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Microeconomia II - 2015/2 Provinha 1 2 de setembro de 2015 1. (a) Como os treˆs indiv´ıduos teˆm a mesma utilidade, vamos comec¸ar resolvendo o problema para o indiv´ıduo j. O problema deste indiv´ıduo e´: max cj1,c j 2 ln cj1 + 1 1 + ρj ln cj2 , s.t. c j 1 + 1 1 + r cj2 = m j 1 + 1 1 + r mj2 Repare que a restric¸a˜o orc¸amenta´ria deste indiv´ıduo e´ a restric¸a˜o intertemporal. O prec¸o do consumo no per´ıodo 1 ja´ esta´ normalizado para 1, enquanto o prec¸o do consumo no per´ıodo 2 e´ dado por 1 1 + r . Vamos escrever o lagrangeano, tirar as condic¸o˜es de primeira ordem, calcular a TMS e substituir na restric¸a˜o orc¸amenta´ria. L = ln cj1 + 1 1 + ρj ln cj2 + λ [ mj1 + 1 1 + r mj2 − cj1 − 1 1 + r cj2 ] ∂L ∂c1 = 1 cj1 − λ = 0 ∂L ∂cj2 = 1 1 + ρj . 1 cj2 − λ 1 + r = 0 Isolando λ: 1 cj1 = 1 + r 1 + ρj . 1 cj2 ⇒ cj1 = 1 + ρj 1 + r cj2 Substituindo na restric¸a˜o orc¸amenta´ria: 1 + ρj 1 + r cj2 + 1 1 + r cj2 = m j 1 + 1 1 + r mj2 cj2(2 + ρ j) = mj1(1 + r) +m j 2 cj∗2 = 1 + r 2 + ρj mj1 + 1 2 + ρj mj2 cj∗2 = 1 2 + ρj [ (1 + r)mj1 +m j 2 ] cj∗1 = 1 + ρj 1 + r cj∗2 = 1 + ρj ���1 + r . [ (���1 + r) (2 + ρj) mj1 + 1 2 + ρj mj2 ] cj∗1 = 1 + ρj 2 + ρj [ mj1 + 1 1 + r mj2 ] Esta e´ a forma geral das demandas marshallianas. Basta agora substituir para cada indiv´ıduo: 1 cA∗1 = 1 + 1 2 2 + 1 2 [ 3 + 1 1 + r ] = 3 �2 5 �2 [ 3 + 1 1 + r ] = 9 5 + 3 5(1 + r) cA∗2 = 1 + r 2 + 1 2 .3 + 1 2 + 1 2 .1 = 3(1 + r) 5 2 + 1 5 2 = 2 5 + 6 5 (1 + r) cB∗1 = 1 + 1 4 2 + 1 4 [ 1 + 3 1 + r ] = 5 �4 9 �4 [ 1 + 3 1 + r ] = 5 9 + 5 3(1 + r) cA∗2 = (1 + r) 9 4 .1 + 1 9 4 .3 = 4 3 + 4 9 (1 + r) cC∗1 = 1 + 1 2 + 1 [ 2 + 2 1 + r ] = 2 3 [ 2 + 2 1 + r ] = 4 3 + 4 3(1 + r) cC∗2 = 1 + r 2 + 1 .2 + 1 2 + 1 .2 = 2 3 + 2 3 (1 + r) (b) Lei de Walras: ”O valor do excesso de demanda agregada e´ zero, para qualquer vetor de prec¸os”. n∑ i=1 piZi = 0 Corola´rio: Numa economia com n mercados, se n−1 estiverem equilibrados, enta˜o o n-e´simo tambe´m estara´. Para mostrar que a Lei de Walras vale para esta economia: p1Z1(p) + p2Z2(p) = 0 1. [ 9 5 + 3 5(1 + r) + 5 9 + 5 3(1 + r) + 4 3 + 4 3(1 + r) − 6 ] + + 1 1 + r [ 2 5 + 6 5 (1 + r) + 4 3 + 4 9 (1 + r) + 2 3 + 2 3 (1 + r)− 6 ] 9 5 + 5 9 + 4 3 + 6 5 + 4 9 + 2 3 − 6︸ ︷︷ ︸ 0 + 1 1 + r [ 3 5 + 5 3 + 4 3 + 2 5 + 4 3 + 2 3 − 6 ] ︸ ︷︷ ︸ 0 = 0 (c) Para encontrar a taxa de juros de equil´ıbrio precisamos fazer o market-clearing. Como vale a Lei de Walras, sabemos que basta resolver para um per´ıodo. Vamos fazer para o per´ıodo 1. Resolvendo para o per´ıodo 2, o resultado e´ exatamente o mesmo. p1 = 1 , Z1(p) = [c A 1 + c B 1 + c C 1 −mA1 −mB1 −mC1 ] 9 5 + 5 9 + 4 3 + 1 1 + r [ 3 5 + 5 3 + 4 3 ] − 6 = 0 81 + 25 + 60 45 + 1 1 + r 9 + 25 + 20 15 = 6 2 54 15(1 + r) = 6− 166 45 54 (1 + r) = 90− 166 3 ⇒ 54 (1 + r) = 104 3 1 + r = 162 104 ⇒ r ≈ 0, 56 (d) No problema de Pareto, o planejador central escolhe as quantidades de consumo para cada indiv´ıduo, em cada per´ıodo, de modo a maximizar a utilidade de um deles, enquanto mante´m constantes as utilidades dos demais e sujeito ainda a` restric¸a˜o de recursos da economia. Vamos fazer para o indiv´ıduo A, mantendo