Gabarito Lista6

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Microeconomia II - Gabarito Lista 6 - Informac¸a˜o Assime´trica
Tiago Ferraz
27 de novembro de 2015
1. (a) Como a func¸a˜o lucro e´ linear e a seguradora observa os tipos, ela age como monopolista dis-
criminador de prec¸os, oferecendo um contrato (tk, xk), k ∈ {c, i}, para cada tipo. Mas, note
que este e´ um problema com restric¸a˜o, pois o contrato oferecido deve ser aceito por cada tipo,
isto e´, deve obedecer a restric¸a˜o de participac¸a˜o.
max
xk,tk
pk(tk − xk)︸ ︷︷ ︸
Lucro c/acidente
+ (1− pk)tk︸ ︷︷ ︸
Lucro s/acidente
s.t. pku(xk − tk)︸ ︷︷ ︸
Utilidade c/acidente
+ (1− pk)u(L− tk)︸ ︷︷ ︸
Utilidade s/acidente
≥ 0
Como u′(.) > 0, sabemos que a restric¸a˜o deve valer com igualdade. Para resolver, basta
montar o lagrangeano e tirar as condic¸o˜es de primeira ordem (duas varia´veis de escolha ⇒
duas CPO):
L = pk(tk − xk) + (1− pk)tk + λ[pku(xk − tk) + (1− pk)u(L− tk)]
CPO :
{
(xc) : −pk + λpku′(xk − tk) = 0
(tk) : pk + (1− pk)− λpku′(xk − tk)− λ(1− pk)u′(L− tk) = 0
Isolando λ na primeira condic¸a˜o:
λ =
1
u′(xk − tk)
Agora, basta substituir na segunda:
��pk +��
��(1− pk)−��pk
��
��
��*
1
u′(xk − tk)
u′(xk − tk) −�
���(1− pk) u
′(L− tk)
u′(xk − tk) = 0
u′(L− tk)
u′(xk − tk) = 1⇒ u
′(L− tk) = u′(xk − tk)
Como u′(.) > 0 e u′′(.) < 0, para valer esta igualdade
L− tk = xk − tk ⇒ L = xk
1
Note que esta condic¸a˜o vale para ambos os tipos, isto e´, os dois querem fazer seguro total.
Ale´m disto, note que o contrato o´timo na˜o depende da probabilidade de ocorrer um acidente.
Isto acontece porque ambos os tipos teˆm func¸a˜o utilidade coˆncava (portanto sa˜o avessos ao
risco).
(b) Sob informac¸a˜o assime´trica, como a seguradora na˜o observa os tipos, ela precisa oferecer um
contrato para cada tipo que maximize sua utilidade esperada, sujeito a quatro restric¸o˜es:
uma restric¸a˜o de participac¸a˜o e uma restric¸a˜o de compatibilidade de incentivos para cada
tipo. Lembrando que a proporc¸a˜o do tipo c nesta economia e´ pi, o problema da seguradora e´
max
xc,tc,xi,ti
pi[pc(tc − xc) + (1− pc)tc] + (1− pi)[pi(ti − xi) + (1− pi)ti]
s.t.

pcu(xc − tc) + (1− pc)u(L− tc) ≥ 0
piu(xc − tc) + (1− pi)u(L− ti) ≥ 0
pcu(xc − tc) + (1− pc)u(L− tc) ≥ pcu(xi − ti) + (1− pc)u(L− ti)
pcu(xi − ti) + (1− pc)u(L− ti) ≥ pcu(xc − tc) + (1− pc)u(L− tc)
As duas primeiras restric¸o˜es (participac¸a˜o) determinam que o contrato oferecido deve ser tal
que para ambos os tipos seja melhor comprar o seguro do que na˜o comprar. As duas u´ltimas
(compatibilidade de incentivos) determinam que nenhum dos tipos prefere o contrato dese-
nhado para o outro.
(c) Como vimos no item (a), ambos os tipos preferem fazer o seguro total. Como os indiv´ıduos
de tipo c teˆm menor probabilidade sofrer um acidente, se a seguradora cobrar o preˆmio me´dio
este contrato sera´ muito caro para os indiv´ıduos cuidadosos. Apenas os indiv´ıduos mais ar-
riscados, tipo i, aceitariam o contrato. Mas, neste caso o risco da carteira seria mais alto do
que aquele que a seguradora esperava, o que significa que ela ira´ acabar operando com preju´ızo.
