Lista06 Micro2 2015

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EAE0205
Microeconomia II
Lista - Informac¸a˜o Assime´trica
Questa˜o 1. Existem na economia dois tipos de motoristas de carro, os cuidadosos (c)
e os imprudentes (i). O primeiro tipo tem uma probabilidade baixa de sofrer acidente de
carro; o segundo tem alta probabilidade. Cada tipo de motorista pode comprar seguro de
automo´vel de uma seguradora monopolista. Suponha que o valor do carro para ambos seja
igual a L. O consumidor cuidadoso sofre acidente com probabilidade pc ∈ [0, 1]; o imprudente,
com probabilidade pi > pc. Se comprarem seguro, ambos devem pagar a` seguradora um preˆmio
t, recebendo em troca um valor x no caso de acidente, em que 0 ≤ x ≤ L.
Logo, a func¸a˜o de utilidade do consumidor tipo c e´:
Uc = pc u(xc − tc) + (1− pc)u(L− tc)
Ja´ a do consumidor tipo i e´:
Ui = pi u(xi − ti) + (1− pi)u(L− ti)
com u′(.) > 0, u′′(.) < 0. A utilidade de reserva de ambos e´ igual a zero.
A seguradora tem uma func¸a˜o lucro linear e seu objetivo e´ maximiza´-lo. A proporc¸a˜o do
tipo c na sociedade e´ igual a pi.
a) Suponha que a seguradora observe corretamente os tipos de motoristas. Monte o problema
dela para cada tipo e obtenha quanto cada um comprara´ de seguro, isto e´, obtenha xc e
xi.
b) Dado que existe informac¸a˜o assime´trica na economia, isto e´, a seguradora tem informac¸a˜o
incompleta sobre os motoristas, ela vai desenhar contratos para fazer com que eles revelem
seu tipo. Monte o problema da seguradora com todas as restric¸o˜es.
c) Suponha que a companhia de seguros decida oferecer o seguro com base na taxa de
acidente me´dia. O que voceˆ acha que acontecera´ com a firma? Justifique.
Questa˜o 2. Considere um caso em que um empresa´rio contrata um gerente, cujo esforc¸o
ele na˜o consegue determinar. Assuma que a incerteza seja representada por treˆs estados da
natureza. O agente pode escolher entre dois n´ıveis de esforc¸os. A tabela abaixo mostra os
resultados.
Receita em cada estado da natureza
estado 1 estado 2 estado 3
e = 6 60.000 60.000 30.000
e = 4 30.000 60.000 30.000
A probabilidade de cada estado e´ 1/3, conhecida tanto pelo gerente quanto pelo empresa´rio.
As func¸o˜es utilidade do empresa´rio e do gerente sa˜o respectivamente:
B(x,w) = x− w
U(w, e) =
√
w − e2
em que x e´ a receita obtida em cada estado da natureza e w(x) e´ o sala´rio pago ao agente
em func¸a˜o da receita por ele gerada. Assuma que o agente somente aceita o contrato se tiver
uma utilidade de 114.
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a) O que podemos deduzir da forma funcional das func¸o˜es objetivo?
b) Qual seria o esforc¸o e o sala´rio no caso de informac¸a˜o completa?
c) O que ocorre se ha´ informac¸a˜o assime´trica? Qual esquema de incentivo (w) implementaria
e = 4? E e = 6? Qual dos dois o empresa´rio prefere?
Questa˜o 3. Seja um problema de agente-principal em que o principal e´ o dono de um
restaurante e o agente e´ o garc¸om. O garc¸om escolhe o n´ıvel de esforc¸o e que vai implementar,
o qual pode assumir os valores e = 2 (caso o garc¸om trabalhe muito) ou e = 0 (caso o garc¸om
trabalhe pouco). Alternativamente, o garc¸om pode trabalhar em outro lugar e ganhar 10 com
certeza. A receita do restaurante pode assumir dois valores, H e L (H > L+ 10), dependendo
parcialmente do esforc¸o do garc¸om da seguinte maneira:
R(e) =
{
Hcomprob.0, 8ouLcomprob.0, 2, casoe = 2
Hcomprob.0, 4ouLcomprob.0, 6, casoe = 0
}
Logo, quanto maior o esforc¸o, maior a probabilidade de ocorreˆncia do estado ”bom”(isto e´,
receita mais alta). Isso significa que se esforc¸ar muito (e = 2) na˜o garante ao garc¸om o sala´rio
alto (pago pelo restaurante caso ocorra H), assim como se esforc¸aar pouco na˜o o condena a
receber o sala´rio baixo (pago caso ocorra L).
