Gabarito Provinha 4

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Microeconomia II - Gabarito Provinha #4
Tiago Ferraz
28 de outubro de 2015
1. Para responder esta questa˜o precisamos lembrar do conceito da curva de prec¸o-consumo: e´ o
conjunto de todas as cestas o´timas de um indiv´ıduo, para todos os n´ıveis de prec¸o de um dos bens.
(a) Quando um dos agentes tem poder de monopo´lio ele ira´ ajustar os prec¸os de modo a maximizar
sua utilidade, dada a escolha o´tima do outro agente. Assim, como neste caso e´ o indiv´ıduo A
quem pode escolher o prec¸o do bem 1, ele ira´ escolher o ponto sobre a curva de prec¸o-consumo
do indiv´ıduo B, que lhe da´ a maior utilidade poss´ıvel. Como o indiv´ıduo B tem prefereˆncia
do tipo complementares perfeitos, sabemos que a sua escolha o´tima sera´ sempre uma cesta
que possui a mesma quantidade de ambos os bens, isto e´, algum ponto na quina da curva de
indiferenc¸a. Portanto, a curva de prec¸o-consumo para o indiv´ıduo B e´ a reta azul na figura
abaixo. E´ fa´cil notar que neste caso, a curva de contrato e´ a reta que sai da origem de B e
cruza todas as suas curvas de indiferenc¸a nas quinas. Repare que como as dotac¸o˜es na˜o sa˜o
sime´tricas, a curva de contrato na˜o e´ a diagonal da caixa de Edgeworth. Ela na˜o passa pela
origem de A, pois neste ponto as quantidades de x1 e x2 para o indiv´ıduo B sa˜o diferentes.
Note ainda que no trecho relevante, a curva de contrato coincide com a curva prec¸o-consumo
de B. Portanto, a alocac¸a˜o resultante sera´ Pareto eficiente.
1
(b) Agora, e´ o indiv´ıduo B quem tera´ poder de monopo´lio sobre o bem 2. Portanto, ele ira´ escolher
o ponto sobre a curva prec¸o-consumo de A que lhe proporcione a maior utilidade poss´ıvel.
Mas, como ele tem prefereˆncia do tipo complementares perfeitos, sabemos que a sua escolha
sera´ sempre algum ponto sobre a curva de contrato. Portanto, a alocac¸a˜o resultante tambe´m
sera´ Pareto eficiente.
2. (a) O problema do consumidor j e´
max
xj1,x
j
2
αjxj1 −
1
2
(xj1)
2 + xj2
s.t. p1x
j
1 + p2x
j
2 ≤ mj
Escrevendo o lagrangeano e tirando as condic¸o˜es de primeira ordem, temos
L = αjxj1 −
1
2
(xj1)
2 + xj2 + λ
[
mj − p1xj1 − p2xj2
]
(xj1) : α
j − xj1 − λp1 = 0⇒ λ =
αj − xj1
p1
(xj2) : 1− λp2 = 0⇒ λ =
1
p2
Portanto, temos que
αj − xj1
p1
=
1
p2
⇒ xj1 = αj −
p1
p2
⇒ xj1 = αj − p1
Note que estamos usando a informac¸a˜o do enunciado de que p2 = 1.
2
(b) Com αA = 5 e αB = 4, temos as demandas
xA1 = 5− p1
xB1 = 4− p1
X1 = x
A
1 + x
B
1 = 9− 2p1
Calculando as demandas inversas, temos
p1 = 5− xA1
p1 = 4− xB1
p1 =
9−X1
2
Note que para todo prec¸o maior do que 4, o consumidor B sera´ exclu´ıdo do mercado. Portanto,
sabemos que a curva de demanda sera´ quebrada, na quantidade x1 = 1:
5− x1 = 9− x1
2
⇒ x1
2
=
1
2
⇒ x1 = 1
(c) Se a firma na˜o pode discriminar prec¸os, seu problema sera´ encontrar a quantidade X1 que
maximiza o seu lucro. Como c = 1, temos
max
X1
X1
(
9−X1
2
)
−X1 = max
X1
7X1 −X21
2
CPO :
7
2
−X1 = 0⇒ X1 = 7
2
Substituindo na demanda inversa,
p1 =
9
2
− 7
4
⇒ p1 = 11
4
Como o prec¸o que maximiza o lucro do monopolista e´ menor do que 4, ambos os mercados
sera˜o atendidos.