2. (a) Como a func¸a˜o utilidade do empresa´rio e´ linear, sabemos que ele e´ neutro ao risco. No caso
do gerente, como a func¸a˜o utilidade e´ coˆncava, sabemos que ele e´ avesso ao risco.
(b) No caso de informac¸a˜o completa (soluc¸a˜o de first best), o agente neutro fica com todo o risco
e oferece seguro completo - sala´rio fixo - para o agente avesso. A raza˜o para isto e´ que para
atender a restric¸a˜o de participac¸a˜o do gerente - u(w∗, e∗) ≥ 114. Como ele e´ avesso ao risco,
o principal deveria pagar um preˆmio para que o agente topasse trocar um sala´rio fixo por um
varia´vel, ou seja, em me´dia o sala´rio varia´vel deveria ser mais alto que o sala´rio fixo, o que
diminuiria a utilidade do principal.
2
Como a func¸a˜o utilidade do agente e´ crescente em w, sabemos que a restric¸a˜o de participac¸a˜o
vale com igualdade. Assim, o menor sala´rio que deve ser pago para induzir a cada n´ıvel de
esforc¸o sera´:
e = 6 : u(w, 6) =
√
w − 36 = 114⇒ √w = 150⇒ w∗ = 22500
e = 4 : u(w, 4) =
√
w − 16 = 114⇒ √w = 130⇒ w∗ = 16900
Para saber qual o n´ıvel de esforc¸o sera´ implementado na soluc¸a˜o de first best comparamos a
utilidade esperada do principal para cada n´ıvel de esforc¸o:
E(B(x, 6)) =
1
3
(60000− 22500) + 1
3
(60000− 22500) + 1
3
(30000− 22500) = 27500
E(B(x, 4)) =
1
3
(60000− 16900) + 1
3
(60000− 16900) + 1
3
(30000− 16900) = 23100
Portanto, o principal ira´ preferir induzir ao n´ıvel de esforc¸o e = 6 pagando um sala´rio
w = 22500.
(c) Neste caso, o problema de informac¸a˜o surge porque o principal na˜o observa o n´ıvel de esforc¸o,
apenas a receita . Portanto, ele precisa desenhar um mecanismo para incentivar o agente a de
fato realizar o esforc¸o mais alto - e = 6. Note que como a utilidade do agente e´ decrescente
em e, para um dado n´ıvel de sala´rio ele vai preferir realizar o esforc¸o baixo. Assim, o principal
precisa oferecer um sala´rio contingente ao estado da natureza. Ou seja, ele deve oferecer
um sala´rio w60 quando a receita atingir 60.000 e um outro sala´rio w30 quando a receita
for de apenas 30.000. Assim, o problema do principal e´ maximizar sua utilidade esperada,
contingente ao estado da natureza, sujeito a`s restric¸o˜es de participac¸a˜o e de compatibilidade
de incentivos do agente.
max
w60,w30
2
3
(60000− w60) + 1
3
(30000− w30)
s.t.

2
3
(
√
w60 − 62) + 1
3
(
√
w30 − 62) ≥ 114
2
3
(
√
w60 − 62) + 1
3
(
√
w30 − 62) ≥ 1
3
(
√
w60 − 42) + 2
3
(
√
w30 − 42)
Note que a segunda restric¸a˜o (compatibilidade de incentivos) esta´ dizendo que a utilidade do
agente quando realiza o esforc¸o alto (e = 6) na˜o pode ser inferior a` utilidade que ele obte´m
quando realiza o esforc¸o baixo (e = 4). Ainda, note que neste problema temos duas varia´veis -
w60, w30 - e duas equac¸o˜es nas restric¸o˜es (valem com igualdade pq as utilidades sa˜o localmente
na˜o saciadas). Portanto, podemos resolver o sistema formado pelas restric¸o˜es e substituir na
func¸a˜o objetivo.