constante a utilidade dos demais. max {cji ,cj2} UA(cA1 , c A 2 ) s.t. UB(cB1 , c B 2 ) ≥ U¯B UC(cC1 , c C 2 ) ≥ U¯C cj1 + 1 1 + r cj2 = m j 1 + 1 1 + r mj2 Para mostrar que a alocac¸a˜o de equil´ıbrio que encontramos e´ Pareto eficiente, basta calcular as TMS’s de cada indiv´ıduo e aplicar as demandas marshallianas que encontramos no primeiro item e ver que elas sa˜o iguais. TMSA = ∂UA ∂cA1 ∂UA ∂cA2 = 1 cA1 2 3cA2 = 3 2 cA2 cA1 = 3 2 [ 2 5 + 6 5 (1 + r) ] 9 5 + 3 5 1 (1 + r) = (1 + r) TMSB = ∂UB ∂cB1 ∂UB ∂cB2 = 1 cB1 4 5cB2 = 5 4 cB2 cB1 = 5 4 [ 4 3 + 4 9 (1 + r) ] 5 9 + 5 3 1 (1 + r) = (1 + r) TMSA = ∂UC ∂cC1 ∂UC ∂cC2 = 1 cC1 1 2cC2 = 2 cC2 cC1 = 2 [ 2 3 + 2 3 (1 + r) ] 4 3 + 4 3 1 (1 + r) = (1 + r) Como as TMS’s dos treˆs indiv´ıduos sa˜o iguais, a alocac¸a˜o de equil´ıbrio e´ Pareto eficiente. 2. Para resolver esta questa˜o, precisamos lembrar de alguns conceitos importantes. Em primeiro lugar, note que nesta economia existem 4 mercados: um mercado de produto (coco) e 3 mercados de fatores (trabalho, corda e tecido). A soluc¸a˜o dos problemas das firmas nos da´ a demanda por fatores, a oferta de corda e a oferta de coco, enquanto a soluc¸a˜o do problema do consumidor nos da´ a demanda pelo bem de consumo e tambe´m a oferta de trabalho. (a) Firma que produz corda: O problema desta firma e´ escolher as quantidades de produto, 3 x, e de insumo, k, que maximiza seu lucro sujeito a` tecnologia dada pela func¸a˜o de produc¸a˜o. max x,k px.x− pk.k , s.t. x = k1/2 Como a restric¸a˜o e´ de igualdade, podemos substituir na func¸a˜o objetivo. Assim, este problema e´ equivalente a max k px.k 1/2 − pk.k Lembre-se que ao resolver este problema vamos encontrar a demanda pelo fator k (tecido). Por isto, na˜o faz sentido usar k = 20, que e´ a oferta(dotac¸a˜o) do insumo. So´ vamos usar esta informac¸a˜o nos pro´ximos itens. Temos enta˜o um problema simples de maximizac¸a˜o. Basta tirar a condic¸a˜o de primeira ordem: px 2k1/2 − pk = 0⇒ k1/2 = px 2pk ⇒ kd = 1 4 ( px pk )2 Esta e´ a demanda por tecido. Note que temos uma relac¸a˜o inversa entre a quantidade de- mandada, kd, e o prec¸o do insumo, pk, como seria de se esperar. Substituindo na func¸a˜o de produc¸a˜o, encontramos a oferta de x (corda): xs = (kd)1/2 = px 2pk Aqui o item ja´ esta´ respondido. Mas vamos agora calcular a func¸a˜o lucro desta firma, dada a soluc¸a˜o do problema, porque vamos precisar desta informac¸a˜o depois. Substituindo na func¸a˜o lucro, temos que o lucro desta firma e´ pi1 = px px 2pk − pk 1 4 ( px pk )2 = p2x 4pk (b) Firma que produz coco: O problema desta firma e´ escolher as quantidades de produto, c, e de insumos, x e t, que maximizam o seu lucro sujeito a` tecnologia dada pela func¸a˜o de produc¸a˜o. max c,x,t 1.c− px.x− w.t , s.t. c = x1/4t1/4 Novamente, como a restric¸a˜o e´ de igualdade podemos substituir na func¸a˜o objetivo e simplificar o problema. Mas, note que agora ficamos com 2 varia´veis de escolha, x e t. Isto significa que vamos ter que tirar as condic¸o˜es de primeira ordem, encontrar a TMST e substituir na func¸a˜o de produc¸a˜o para encontrar as demandas por fatores. max x,t x1/4t1/4 − px.x− w.t CPO: (x) : t1/4 