Buscar

Gabarito Provinha 1

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 7 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 7 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Microeconomia II - 2015/2
Provinha 1
2 de setembro de 2015
1. (a) Como os treˆs indiv´ıduos teˆm a mesma utilidade, vamos comec¸ar resolvendo o problema para
o indiv´ıduo j. O problema deste indiv´ıduo e´:
max
cj1,c
j
2
ln cj1 +
1
1 + ρj
ln cj2 , s.t. c
j
1 +
1
1 + r
cj2 = m
j
1 +
1
1 + r
mj2
Repare que a restric¸a˜o orc¸amenta´ria deste indiv´ıduo e´ a restric¸a˜o intertemporal. O prec¸o do
consumo no per´ıodo 1 ja´ esta´ normalizado para 1, enquanto o prec¸o do consumo no per´ıodo
2 e´ dado por
1
1 + r
. Vamos escrever o lagrangeano, tirar as condic¸o˜es de primeira ordem,
calcular a TMS e substituir na restric¸a˜o orc¸amenta´ria.
L = ln cj1 +
1
1 + ρj
ln cj2 + λ
[
mj1 +
1
1 + r
mj2 − cj1 −
1
1 + r
cj2
]
∂L
∂c1
=
1
cj1
− λ = 0
∂L
∂cj2
=
1
1 + ρj
.
1
cj2
− λ
1 + r
= 0
Isolando λ:
1
cj1
=
1 + r
1 + ρj
.
1
cj2
⇒ cj1 =
1 + ρj
1 + r
cj2
Substituindo na restric¸a˜o orc¸amenta´ria:
1 + ρj
1 + r
cj2 +
1
1 + r
cj2 = m
j
1 +
1
1 + r
mj2
cj2(2 + ρ
j) = mj1(1 + r) +m
j
2
cj∗2 =
1 + r
2 + ρj
mj1 +
1
2 + ρj
mj2
cj∗2 =
1
2 + ρj
[
(1 + r)mj1 +m
j
2
]
cj∗1 =
1 + ρj
1 + r
cj∗2 =
1 + ρj
���1 + r
.
[
(���1 + r)
(2 + ρj)
mj1 +
1
2 + ρj
mj2
]
cj∗1 =
1 + ρj
2 + ρj
[
mj1 +
1
1 + r
mj2
]
Esta e´ a forma geral das demandas marshallianas. Basta agora substituir para cada indiv´ıduo:
1
cA∗1 =
1 +
1
2
2 +
1
2
[
3 +
1
1 + r
]
=
3
�2
5
�2
[
3 +
1
1 + r
]
=
9
5
+
3
5(1 + r)
cA∗2 =
1 + r
2 +
1
2
.3 +
1
2 +
1
2
.1 =
3(1 + r)
5
2
+
1
5
2
=
2
5
+
6
5
(1 + r)
cB∗1 =
1 +
1
4
2 +
1
4
[
1 +
3
1 + r
]
=
5
�4
9
�4
[
1 +
3
1 + r
]
=
5
9
+
5
3(1 + r)
cA∗2 =
(1 + r)
9
4
.1 +
1
9
4
.3 =
4
3
+
4
9
(1 + r)
cC∗1 =
1 + 1
2 + 1
[
2 +
2
1 + r
]
=
2
3
[
2 +
2
1 + r
]
=
4
3
+
4
3(1 + r)
cC∗2 =
1 + r
2 + 1
.2 +
1
2 + 1
.2 =
2
3
+
2
3
(1 + r)
(b) Lei de Walras: ”O valor do excesso de demanda agregada e´ zero, para qualquer vetor de
prec¸os”.
n∑
i=1
piZi = 0
Corola´rio: Numa economia com n mercados, se n−1 estiverem equilibrados, enta˜o o n-e´simo
tambe´m estara´. Para mostrar que a Lei de Walras vale para esta economia:
p1Z1(p) + p2Z2(p) = 0
1.