2
3
√
w60 +
1
3
√
w30 = 150
2
3
√
w60 +
1
3
√
w30 =
1
3
√
w60 +
2
3
√
w30 + 20
3
A segunda equac¸a˜o pode ser rearranjada
1
3
√
w60 − 1
3
√
w30 = 20⇒ √w60 = 60 +√w30
Substituindo na primeira equac¸a˜o
40 +
2
3
√
w30 +
1
3
√
w30 = 150⇒ √w30 = 110⇒ w∗30 = 12100
Portanto,
√
w60 = 60 +
√
12100 = 60 + 110⇒ w∗60 = 28900
Com este contrato, a utilidade esperada do principal sera´
E(B(w, e)) =
2
3
(60000− 28900) + 1
3
(30000− 12100) = 26700
Para implementar o esforc¸o baixo (e = 4) o principal oferece o contrato no item (b). Ou seja,
w∗ = 16900, o que lhe proporciona a utilidade u∗ = 23100.
Logo, o principal prefere implementar o mecanismo que induz ao esforc¸o alto, mesmo tendo
que pagar um sala´rio me´dio maior.
3. (a) Note que agora tanto o principal quanto o agente sa˜o neutros ao risco (as utilidades sa˜o li-
neares). Isto significa que o principal na˜o precisa oferecer um sala´rio fixo. Ele pode deixar o
risco todo para o agente. O principal ira´ oferecer um contrato em que o sala´rio depende da
receita do restaurante, para cada n´ıvel de esforc¸o.
Para implementar o esforc¸o baixo (e = 0):
max
wH ,wL
0, 4(H − wH) + 0, 6(L− wL)
s.t. 0, 4wH + 0, 6wL − 0 ≥ 10
Para implementar o esforc¸o alto (e = 2):
max
wH ,wL
0, 8(H − wH) + 0, 2(L− wL)
s.t. 0, 8wH + 0, 2wL − 2 ≥ 10
Em ambos os casos, como a func¸a˜o objetivo e a restric¸a˜o sa˜o lineares, existem infinitas soluc¸o˜es.
Quaisquer wH e wL que satisfac¸a˜o as restric¸o˜es de participac¸a˜o com igualdade sa˜o soluc¸o˜espara o problema.
4
O principal ira´ adotar o esquema que lhe oferecer o maior lucro esperado.
pi(e = 0) = 0, 4H + 0, 6L− 10 = 0, 4(L+ 10) + 0, 6L− 10 = L− 6
pi(e = 2) = 0, 8H + 0, 2L− 12 = 0, 8(L+ 10) + 0, 2L− 12 = L− 4
Portanto, o principal prefere oferecer o contrato com e = 2.
(b) Com informac¸a˜o assime´trica o problema e´ garantir que o agente ira´ se esforc¸ar. No entanto,
como este e´ neutro ao risco o principal pode se livrar do risco, transferindo-o completamente ao
agente. Em outras palavras, o principal ira´ implementar um contrato do tipo aluguel, em que
o agente ira´ pagar ao principal um valor fixo α e se tornar o residual claimant. Formalmente,
o principal oferece um sala´rio
w = R(e)− α
Quando realizar o esforc¸o baixo (e = 0), o agente fica com a utilidade
0, 4H + 0, 6L︸ ︷︷ ︸
R(e=0)
−α− 0
Quando realizar o esforc¸o alto (e = 2), o agente fica com a utilidade
0, 8H + 0, 2L︸ ︷︷ ︸
R(e=2)
−α− 2
Como vimos no item anterior, com H > L+ 10 a utilidade e´ maior sob e = 2, portanto este e´
o n´ıvel de esforc¸o que o agente ira´ realizar.
Resta saber qual o valor de α o principal ira´ cobrar como aluguel. Como seu objetivo e´
maximizar seu lucro, ele ira´ cobrar o maior valor poss´ıvel desde que o agente aceite participar,
ou seja, o sala´rio de reserva - w¯ = 10.
0, 8H + 0, 2L− α− 2 = 10⇒ α = 0, 8H + 0, 2L− 12
4. (a) Se o monopolista consegue discriminar, ele ira´ maximizar o lucro em cada mercado i = 1, 2.
Assim, seu problema e´
max
ti,qi
ti − c(qi)
s.t. θiqi − ti ≥ 0
Como a restric¸a˜o vale com igualdade, sabemos que ti = θiqi. Substituindo na func¸a˜o objetivo:
5
max
qi
θiqi − c(qi)
Tirando a condic¸a˜o de primeira ordem deste problema, temos
θi = c
′(q∗i )
Ou seja, o monopolista escolhe oferecer a quantidade q∗i tal que esta igualdade seja va´lida.