A func¸a˜o utilidade esperada do garc¸om e´:
U = E(w − e)
O lucro esperado do restaurante depende da receita e do sala´rio pago (suponha que na˜o
existam outros custos):
Π = R(e)− E(w)
a) Supondo que o principal consiga observar o esforc¸o do agente, obtenha o esforc¸o, sala´rio
e utilidades do garc¸om e principal.
b) Assuma agora que exista informac¸a˜o assime´trica. A que n´ıvel de esforc¸o o principal
tentara´ induzir o garc¸om? Qual sera´ o contrato oferecido?
Questa˜o 4. Suponha um consumidor que pretenda comprar uma garrafa de vinho. Sua
utilidade e´ U = θ q − t, em que q e´ a qualidade que ele compra e θ e´ um paraˆmetro positivo
que indexa seu gosto por qualidade. Se ele decide na˜o comprar o vinho, sua utilidade e´ zero.
Existem dois valores poss´ıveis para θ : θ1 < θ2. A probabilidade de que um agente seja do
tipo 1 e´ pi. A produc¸a˜o de vinho esta´ a cargo de um monopolista: ele pode produzir vinho de
qualidade q, cujo custo e´ C(q). A utilidade do monopolista e´ a diferenc¸a entre sua receita e
seus custos, ou seja, t− C(q).
a) Resolva o problema supondo que o monopolista consegue discriminar entre os consumi-
dores.
b) Suponha que o monopolista na˜o consiga discrminar entre os consumidores. Mostre que
se o monopolista colocar no mercado os contratos desenhados na letra (a), o consumidor
do tipo 2 prefere se passar por um tipo 1.
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c) Monte o problema do monopolista com informac¸a˜o assime´trica.
d) Prove que, se as restric¸o˜es de compatibilidade de incentivo forem va´lidas, enta˜o as alocac¸o˜es
sera˜o mono´tonas nos tipos (ou seja, o tipo mais alto fica com uma quantidade maior e
paga um prec¸o maior).
e) Mostre que, se a restric¸a˜o de participac¸a˜o do tipo baixa for va´lida, enta˜o a restric¸a˜o de
participac¸a˜o do tipo alto tambe´m sera´.
f) Mostre que, no o´timo, a restric¸a˜o de participac¸a˜o do tipo baixo e´ ativa (com igualdade).
g) Mostre que, no o´timo, a restric¸a˜o de participac¸a˜o do tipo alto e´ inativa.
h) Mostre que, no o´timo, a restric¸a˜o de incentivo do tipo alto e´ va´lida com igualdade e a
restric¸a˜o de incentivo do tipo baixo pode ser ignorada.
i) Usando os itens anteriores, reescreva o problema do monopolista sem restric¸o˜es, apenas
em func¸a˜o de q1, q2. Resolva esse problema.
Questa˜o 5. Suponha que um carro dure por dois per´ıodos. Carros teˆm diferentes qualida-
des, de modo que o valor que um carro v para seus proprieta´rios e´ uniformemente distribu´ıdo
no intervalo [α, β]. Estes descobrem a qualidade durante o primeiro per´ıodo. Suponha que no
mercado de carros usados haja mais compradores do que vendedores, de forma que os u´ltimos
teˆm todo o poder de barganha na negociac¸a˜o. Um comprador de carro usado esta´ disposto a
pagar v + θ, θ > 0, por um carro de ”qualidade”v.
a) Qual seria o equil´ıbrio de mercado se a qualidade dos carros fosse uma informac¸a˜o pu´blica?
b) Suponha que a qualidade do carro seja informac¸a˜o privada do vendedor. Se o prec¸o de
mercado for p, que vendedores oferecera˜o seus carros no mercado? Mostre que nestas
circunstaˆncias o valor me´dio dos carros sera´ p+α
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c) Mostre que o prec¸o de equil´ıbrio deve ser igual a p = α + 2 θ
d) Qual o equil´ıbrio de mercado com informac¸a˜o assime´trica quando α = 0, β = 1000 e
θ = 100? Calcule a perda de bem-estar causada pela presenc¸a de informac¸a˜o privada,
assumindo que o nu´mero de vendedores seja igual a 400.
e) Suponha agora que nenhuma das partes - vendedores e compradores - conhec¸a a qualidade
dos carros. Qual sera´ o equil´ıbrio de mercado?
