Basta resolver o problema
max
y1,y2
(5400− y1 − y2)(y1 + y2)− 1
2
(y21 + y
2
2)
CPO :
{
(y1) : 5400− 2y1 − y2 − y2 − y1 = 0
(y2) : 5400− 2y2 − y1 − y1 − y2 = 0
y1 = 1800− 2
3
y2
y2 = 1800− 2
3
y1
Novamente, basta resolver o sistema
y1 = 1800− 1200 + 4
9
y1 ⇒ 5
9
y1 = 600⇒ y1 = 9 ∗ 600
5
⇒ y∗1 = y∗2 = 1080
Note que neste caso, o lucro de cada firma sera´
picti = (5400− y∗1 − y∗2)y∗1 −
1
2
y∗21 = 3240 ∗ 1080−
1
2
10802 = 3 ∗ 10802 − 1
2
10802
picti =
5
2
(1080)2
(c) Basta substituir o valor encontrado no item anterior nas condic¸o˜es de primeira ordem do item
(a):
∂pi1
∂y1
(y∗1 , y
∗
2) = 5400− y∗2 − 3y∗1 = 5400− 3 ∗ 1080 = 2160
∂pi2
∂y2
(y∗1 , y
∗
2) = 5400− y∗1 − 3y∗2 = 5400− 3 ∗ 1080 = 2160
A interpretac¸a˜o e´ que cada firma, individualmente, tem um incentivo a produzir mais, pois o
seu lucro e´ crescente com y1. O problema e´ que cada unidade produzida por uma firma reduz
o lucro da outra.
(d) Neste caso, queremos saber qual o payoff que uma firma obte´m se decidir desviar da soluc¸a˜o
de cartel. Usando o resultado anterior, basta substituir y∗2 e resolver para y
∗
1
∂pi1
∂y1
(y∗2) = 0⇒ 5400− 1080− 3y1 = 0⇒ y1 =
4320
3
⇒ y∗1 = 1440
4
Pela simetria do problema, sabemos que
∂pi2
∂y2
(y∗1) = 0⇒ y∗2 = 1440
O lucro de cada firma seria
pid1 = pi
d
2 = (5400−y1−y2)y1−
1
2
y22 = (5400−1440−1080)1440−
1
2
14402 = 2880∗1440− 1
2
14402
pid1 = pi
d
2 =
3
2
(1440)2
(e) Enquanto as firmas estiverem cooperando, cada uma recebera´ o lucro de cartel, cujo valor
presente e´
∞∑
t=0
δtpicti (t) =
1
1− δ .
5
2
(1080)2
Por outro lado, se a firma desviar da cooperac¸a˜o, ela ira´ receber em um u´nico per´ıodo o payoff
do desvio e em todos os per´ıodos seguintes o lucro de Cournot. Assim, o valor presente do
desvio sera´
pidi +
∞∑
t=1
picni (t) =
3
2
(1440)2 +
δ
1− δ .
3
2
(1350)2
Para que o cartel seja sustenta´vel e´ preciso que o valor presente da cooperac¸a˜o seja na˜o inferior
ao do desvio
∞∑
t=0
δtpicti (t) ≥ pidi +
∞∑
t=1
picni (t)⇒
1
1− δ .
5
�2
(1080)2 ≥ 3
�2
(1440)2 +
δ
1− δ .
3
�2
(1350)2
5(1080)2 ≥ 3(1440)2(1− δ) + 3(13502)δ ⇒ δ(14402 − 13502) ≥ 14402 − 5
3
(1080)2
δ ≥ 1440
2 − 5310802
14402 − 13502 ⇒ δ ≥ 0, 5161
3. (a) As curvas de reac¸a˜o sa˜o dadas pelas condic¸o˜es de primeira ordem do problema de cada firma.