(b) Para responder esta questa˜o basta mostrar que o consumidor de tipo 2 tem uma utilidade
maior com o contrato do tipo 1 do que aquela que ele teria com o seu pro´prio contrato.
Lembrando que vimos no item anterior que a restric¸a˜o de participac¸a˜o vale com igualdade e
que, portanto, t2 = θ2q2. Quando o tipo 2 fica com o seu pro´prio contrato ele ira´ obter a
utilidade
U2(q
∗
2 , t
∗
2) = θ2q
∗
2 − t∗2 = θ2q∗2 − θ2q∗2 = 0
Por outro lado, quando escolhe o contrato destinado ao tipo 1 ele obte´m a utilidade
U2(q
∗
1 , t
∗
1) = θ2q
∗
1 − t∗1 = θ2q∗1 − θ1q∗1 = q∗1 (θ2 − θ1)︸ ︷︷ ︸
>0
Esta utilidade e´ positiva porque pelo enunciado sabemos que θ1 < θ2. Portanto, o tipo 2 tera´
um incentivo para tentar se passar pelo tipo 1 e obter uma utilidade maior.
(c) Sob informac¸a˜o assime´trica o monopolista na˜o sabe com qual tipo estara´ lidando. Assim, ele
ira´ maximizar o seu lucro esperado sujeito a`s restric¸o˜es de participac¸a˜o e de compatibilidade
de incentivos de ambos os tipos.
max
q1,t1,q2,t2
pi[t1 − c(q1)] + (1− pi)[t2 − c(q2)]
s.t.

θ1q1 − t1 ≥ 0
θ2q2 − t2 ≥ 0
θ1q1 − t1 ≥ θ1q2 − t2
θ2q2 − t2 ≥ θ2q1 − t1
As duas primeiras restric¸o˜es sa˜o as restric¸o˜es de participac¸a˜o e as duas u´ltimas sa˜o as res-
tric¸o˜es de compatibilidade de incentivos.
(d) Suponha que ambas as restric¸o˜es sa˜o va´lidas. Enta˜o, podemos soma´-las ainda respeitando as
desigualdades.
θ1q1 − t1 + θ2q2 − t2 ≥ θ1q2 − t2 + θ2q1 − t1
θ1q1 −��t1 + θ2q2 −��t2 ≥ θ1q2 −��t2 + θ2q1 −��t1
θ2(q2 − q1)− θ1(q2 − q1) ≥ 0
6
(θ2 − θ1)(q2 − q1) ≥ 0
Como θ2 > θ1, para manter a desigualdade e´ preciso q2 ≥ q1. E, portanto,
t2 = θ2q2 > θ1q1 = t1
(e) Suponha que a restric¸a˜o de participac¸a˜o do tipo 1 seja va´lida e que a restric¸a˜o de compatibi-
lidade de incentivos do tipo 2 tambe´m seja. Neste caso,
θ2q2 − t2 ≥ θ2q1 − t1 > θ1q1 − t1︸ ︷︷ ︸
θ2>θ1
≥ 0
Logo,
θ2q2 − t2 ≥ 0
(f) Vamos fazer uma prova por absurdo, isto e´, iremos supor que nossa hipo´tese na˜o e´ va´lida e
mostrar que isto implica numa contradic¸a˜o lo´gica.
Sejam t∗1, q
∗
1 , t
∗
2, q
∗
2 os contratos que maximizam o lucro do monopolista. Suponha que a res-
tric¸a˜o de participac¸a˜o do tipo 1 e´ non-binding (inativa). Usando a restric¸a˜o do item anterior,
ter´ıamos
θ2q
∗
2 − t∗2 ≥ θ2q∗1 − t∗1 > θ1q∗1 − t∗1 > 0
Neste caso, o monopolista poderia aumentar marginalmente os prec¸os t1 e t2 e ainda assim es-
taria respeitando as restric¸o˜es de compatibilidade de incentivo de ambos os tipos. Mas, enta˜o,
na˜o pode ser verdade que t∗1, q
∗
1 , t
∗
2, q
∗
2 sa˜o os contratos que maximizam o lucro do monopolista.
Portanto, a restric¸a˜o de participac¸a˜o do tipo 1 (baixo) deve ser binding (ativa).