Questa˜o 6. No mesmo mercado de carros usados, suponha que haja somente dois tipos de
carro. Os carros ”bons”apresentara˜o problemas com probabilidade p = 1/5, enquanto os carros
”ruins”tera˜o problemas com probabilidade q = 3/4. O valor de um carro com problemas para o
vendedor e´ igual a $100, enquanto os compradores esta˜o dispostos a pagar $150 por eles. Para
um carro que na˜o apresentar problemas, estes valores sa˜o de $350 e $550, respectivamente.
Ambas as partes sao neutras ao risco. Observe que adquirir um carro ”bom”na˜o significa
necessariamente que este carro na˜o tera´ problemas e vice-versa. A frac¸a˜o de carros”bons”no
mercado e´ de 1/2. Qual o equil´ıbrio que prevalecera´ no mercado se o tipo do carro for informac¸a˜o
privada do vendedor?
Questa˜o 7. Assuma que em um mercado so´ existam dois tipos de trabalhadores, de acordo
com suas produtividades. Trabalhadores do tipo G possuem produtividade kG = 2 enquanto
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trabalhadores do tipo B possuem produtividade kB = 1. O custo de se adquirir educac¸a˜o para
o trabalhador do tipo j, j = G,B, e´ dado por cj(e, k) = e/kj. A utilidade de um indiv´ıduo
do tipo j e´ dada por U(w, e, kj) = w − cj(e, kj). Suponha que as firmas so´ consigam observar
o n´ıvel de educac¸a˜o, mas na˜o a produtividade. Suponha que elas acreditem que se o n´ıvel de
educac¸a˜o for maior que e0, o trabalhador e´ de alta produtividade (tipo G), enquanto n´ıveis de
educac¸a˜o menores que e0 sinalizariam um trabalhador de baixa produtividade (tipo B). Assim,
w(e) = 2 se e ≥ e0 e w(e) = 1 se e < e0. A utilidade de reserva dos trabalhadores e´ zero.
a) Qual(is) condic¸a˜o(o˜es) deve ser satisfeita por e0 para que a educac¸a˜o seja um sinalizador
efetivo da produtividade?
b) Calcule o n´ıvel de educac¸a˜o que cada tipo vai escolher no equil´ıbrio separador.
Questa˜o 8. Em um determinado mercado ha´ 1000 empresas e 500 trabalhadores, o que
da´ para estes o poder de barganha. Os trabalhadores sa˜o de dois tipos. Os mais produtivos
produzem θH unidades do produto quando esta˜o empregados por uma firma ou µH quando
trabalham por conta pro´pria. Por outro lado, os de menor produtividade produzem θL nas
firmas e µL por conta pro´pria. Ha´ 250 trabalhadores de cada tipo. O tipo do trabalhador e´
informac¸a˜o privada dos mesmos. Assuma que θH = 8, θL = 2, µH = 6 e µL = 1.
a) Qual a alocac¸a˜o eficiente de trabalhadores nesta economia? Isto e´, resolva o problema do
planjeador central que tem informac¸a˜o completa.
b) Qual o equil´ıbrio com informac¸a˜o assime´trica? Este equil´ıbrio e´ eficiente? Suponha
agora que os trabalhadores possam adquirir educac¸a˜o. O custo para o trabalhador mais
produtivo e´ cH = 1, enquanto os menos produtivos devem gastar cL = 7.
c) Qual o equil´ıbrio neste caso? Qual o excedente? Compare com a situac¸a˜o do item (b) e
responda se a possibilidade de sinalizac¸a˜o aumenta o bem-estar social.
d) Refac¸a os itens (b) e (c) sob a hipo´tese que µH = 4.
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