Para a firma 1
max
y1
(10− y1 − y2 − 2)y1
CPO : 8− y2 − 2y1 = 0⇒ y1 = 8− y2
2
Para a firma 2
max
y2
(10− y1 − y2 − 3)y1
5
CPO : 7− y1 − 2y2 = 0⇒ y2 = 7− y1
2
(b) Para encontrar as quantidades o´timas, basta resolver o sistema
y1 =
8− y2
2
y2 =
7− y1
2
Substituindo y2 em y1
y1 = 4− 7
4
+
y1
4
⇒ 3
4
y1 =
9
4
⇒ y∗1 = 3
y2 =
7− 3
2
⇒ y∗2 = 2
Substituindo na demanda inversa
P = 10− y∗1 − y∗2 = 10− 3− 2⇒ P ∗ = 5
Os lucros das firmas sera˜o
pi1 = (P − c)y∗1 = (5− 2)3⇒ pi∗1 = 9
pi2 = (P − c)y∗2 = (5− 3)2⇒ pi∗2 = 4
(c) O lucro conjunto pode ser expresso como
Π(y1, y2) = (10− y1 − y2)(y1 + y2)− 2y1 − 3y2
As derivadas pedidas sa˜o
∂pi2
∂y1
(y∗1 , y
∗
2) = −y∗2 = −2
∂pi1
∂y2
(y∗1 , y
∗
2) = −y∗1 = −3
Ambas as firmas geram uma externalidade negativa na concorrente. Isto significa que se cada
uma diminu´ısse a pro´pria produc¸a˜o, ambas estariam melhor.
∂Π
∂y1
(y∗1 , y
∗
2) = 8− 2(y∗2 + y∗1) = −2
∂Π
∂y2
(y∗1 , y
∗
2) = 7− 2(y∗1 + y∗2) = −3
Neste caso, ambas as firmas teˆm um incentivo a participar do cartel, pois diminuir a produc¸a˜o
ira´ aumentar o lucro conjunto.
6
4. (a) Agora, temos um caso de duopo´lio de Bertrand. A ideia geral e´ muito parecida, mas ao inve´s
de escolher quantidades, as firmas esta˜o escolhendo os prec¸os. O problema da firma 1 e´
max
p1
(p1 − c′1)(12− 2p1 + p2)
Note que como c1 = q1 e´ o custo total, o custo me´dio (e tambe´m o marginal) e´ c
′
1 = 1. Assim,
max
p1
(p1 − 1)(12− 2p1 + p2) = max
p1
12p1 − 2p21 + p1p2 − 12 + 2p1 − p2
max
p1
14p1 − 2p21 + p1p2 − p2 − 12
CPO : 14− 4p1 + p2 = 0⇒ p1 = 14 + p2
4
No caso da firma 2, o problema e´
max
p2
(p2 − 2)(12− 2p2 + p1) = max
p2
12p2 − 2p22 + p1p2 − 24 + 4p2 − 2p1
max
p2
16p2 − 2p22 + p1p2 − 2p1 − 24
CPO : 16− 4p2 + p1 = 0⇒ p2 = 16 + p1
4
(b) Para encontrar o equil´ıbrio basta resolver o sistema
p1 =
14 + p2
4
p2 =
16 + p1
4
Substituindo p2 em p1
p1 =
14 +
(
16 + p1
4
)
4
=
18
4
+
p1
16
⇒ 15
16
p1 =
18
4
⇒ p∗1 =
72
15
p2 =
16 + 7215
4
= 4 +
72
60
=
312
60
⇒ p∗2 =
78
15
Substituindo os valores de p1 e p2 nas curvas de demanda
q1 = 12− 272
15
+
78
15
⇒ q∗1 =
114
15
q2 = 12− 2 78
115
+
72
115
⇒ q∗2 =
96
15
Portanto, os lucros sera˜o
7
pi1 = p
∗
1q
∗
1 − c1 =
72 ∗ 114
152
− 114
15
⇒ pi∗1 =
722
25
pi2 = p
∗
2q
∗
2 − c2 =
78 ∗ 96
152
− 96
15
⇒ pi∗2 =
512
25
(c) Da mesma forma feita na questa˜o anterior, o lucro conjunto e´
Π(p1, p2) = pi1(p1, p2) + pi2(p1, p2) = 12p1 − 2p21 + 2p1p2 + 15p2 − 2p22 − 36
Calculando as derivadas cruzadas
∂pi2
∂p1
(p∗1, p
∗
2) = p
∗
2 =
78
115
∂pi1
∂p2
(p∗1, p
∗
2) = p
∗
1 =
72
115
O que estas derivadas nos dizem e´ que quando uma firma aumenta o prec¸o ela gera um im-
pacto positivo no lucro da outra.