[
9
5
+
3
5(1 + r)
+
5
9
+
5
3(1 + r)
+
4
3
+
4
3(1 + r)
− 6
]
+
+
1
1 + r
[
2
5
+
6
5
(1 + r) +
4
3
+
4
9
(1 + r) +
2
3
+
2
3
(1 + r)− 6
]
9
5
+
5
9
+
4
3
+
6
5
+
4
9
+
2
3
− 6︸ ︷︷ ︸
0
+
1
1 + r
[
3
5
+
5
3
+
4
3
+
2
5
+
4
3
+
2
3
− 6
]
︸ ︷︷ ︸
0
= 0
(c) Para encontrar a taxa de juros de equil´ıbrio precisamos fazer o market-clearing. Como vale a
Lei de Walras, sabemos que basta resolver para um per´ıodo. Vamos fazer para o per´ıodo 1.
Resolvendo para o per´ıodo 2, o resultado e´ exatamente o mesmo.
p1 = 1 , Z1(p) = [c
A
1 + c
B
1 + c
C
1 −mA1 −mB1 −mC1 ]
9
5
+
5
9
+
4
3
+
1
1 + r
[
3
5
+
5
3
+
4
3
]
− 6 = 0
81 + 25 + 60
45
+
1
1 + r
9 + 25 + 20
15
= 6
2
54
15(1 + r)
= 6− 166
45
54
(1 + r)
= 90− 166
3
⇒ 54
(1 + r)
=
104
3
1 + r =
162
104
⇒ r ≈ 0, 56
(d) No problema de Pareto, o planejador central escolhe as quantidades de consumo para cada
indiv´ıduo, em cada per´ıodo, de modo a maximizar a utilidade de um deles, enquanto mante´m
constantes as utilidades dos demais e sujeito ainda a` restric¸a˜o de recursos da economia. Vamos
fazer para o indiv´ıduo A, mantendo constante a utilidade dos demais.
max
{cji ,cj2}
UA(cA1 , c
A
2 )
s.t.
UB(cB1 , c
B
2 ) ≥ U¯B
UC(cC1 , c
C
2 ) ≥ U¯C
cj1 +
1
1 + r
cj2 = m
j
1 +
1
1 + r
mj2
Para mostrar que a alocac¸a˜o de equil´ıbrio que encontramos e´ Pareto eficiente, basta calcular
as TMS’s de cada indiv´ıduo e aplicar as demandas marshallianas que encontramos no primeiro
item e ver que elas sa˜o iguais.
TMSA =
∂UA
∂cA1
∂UA
∂cA2
=
1
cA1
2
3cA2
=
3
2
cA2
cA1
=
3
2
[
2
5
+
6
5
(1 + r)
]
9
5
+
3
5
1
(1 + r)
= (1 + r)
TMSB =
∂UB
∂cB1
∂UB
∂cB2
=
1
cB1
4
5cB2
=
5
4
cB2
cB1
=
5
4
[
4
3
+
4
9
(1 + r)
]
5
9
+
5
3
1
(1 + r)
= (1 + r)
TMSA =
∂UC
∂cC1
∂UC
∂cC2
=
1
cC1
1
2cC2
= 2
cC2
cC1
= 2
[
2
3
+
2
3
(1 + r)
]
4
3
+
4
3
1
(1 + r)
= (1 + r)
Como as TMS’s dos treˆs indiv´ıduos sa˜o iguais, a alocac¸a˜o de equil´ıbrio e´ Pareto eficiente.
2. Para resolver esta questa˜o, precisamos lembrar de alguns conceitos importantes. Em primeiro
lugar, note que nesta economia existem 4 mercados: um mercado de produto (coco) e 3 mercados
de fatores (trabalho, corda e tecido). A soluc¸a˜o dos problemas das firmas nos da´ a demanda por
fatores, a oferta de corda e a oferta de coco, enquanto a soluc¸a˜o do problema do consumidor nos
da´ a demanda pelo bem de consumo e tambe´m a oferta de trabalho.