(g) Novamente, usamos a restric¸a˜o do item (e).
θ2q2 − t2 ≥ θ2q1 − t1 > θ1q1 − t1
O u´ltimo termo da desigualdade e´ a restric¸a˜o de participac¸a˜o do tipo 1, que acabamos de ver
e´ binding. Portanto,
θ2q2 − t2 ≥ θ2q1 − t1 > 0
7
Neste caso, necessariamente deve valer que
θ2q2 − t2 > 0
Assim, a restric¸a˜o de participac¸a˜o do tipo 2 e´ non-binding.
(h) Vamos comec¸ar mostrando que a restric¸a˜o de compatibilidade de incentivos do tipo 2 deve
ser binding no o´timo. Novamente, faremos uma prova por absurdo, como fizemos no item (f),
supondo que t∗1, q
∗
1 , t
∗
2, q
∗
2 sa˜o os contratos que resolvem o problema de maximizac¸a˜o de lucros
do monopolista, sujeito a`s restric¸o˜es de participac¸a˜o e compatibilidade de incentivos de ambos
os tipos.
Agora, suponha que a restric¸a˜o de compatibilidade de incentivos do tipo 2 (alto) e´ non-binding.
Neste caso, o monopolista pode aumentar infinitesimalmente o prec¸o t2 e aumentar o seu lucro
sem violar nenhuma das restric¸o˜es. Mas, enta˜o, na˜o e´ poss´ıvel que t∗2, q
∗
2 seja o contrato para
o tipo 2 que maximiza o lucro do monopolista.
Para mostrar que a restric¸a˜o de compatibilidade de incentivos do tipo 1 pode ser ignorada,
note que se a do tipo 2 for va´lida, enta˜o
θ2q2 − t2 ≥ θ2q1 − t1
θ2(q2 − q1) ≥ t2 − t1
θ2(q2 − q1) ≥ θ2q2︸︷︷︸
t2
− θ1q1︸︷︷︸
t1
Lembrando que θ2 > θ1:
θ2(q2 − q1) ≥ θ2q2︸︷︷︸
t2
− θ1q1︸︷︷︸
t1
> θ1q2 − θ1q1
Podemos enta˜o rearranjar a u´ltima desigualdade de modo que
θ1q1 − t1 > θ1q2 − t2
Portanto, sera´ sempre verdade que
θ1q1 − t1 ≥ θ1q2 − t2
Ou seja, se a restric¸a˜o de compatibilidade de incentivos do tipo 2 (alto) e´ binding e a do tipo
1 pode ser ignorada.
8
(i) Podemos enta˜o reescrever o problema do monopolista como
max
q1,t1,q2,t2
pi[t1 − c(q1)] + (1− pi)[t2 − c(q2)]
s.a.
{
θ1q1 − t1 ≥ 0
θ2q2 − t2 ≥ θ2q1 − t1
Nos itens (f) e (h) mostramos que ambas as restric¸o˜es valem com igualdade (binding). Por-
tanto,
t1 = θ1q1
t2 = θ2q2 − θ2q1 + θ1q1︸︷︷︸
t1
Podemos enta˜o substituir estas varia´veis na func¸a˜o objetivo e resolver um problema de maxi-
mizac¸a˜o na˜o restrito, em func¸a˜o apenas de q1 e q2.
max
q1,q2
pi[θ1q1 − c(q1)] + (1− pi)[θ2q2 − θ2q1 + θ1q1 − c(q2)]
CPO:
{
(q1) : piθ1 − pic′(q1)− (1− pi)(θ2 − θ1) = 0
(q2) : (1− pi)θ2 − (1− pi)c′(q2) = 0
Pela CPO de q1 temos
c′(q1) = θ1 − (1− pi)
pi
(θ2 − θ1)
E pela CPO de q2 temos
c′(q2) = θ2
Note que no caso de informac¸a˜o assime´trica, o monopolista oferece um contrato para o tipo 2
(alto) que e´ igual ao de first best - veja item (a) - enquanto que o do tipo 1 (baixo) possui uma
quantidade menor. A raza˜o para isto e´ evitar que o pacote oferecido ao tipo 2 (t2, q2) seja
atraente para o tipo 1. Lembre-se que a restric¸a˜o de compatibilidade de incentivos relevante
neste caso e´ a do tipo 2, o que significa que e´ este o tipo que tem um incentivo a tentar se
passar pelo outro.