Agora, calculando as derivadas do lucro conjunto
∂Π
∂p1
(p∗1, p
∗
2) = 12− 4p∗1 + 2p∗2 = 12− 4
72
115
+ 2
78
115
=
1248
115
∂Π
∂p2
(p∗1, p
∗
2) = 15− 4p∗2 + 2p∗1 = 15− 4
78
115
+ 2
72
115
=
1248
115
=
1557
15
Como ambas as derivadas sa˜o positivas, as firmas teˆm incentivo atuar conjuntamente de modo
a aumentar seus prec¸os.
5. Nesta questa˜o, basta lembrar a relac¸a˜o entre o fator de desconto intertemporal, δ, e a taxa de juros,
r:
δ =
1
1 + r
Sabemos que para que as firmas sejam indiferentes entre participar ou na˜o da coaliza˜o, existe um
valor de δ para o qual o valor presente do payoff de monopo´lio e´ igual ao do payoff de trair a
coalizac¸a˜o. Assim,
100
1
1− δ = 200 + 50
δ
1− δ ⇒
1
1− δ (100− 50δ) = 200⇒ 100− 50δ = 200(1− δ)⇒ 150δ = 100
δ =
100
150
⇒ δ = 2
3
Portanto, a taxa de juros que torna a firma indiferente entre participar ou na˜o da coaliza˜o e´
8
δ =
1
1 + r
⇒ 1 + r = 1
δ
⇒ r = 1
δ
− 1⇒ r = 3
2
− 1⇒ r = 1
2
= 50%
6. (a) No modelo de Stackelberg, comec¸amos resolvendo o problema da firma 2 (backward induction),
para encontrar a sua curva de reac¸a˜o.
max
y2
(100− y1 − y2)y2 − y22
CPO : 100− y1 − 4y2 = 0⇒ y2 = 100− y1
4
Como a firma 1 conhece a curva de reac¸a˜o da firma 2, ela incorpora esta informac¸a˜o ao seu
problema
max
y1
[
100− y1 −
(
100− y1
4
)]
y1 − 10y1 = max
y1
65y1 − 3
4
y21
CPO : 65− 3
2
y1 = 0⇒ y∗1 =
130
3
y2 = 25− 1
4
130
3
=
300− 130
12
⇒ y∗2 =
85
6
Assim, o prec¸o de mercado sera´
P = 100− (y∗1 + y∗2) = 100−
(
260 + 85
6
)
⇒ p∗ = 345
6
E os lucros
pi1 = (P − c1)y1 =
(
345
6
− 10
)
130
3
=
37050
18
⇒ pi∗1 = 2058, 33
pi2 = (P − c2)y2 =
(
345
6
− 85
6
)
85
6
=
22100
36
⇒ pi∗2 = 613, 89
(b) Da mesma forma, se a firma 1 for a seguidora, comec¸amos resolvendo o seu problema
max
y1
(100− y1 − y2)y1 − 10y1
CPO : 90− y2 − 2y1 = 0⇒ y1 = 90− y2
2
Usando a curva de reac¸a˜o da firma 1 no problema da firma 2
max
y2
[
100−
(
90− y2
2
)
− y2
]
y2 − y22 = max
y2
55y2 − 3
2
y22
9
CPO : 55− 3y2 = 0⇒ y∗2 =
55
3
Substituindo em y1
y1 = 45− 55
6
=
270− 55
6
⇒ y∗2 =
215
6
Substituindo na demanda inversa
P = 100− 110
6
− 215
6
⇒ P ∗ = 275
6
Portanto, os lucros sera˜o
pi1 = (P
∗ − c)y1 =
(
275
6
− 10
)
110
6
=
23650
36
⇒ pi∗1 = 656, 95
pi2 = (P
∗ − c)y2 =
(
275
6
− 215
6
)
215
6
=
12900
36
⇒ pi∗2 = 358, 33
10