(a) Firma que produz corda: O problema desta firma e´ escolher as quantidades de produto,
3
x, e de insumo, k, que maximiza seu lucro sujeito a` tecnologia dada pela func¸a˜o de produc¸a˜o.
max
x,k
px.x− pk.k , s.t. x = k1/2
Como a restric¸a˜o e´ de igualdade, podemos substituir na func¸a˜o objetivo. Assim, este problema
e´ equivalente a
max
k
px.k
1/2 − pk.k
Lembre-se que ao resolver este problema vamos encontrar a demanda pelo fator k (tecido).
Por isto, na˜o faz sentido usar k = 20, que e´ a oferta(dotac¸a˜o) do insumo. So´ vamos usar esta
informac¸a˜o nos pro´ximos itens. Temos enta˜o um problema simples de maximizac¸a˜o. Basta
tirar a condic¸a˜o de primeira ordem:
px
2k1/2
− pk = 0⇒ k1/2 = px
2pk
⇒ kd = 1
4
(
px
pk
)2
Esta e´ a demanda por tecido. Note que temos uma relac¸a˜o inversa entre a quantidade de-
mandada, kd, e o prec¸o do insumo, pk, como seria de se esperar. Substituindo na func¸a˜o de
produc¸a˜o, encontramos a oferta de x (corda):
xs = (kd)1/2 =
px
2pk
Aqui o item ja´ esta´ respondido. Mas vamos agora calcular a func¸a˜o lucro desta firma, dada a
soluc¸a˜o do problema, porque vamos precisar desta informac¸a˜o depois. Substituindo na func¸a˜o
lucro, temos que o lucro desta firma e´
pi1 = px
px
2pk
− pk 1
4
(
px
pk
)2
=
p2x
4pk
(b) Firma que produz coco: O problema desta firma e´ escolher as quantidades de produto, c,
e de insumos, x e t, que maximizam o seu lucro sujeito a` tecnologia dada pela func¸a˜o de
produc¸a˜o.
max
c,x,t
1.c− px.x− w.t , s.t. c = x1/4t1/4
Novamente, como a restric¸a˜o e´ de igualdade podemos substituir na func¸a˜o objetivo e simplificar
o problema. Mas, note que agora ficamos com 2 varia´veis de escolha, x e t. Isto significa que
vamos ter que tirar as condic¸o˜es de primeira ordem, encontrar a TMST e substituir na func¸a˜o
de produc¸a˜o para encontrar as demandas por fatores.
max
x,t
x1/4t1/4 − px.x− w.t
CPO:
(x) :
t1/4
4x3/4
− px = 0
(t) :
x1/4
4t3/4
− w = 0
4
Basta dividir uma equac¸a˜o pela outra para calcular a TMST.
x
t
=
w
px
⇒ x = w
px
t
Substituindo na func¸a˜o de produc¸a˜o, encontramos as demandas por fatores.
c = x1/4t1/4 ⇒ c =
(
w
px
)1/4
t1/2
td = c2
(px
w
)1/2
Por simetria, e´ fa´cil ver que para o insumox, a demanda e´
xd = c2
(
w
px
)1/2
Para encontrar a oferta de coco, lembre-se que a curva de oferta da firma e´ dada pelo custo
marginal.