5. Esta questa˜o e´ uma aplicac¸a˜o do cla´ssico modelo de Akerlof(Market for lemons, 1970). A explicac¸a˜o
do Nicholson me parece boa, vale a pena dar uma olhada.
(a) Se na˜o houvesse assimetria de informac¸a˜o, a qualidadede cada carro seria conhecida, de modo
que o valor pago por cada carro seria v + θ, em que v e´ a qualidade do carro.
(b) Se os vendedores possuem informac¸a˜o privada, sera˜o vendidos apenas os de baixa qualidade,
ou seja, todos os carros cuja qualidade v e´ tal que p ≥ v. Como v possui distribuic¸a˜o uniforme
no intervalo [α, β], o valor me´dio dos carros, dado que v ≤ p sera´
9
E [v|v ≤ p] = α+ p
2
Note que na pra´tica o prec¸o p funciona como um limite superior do suporte da distribuic¸a˜o de v.
(c) Como os compradores na˜o possuem informac¸a˜o sobre a qualidade, eles esta˜o dispostos a pagar
o valor esperado de v mais a constante θ. Portanto, o prec¸o pago sera´
p = E [v + θ|v ≤ θ]
p = θ +
α+ p
2
2p = 2θ + α+ p
p = 2θ + α
(d) Neste caso teremos o prec¸o
p = 0 + 2.100 = 200
Sabemos que p e´ o limite superior da distribuic¸a˜o de v. Como no intervalo [α, β] = [0, 1000]
por simples regra de treˆs a quantidade de carros vendidos no intervalo [α, p] = [0, 200] sera´
400→ 1000
x→ 200
x =
200 ∗ 400
1000
= 80
Para calcular a perda de bem estar, precisamos lembrar que o vendedor atribui ao pro´prio
ve´ıculo o valor v e que o consumidor esta´ disposto a pagar v + θ. Portanto, o excedente
social neste caso sera´ simplesmente θ em cada carro vendido. Enta˜o, a perda de bem estar e´
simplesmente a diferenc¸a entre o excedente social com informac¸a˜o perfeita e o excedente com
informac¸a˜o assime´trica.
• Excedente com informac¸a˜o perfeita: 400θ = 400 ∗ 100 = 40000
• Excedente com informac¸a˜o assime´trica: 80θ = 80 ∗ 100 = 8000
Portanto, a perda de bem estar e´
DWL = 40000− 8000 = 32000
(e) Se nenhum dos dois teˆm informac¸a˜o sobre qualidade, o prec¸o de mercado e´ a me´dia dos valores
de todos os carros. E todos eles sera˜o vendidos a este prec¸o:
10
p = E[v + θ] = θ + E[v]⇒ p = θ + α+ β
2
6. Se os vendedores tiverem informac¸a˜o privada sobre a qualidade do carro, os compradores estara˜o
dispostos a pagar no ma´ximo o valor me´dio de um carro. Para encontrar o valor me´dio, precisamos
apenas ponderar o valor que o comprador atribui a cada tipo de carro (bom e ruim), em cada
estado da natureza (com problemas e sem problemas), pela probabilidade de ocorreˆncia do estado.
Assim, temos o seguinte cena´rio do ponto de vista dos compradores
• Valor esperado do carro bom: 1
5
150 +
4
5
550 = 470
• Valor esperado do carro ruim: 3
4
150 +
1
4
550 = 250
• Valor esperado do carro: 1
2
470 +
1
2
450 = 360
A mesma ideia se aplica aos vendedores, que atribuem um valor diferente ao seu carro em cada
estado da natureza. Assim, do ponto de vista dos vendedores
• Valor esperado do carro bom: 1
5
100 +
4
5
350 = 300
• Valor esperado do carro ruim: 3
4
100 +
1
4
350 = 162, 5
Seja p o prec¸o corrente do carro neste mercado. Os equil´ıbrios poss´ıveis sera˜o:
(a) p < 162, 5: Nenhum vendedor gostaria de vender seu carro. O equil´ıbrio e´ na˜o haver mercado;
(b) 162, 5 ≤ p < 300: So´ os carros ruins sa˜o vendidos (compradores atribuem valor esperado - 360
- maior do que os vendedores - 162,5);
(c) 300 ≤ p ≤ 360: Os dois tipos ira˜o vender (compradores atribuem valor esperado maior do que
os dois tipos de vendedores);
(d) p > 360: Nenhum comprador estaria disposto a pagar mais do que o valor esperado do carro.