4x3/4 − px = 0 (t) : x1/4 4t3/4 − w = 0 4 Basta dividir uma equac¸a˜o pela outra para calcular a TMST. x t = w px ⇒ x = w px t Substituindo na func¸a˜o de produc¸a˜o, encontramos as demandas por fatores. c = x1/4t1/4 ⇒ c = ( w px )1/4 t1/2 td = c2 (px w )1/2 Por simetria, e´ fa´cil ver que para o insumox, a demanda e´ xd = c2 ( w px )1/2 Para encontrar a oferta de coco, lembre-se que a curva de oferta da firma e´ dada pelo custo marginal. CT = px.x d + w.td = px ( w px )1/2 c2 + w (px w )1/2 c2 = c2(p1/2x w 1/2 + w1/2p1/2x ) CT = 2c2p1/2x w 1/2 CMg = 4cp1/2x w 1/2 Como estamos supondo uma economia competitiva, sabemos que o prec¸o do bem e´ igual ao custo marginal. Logo, 1 = 4cp1/2x w 1/2 ⇒ cs = 1 4p 1/2 x w1/2 Substituindo na func¸a˜o lucro, podemos ver que o lucro da firma e´ dado por pi2 = c− px ( w px )1/2 c2 − w (px w )1/2 c2 = c− 2c2p1/2x w1/2 (c) O problema do consumidor e´ escolher a quantidade de cocos e de horas de lazer que maximizam sua utilidade, sujeito a` sua restric¸a˜o orc¸amenta´ria. Mas, ao escolher a quantidade de horas de lazer, ele ja´ esta´ escolhendo o nu´mero de horas que ira´ trabalhar, ou seja, a oferta de trabalho (t + l = 10). Lembre-se que na restric¸a˜o orc¸amenta´ria o poder de compra do indiv´ıduo vem do sala´rio que ele recebe, do valor da dotac¸a˜o de tecido e dos lucros de ambas as firmas que lhe pertencem. Assim, o problema do consumidor e´ max c,t c1/2(10− t)1/2 , s.t. c = wt+ 20pk + pi1 + pi2 Basta escrever o lagrangeano, tirar as condic¸o˜es de primeira ordem, calcular a TMS e substituir na restric¸a˜o orc¸amenta´ria. Para facilitar, vamos aplicar uma transformac¸a˜o monotoˆnica: L = 1 2 ln c+ 1 2 ln(10− t) + λ[wt+ 20pk + pi1 + pi2 − c] 5 ∂L ∂c = 1 2c − λ = 0 ∂L ∂t = − 1 2(10− t) + λw = 0 1 �2c = 1 �2w(10− t) ⇒ c = w(10− t) Substituindo na restric¸a˜o orc¸amenta´ria: w(10− t) = wt+ 20pk + pi1 + pi2 10w − wt = wt+ 20pk + pi1 + pi2 2wt = 10w − 20pk + pi1 + pi2 ts = 5− 10pk w − (pi1 + pi2) 2w Note que quanto maior o sala´rio, maior a oferta de trabalho e quanto maior a riqueza (dada pelo valor da dotac¸a˜o de tecido, pk, e pelos lucros,pi1 e pi2) menor a oferta de trabalho. Substituindo para encontrar a demanda por coco: c = w(10− t) = w ( 10− 5 + 10pk w + pi1 + pi2 2w ) cd = 5w + 10pk + pi1 + pi2 2 Note que quanto maior o sala´rio e/ou a riqueza, maior e´ a demanda pelo bem de consumo. (d) A Lei de Walras e´ va´lida nesta economia. Para ver isto, vamos mostrar que o valor do excesso de demanda agregada e´ zero. 1. ( 5w + 10pk + pi1 + pi2 2 − 1 4p 1/2 x w1/2 ) ︸ ︷︷ ︸ coco pk. ( 1 4 ( px pk )2 − 20 ) ︸ ︷︷ ︸ tecido px. ( c2 ( w px )1/2 − px 2pk ) ︸ ︷︷ ︸ corda w. ( c2 (px w )1/2 − 5 + 10pk w + (pi1 + pi2) 2w ) ︸ ︷︷ ︸ trabalho Agora, basta multiplicar e somar os 4 mercados. ��5w+�� �10pk+ pi1 + pi2 2 − 1 4p 1/2 x w1/2 + 1 4 p2x pk −���20pk+c2p1/2x w1/2− p2x 2pk +c2p1/2x w 1/2−��5w+���10pk+ pi1 + pi2 2 6 pi1 + pi2 + 2c 2p1/2x w 1/2 + px2 4pk − 1 4p 1/2 x w1/2 − p 2 x 2pk Lembrando que pi1 = p2x 4pk pi2 = c− 2c2p1/2x w1/2 c = 1 4px1/2w1/2 Teremos p2x 4pk + c− 2c2p1/2x w1/2 + 2c2p1/2x w1/2 + p2x 4pk − c− p 2 x 2pk = 0 7
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