CT = px.x
d + w.td = px
(
w
px
)1/2
c2 + w
(px
w
)1/2
c2 = c2(p1/2x w
1/2 + w1/2p1/2x )
CT = 2c2p1/2x w
1/2
CMg = 4cp1/2x w
1/2
Como estamos supondo uma economia competitiva, sabemos que o prec¸o do bem e´ igual ao
custo marginal. Logo,
1 = 4cp1/2x w
1/2 ⇒ cs = 1
4p
1/2
x w1/2
Substituindo na func¸a˜o lucro, podemos ver que o lucro da firma e´ dado por
pi2 = c− px
(
w
px
)1/2
c2 − w
(px
w
)1/2
c2 = c− 2c2p1/2x w1/2
(c) O problema do consumidor e´ escolher a quantidade de cocos e de horas de lazer que maximizam
sua utilidade, sujeito a` sua restric¸a˜o orc¸amenta´ria. Mas, ao escolher a quantidade de horas de
lazer, ele ja´ esta´ escolhendo o nu´mero de horas que ira´ trabalhar, ou seja, a oferta de trabalho
(t + l = 10). Lembre-se que na restric¸a˜o orc¸amenta´ria o poder de compra do indiv´ıduo vem
do sala´rio que ele recebe, do valor da dotac¸a˜o de tecido e dos lucros de ambas as firmas que
lhe pertencem. Assim, o problema do consumidor e´
max
c,t
c1/2(10− t)1/2 , s.t. c = wt+ 20pk + pi1 + pi2
Basta escrever o lagrangeano, tirar as condic¸o˜es de primeira ordem, calcular a TMS e substituir
na restric¸a˜o orc¸amenta´ria. Para facilitar, vamos aplicar uma transformac¸a˜o monotoˆnica:
L = 1
2
ln c+
1
2
ln(10− t) + λ[wt+ 20pk + pi1 + pi2 − c]
5
∂L
∂c
=
1
2c
− λ = 0
∂L
∂t
= − 1
2(10− t) + λw = 0
1
�2c
=
1
�2w(10− t)
⇒ c = w(10− t)
Substituindo na restric¸a˜o orc¸amenta´ria:
w(10− t) = wt+ 20pk + pi1 + pi2
10w − wt = wt+ 20pk + pi1 + pi2
2wt = 10w − 20pk + pi1 + pi2
ts = 5− 10pk
w
− (pi1 + pi2)
2w
Note que quanto maior o sala´rio, maior a oferta de trabalho e quanto maior a riqueza (dada
pelo valor da dotac¸a˜o de tecido, pk, e pelos lucros,pi1 e pi2) menor a oferta de trabalho.
Substituindo para encontrar a demanda por coco:
c = w(10− t) = w
(
10− 5 + 10pk
w
+
pi1 + pi2
2w
)
cd = 5w + 10pk +
pi1 + pi2
2
Note que quanto maior o sala´rio e/ou a riqueza, maior e´ a demanda pelo bem de consumo.
(d) A Lei de Walras e´ va´lida nesta economia. Para ver isto, vamos mostrar que o valor do excesso
de demanda agregada e´ zero.
1.
(
5w + 10pk +
pi1 + pi2
2
− 1
4p
1/2
x w1/2
)
︸ ︷︷ ︸
coco
pk.
(
1
4
(
px
pk
)2
− 20
)
︸ ︷︷ ︸
tecido
px.
(
c2
(
w
px
)1/2
− px
2pk
)
︸ ︷︷ ︸
corda
w.
(
c2
(px
w
)1/2
− 5 + 10pk
w
+
(pi1 + pi2)
2w
)
︸ ︷︷ ︸
trabalho
Agora, basta multiplicar e somar os 4 mercados.
��5w+��
�10pk+
pi1 + pi2
2
− 1
4p
1/2
x w1/2
+
1
4
p2x
pk
−���20pk+c2p1/2x w1/2−
p2x
2pk
+c2p1/2x w
1/2−��5w+���10pk+
pi1 + pi2
2
6
pi1 + pi2 + 2c
2p1/2x w
1/2 +
px2
4pk
− 1
4p
1/2
x w1/2
− p
2
x
2pk
Lembrando que
pi1 =
p2x
4pk
pi2 = c− 2c2p1/2x w1/2
c =
1
4px1/2w1/2
Teremos
p2x
4pk
+ c− 2c2p1/2x w1/2 + 2c2p1/2x w1/2 +
p2x
4pk
− c− p
2
x
2pk
= 0
7

Outros materiais