Novamente, na˜o ha´ mercado.
7. (a) No modelo de sinalizac¸a˜o e´ a parte informada (trabalhadores) que fornecem uma informac¸a˜o(anos
de educac¸a˜o) a` parte na˜o informada (firma) para sinalizar sua qualidade. Para que a produti-
vidade seja bem sinalizada por anos de educac¸a˜o e´ preciso que a firma consiga de fato separar
trabalhadores bons (tipo G) dos ruins (tipo B). O cutoff e0 e´ o nu´mero de anos de educac¸a˜o
que de fato separa os tipos, ou seja, que garante a existeˆncia de um equil´ıbrio separador.
Assim, as condic¸o˜es necessa´rias para que e0 de fato separe os tipos sa˜o:
• Ambos os tipos devem obter uma utilidade na˜o inferior a`quela que obteriam fora do
mercado (utilidade de reserva). Sa˜o as restric¸o˜es de participac¸a˜o dos trabalhadores;
• Nenhum dos tipos pode preferir se passar pelo outro. Sa˜o as restric¸o˜es de compatibilidade
de incentivos.
Assumindo a existeˆncia do equil´ıbrio separador, como existe um custo de adquirir escolaridade,
o tipo G ira´ obter no ma´ximo e = e0 anos de educac¸a˜o, enquanto o tipo B ira´ obter e = 0.
Assim, as restric¸o˜es de participac¸a˜o sera˜o:
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U(w(e0), e0,KG) ≥ 0
U(w(0), 0,KB) ≥ 0
Ao mesmo tempo, as restric¸o˜es de compatibilidade de incentivos sera˜o:
U(w(e0), e0,KG) ≥ U(w(0), 0,KG)
U(w(0), 0,KB) ≥ U(W (e0), e0,KB)
Note que KG e KB sa˜o caracter´ısticas intr´ınsecas aos tipos. Os indiv´ıduos na˜o tem nenhum
controle sobre este paraˆmetro. A u´nica coisa que eles escolhem diretamente e´ o nu´mero de
anos de educac¸a˜o - que indiretamente determina o sala´rio w(.).
(b) Vamos substituir as informac¸o˜es do enunciado nas restric¸o˜es acima:
2− e0
2
≥ 0⇒ e0 ≤ 4 (1)
1− 0
1
≥ 0⇒ 1 ≥ 0 (2)
2− e0
2
≥ 1− 0
2
⇒ 2− e0
2
≥ 1⇒ e0 ≤ 2 (3)
1− 0
1
≥ 2− e0
1
⇒ 1 ≥ 2− e0
1
⇒ e0 ≥ 1 (4)
No equil´ıbrio separador todas estas condic¸o˜es devem ser va´lidas. Note que a condic¸a˜o (2) e´
va´lida sempre. Assim, pelas restric¸o˜es (1), (3) e (4), para que o sinal seja efetivo devemos ter
1 ≤ e0 ≤ 2
Uma vez que os tipos sa˜o diferenciados, o tipo G ira´ escolher o menor n´ıvel de e0 poss´ıvel -
lembre-se que adquirir educac¸a˜o e´ custoso - o que significa que ele ira´ escolher e0 = 1, en-
quanto o tipo B escolhe e = 0.
8. (a) O problema do planejador central e´ escolher a quantidade de trabalhadores de cada tipo que
deve alocar para maximizar o lucro de uma firma t´ıpica.
max
LL,LH
(θL − wL)LL + (θH − wH)LH
CPO:
{
θL = wL
θH = wH
No resultado de first best, como a firma tem informac¸a˜o completa, ela oferece a cada tipo
um sala´rio igual a` sua produtividade marginal. Pelo enunciado sabemos que θL = wL = 2
e θH = wH = 8. Como os sala´rios oferecidos sa˜o mais altos do que os sala´rios de reserva -
µL = 1 e µH = 6 - todos os trabalhadores, de ambos os tipos, estara˜o dispostos a trabalhar.