3
(d) O objetivo deste esquema de tarifa na˜o linear e´ extrair tanto excedente quanto poss´ıvel dos
dois tipos de consumidores. Como ele na˜o pode discriminar perfeitamente um prec¸o para
cada tipo, ele ira´ determinar um pacote para cada tipo e cobrar uma tarifa diferente para
cada pacote. O problema e´ que ao fazer isto, o consumidor de tipo A tera´ um incentivo para
se passar por tipo B e pagar uma tarifa menor. Assim, a tarifa que ele implementa precisa
levar em conta o problema de selec¸a˜o. O que ele ira´ fazer, enta˜o, e´ estabelecer uma tarifa que
torne o pacote do tipo B menos atraente para o tipo A. Isto acontece quando a diferenc¸a
entre os prec¸os unita´rios para os dois tipos, ou seja, a distaˆncia vertical entre as curvas de
demanda inversa for igual a` diferenc¸a entre o prec¸o do tipo A e o custo marginal.
pA1 (x
∗
1)− pB1 (x∗1) = pB1 (x∗1)− CMg
5− x1 − 4 + x1 = 4− x1 − 1⇒ x∗1 = 2
Portanto, o pacote oferecido ao tipo B tera´ 2 unidades do bem x1. A tarifa que o monopolista
ira´ cobrar por esta quantidade e´ dada pela a´rea B
TB = B =
∫ x∗1
0
pB1 (x1)dx1 =
∫ 2
0
4− x1dx1 =
[
4x1 − x
2
1
2
]2
0
= 8− 2 = 6
Para o tipo A, a quantidade oferecida sera´ aquela em que o prec¸o unita´rio e´ igual ao custo
marginal. Ou seja,
pA1 = CMg ⇒ 5− xA1 = 1⇒ xA1 = 4
E a tarifa cobrada por este pacote e´ dada pela soma das a´reas B +A
TA = B+
∫ xA1
x∗1
pA1 (x1)dx1 = 6+
∫ 4
2
5−x1dx1 = 6+
[
5x1 − x
2
1
2
]4
2
= 6+(20−8)−(10−2) = 10
4
Repare que o consumidor tipo A esta´ disposto a pagar esta tarifa, pois ele ainda fica com um
excedente positivo, dado pela a´rea C.
Assim, o monopolista ira´ ofertar a combinac¸a˜o de pacotes/tarifas:
xA1 = 4 | TA = 10
xB1 = 2 | TB = 6
(e) Se o custo marginal aumentar para 3, o consumidor do tipo B sera´ exclu´ıdo do mercado, pois
a distaˆncia vertical entre pA1 e p
B
1 ainda e´ igual a 1. Usando a mesma estrate´gia do item
anterior,
pA1 − pB1 = pB1 = CMg ⇒ 1 = pB1 − 3⇒ pB1 = 4⇒ xB1 = 4− 4 = 0
Como so´ havera´ consumidores do tipo A, a quantidade ofertada sera´ aquela em que o prec¸o
unita´rio e´ igual ao custo marginal
pA1 = CMg ⇒ 5− xA1 = 3⇒ xA1 = 2
E a tarifa cobrada e´ a a´rea sob a curva de demanda do tipo A
TA =
∫ xA1
0
pA1 (x1)dx1 =
∫ 2
0
5− x1dx1 =
[
5x1 − x
2
1
2
]2
0
= 10− 2 = 8
5