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(b) Sob informac¸a˜o assime´trica, como a firma na˜o consegue distinguir os tipos, ela oferece o sala´rio
equivalente a` produtividade me´dia dos tipos. Como existe a mesma quantidade de cada tipo,
o sala´rio oferecido e´
w˜ =
1
2
θL +
1
2
θH = 4 + 1 = 5
Por este sala´rio, somente os trabalhadores do tipo L aceitam trabalhar, pois o sala´rio de re-
serva do tipo H e´ mais alto - µH = 6. O equil´ıbrio na˜o e´ eficiente, pois expulsa do mercado
os trabalhadores do tipo H.
Note que a firma ira´ operar com preju´ızo, pois ela obte´m apenas a produc¸a˜o dos tipos menos
produtivos:
pia = θL − w˜ = 2− 5 = −3
(c) O que esta´ sendo explorado neste item e´ a possibilidade de os trabalhadores adquirirem
educac¸a˜o para sinalizar o seu tipo, de modo que a firma possa pagar sala´rios diferencia-
dos. Se o sinal for eficaz, o resultado esperado e´ um equil´ıbrio separador, em que somente
os trabalhadores produtivos - tipo H - ira˜o adquirir educac¸a˜o. Sejam we o sala´rio de um
trabalhador educado e wn o sala´rio de um trabalhador na˜o educado.
As restric¸o˜es de participac¸a˜o dos tipos H e L, respectivamente, sa˜o:
we − cH ≥ µH ⇒ we − 1 ≥ 6⇒ we ≥ 7
wn ≥ µL ⇒ wn ≥ 1
Ja´ suas restric¸o˜es de incentivo sera˜o:
we − cH ≥ wn ⇒ we − wn ≥ 1
wn ≥ we − cL ⇒ we − wn ≤ 7
O equil´ıbrio separador que queremos e´ tal que todos os trabalhadores aceitem trabalhar,
recebendo como sala´rio a sua produtividade marginal. E´ fa´cil ver que os menores valores de
we e wn que satisfazem as quatro restric¸o˜es simultaneamente sa˜o we = 7 e wn = 1. Neste
caso, sabemos queLL = LH = 250
Agora, o lucro da firma sera´
pis = θH − wn + θL − wn = 8− 7 + 2− 1 = 2
Para calcular o excedente, basta calcular a diferenc¸a entre os sala´rios obtidos e os de reserva
e multiplicar pelo nu´mero de trabalhadores de cada tipo e somar o lucro das firmas.
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• Informac¸a˜o assime´trica (item b):
(w˜ − µL).LL + pia = (5− 1)250 + 1000(−3) = −2000
• Sinalizac¸a˜o:
(we − µH)LH + (wn − µL)LL + pis = (7− 6)250 + (1− 1)250 + 1000(2) = 2250
Portanto, ha´ um ganho de bem estar com a sinalizac¸a˜o, que vem do fato de que os trabalha-
dores mais produtivos entram no mercado.
(d) Precisamos apenas ajustar as restric¸o˜es do item anterior para encontrar o valor do sala´rio we
oferecido aos trabalhadores educados. Note que a u´nica restric¸a˜o que envolve o paraˆmetro µH
e´ a restric¸a˜o de participac¸a˜o do tipo H, que agora sera´
we − cH ≥ µH ⇒ we − 1 ≥ 4⇒ we ≥ 5
Como as outras restric¸o˜es na˜o mudaram, os menores valores de we e wn que satisfazem simul-
taneamente as quatro restric¸o˜es sera˜o we = 5 e wn = 1.
O lucro da firma neste modelo de sinalizac¸a˜o sera´
pis = 8− 5 + 2− 1 = 4
Repare que agora, como o sala´rio de reserva do tipo H e´ menor do que o sala´rio me´dio w˜ estes
trabalhadores aceitam entrar no mercado, mesmo no caso de informac¸a˜o assime´trica.
O sala´rio me´dio continua sendo w˜ = 5. Assim, o lucro da firma sera´
pia = θH − w˜ + θL − w˜ = 10− 10 = 0
Novamente, calculando os excedentes:
• Informac¸a˜o assime´trica (item b):
(w˜ − µL).LL + (w˜ − µH)LH + pia = (5− 1)250 + (5− 4)250 + 0 = 1250
• Sinalizac¸a˜o:
(we − µH)LH + (wn − µL)LL + pis = (5− 4)250 + (1− 1)250 + 4(1000) = 4250
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