ELETROM 5r Condutividade Dinâmica

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CAPÍTULO 5
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas
CC: Eletromagnetismo: Prof. Nilton Cardoso da Silva
ESTUDO BASEADO NO LIVRO ELETROMAGNETISMO de WILLIAM HAYT ; W, 1993
CONDUÇÃO E RESITÊNCIA
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E RESITÊNCIA
5.1 – CORRENTE E DENSIDADE DE CORRENTE 
5.2 – CONTINUIDADE DA CORRENTE
5.4 – PROPRIEDADES DOS CONDUTORES E
CONDIÇÕES DE CONTORNO
5.5 – O MÉTODO DAS IMÁGENS
5.3 – CONDUTORES METÁLICOS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS 
SEMICONDUTORES
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.1 – CORRENTE E DENSIDADE DE CORRENTE 
5.2 – CONTINUIDADE DA CORRENTE
5.4 – PROPRIEDADES DOS CONDUTORES E
CONDIÇÕES DE CONTORNO
5.5 – O MÉTODO DAS IMÁGENS
5.3 – CONDUTORES METÁLICOS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.1 – CORRENTE E DENSIDADE DE CORRENTE 
CORRENTE è carga em movimento
Unidade de CORRENTE => [AMPÈRE] [A] 
1 [A] => a passagem de 1 Coulomb de carga por segundo 
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
A corrente nos fluídos iônicos, pode ser 
tanto de elétrons quanto de prótons
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
nos metais, só elétrons se movem
Mas por convenção, definiu-se que a 
corrente elétrica I é o movimento de 
cargas positivas
I
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.1 – CORRENTE E DENSIDADE DE CORRENTE 
J é a DENSIDADE DE
CORRENTE, que é um
parâmetro microscópico
que é importante para
o estudo de campos elétricos 
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.1 – CORRENTE E DENSIDADE DE CORRENTE 
∆Q = ρ.∆V = ρ.∆S.∆L 
∆S 
∆L 
∆t ∆t
∆I = = ρ.∆S∆Q ∆x
Deslocando a carga ∆Q = ρ.∆S.∆x no tempo ∆t 
∆x 
∆L 
∆t 
∆S 
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.1 – CORRENTE E DENSIDADE DE CORRENTE 
∆t ∆t
∆I = = ρ.∆S∆Q ∆x
Jx = ρ. vx
∆I = Jx∆S 
∆I = ρ.∆S vx
J = ρ. v
Em termos vetoriais temos:
∆S ∆x 
∆L 
∆t 
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.1 – CORRENTE E DENSIDADE DE CORRENTE 
5.2 – CONTINUIDADE DA CORRENTE
5.4 – PROPRIEDADES DOS CONDUTORES E CONDIÇÕES DE 
CONTORNO
5.5 – O MÉTODO DAS IMÁGENS
5.3 – CONDUTORES METÁLICOS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.2 – CONTINUIDADE DA CORRENTE
I
I
I =
Vale o princípio das continuidade das cargas, mas podemos
criar cargas por separação e eliminá-las por recombinação.
Neste caso a corrente p/ q>0 em uma superfície fechada é:
A forma integral da equação da continuidade de q>0 para 
cargas saindo da superfície se torna
Pelo teorema da divergência esta equação se torna
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.2 – CONTINUIDADE DA CORRENTE
Se representarmos a carga q pela integral de volume
Mantendo a superfície constante
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
∆) 
5.2 – CONTINUIDADE DA CORRENTE
Se esta expressão é verdadeira para qualquer volume,
então ela é verdadeira para o volume incremental
Isto nos dá a forma pontual da equação
Indica que a corrente que sai de um
pequeno volume é a razão do 
decréscimo de carga por unidade de
volume em cada ponto
5.1 – CORRENTE E DENSIDADE DE CORRENTE 
5.2 – CONTINUIDADE DA CORRENTE
5.4 – PROPRIEDADES DOS CONDUTORES E CONDIÇÕES DE 
CONTORNO
5.5 – O MÉTODO DAS IMÁGENS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.3 – CONDUTORES METÁLICOS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.3 – CONDUTORES METÁLICOS
Banda de 
condução 
vazia
Banda de 
condução 
vazia
Banda de 
condução 
vazia
Banda de 
valência 
preenchida
Banda de 
valência 
preenchida
Banda de 
valência 
preenchida
Banda 
proibida
Banda 
proibida
Energia
a) Condutor b) isolante c) Semicondutor
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.3 – CONDUTORES METÁLICOS
J = ρe. vd
Carga do 
elétron -e
Velocidade 
média dos 
eletros ou 
de arraste 
Da seção 5.1Mobilidade 
do elétron
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.3 – CONDUTORES METÁLICOS
Aplicando a lei de Ohm num ponto e considerando J e E
uniformes como na figura 
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.3 – CONDUTORES METÁLICOS
Considerando que ∆I = J.∆S 
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.3 – CONDUTORES METÁLICOS
V= Ι
L
σS 
onde
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.3 – CONDUTORES METÁLICOS
∆I = J.∆S dI = J.dS I = J.dS 
V= RΙ
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.3 – CONDUTORES METÁLICOS
Exemplo: Seja um fio de cobre com diâmetro de 1,29X10 m e 
seção 1,309 x 10 m e comprimento de 1609 m, sabendo que a 
condutividade do cobre é 5,8x10 [Ωm] . Determine a resistência 
R
2
-3 
7
Se este fio for submetido a uma corrente elétrica de 10 Ampères 
qual será a densidade de corrente, tensão e campo elétrico, e a 
velocidade de arraste se µe = 0,0032 m / Vs para o cobre?
-6 
J=I /∆S = 10 / 1,309x10 = 7,64 x10 A / m6 2-6
V= RΙ = 21,2 . 10 = 212V 
-1
E= J/σ = 7,64x10 / 5,8x10 = 0,132 V/m 
6 7
vd= - µe E= −0,0032 . 0,132 = -0,000422 m/s 
2
5.1 – CORRENTE E DENSIDADE DE CORRENTE 
5.2 – CONTINUIDADE DA CORRENTE
5.3 – CONDUTORES NUCLEARES
5.5 – PROPRIEDADES DOS CONDUTORES E CONDIÇÕES DE 
CONTORNO
5.6 – O MÉTODO DAS IMÁGENS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.4 – Potência Capacitiva: Efeito Joule
CAPÍTULO 6 Técnicas Especiais e Práticas
6.3 – Efeito Joule
dv
dt
dlEdP Vρ.=
CAPÍTULO 6 Técnicas Especiais e Práticas
6.3 – Efeito Joule
P = R.I2
V = R.I
CAPÍTULO 6 Técnicas Especiais e Práticas
6.3 – Efeito Joule
APLICAÇÃO 
CAPÍTULO 6 Técnicas Especiais e Práticas
6.1 – Quadrados Curvilíneos: determinar a capacitância 
entre duas placas quaisquer 
6.2 – Método Iterativo: Obtenção prática de potencial 
entre pontos de 2 placas quaisquer
6.3 – Efeito Joule
CONSIDERAÇÕES FINAIS
5.1 – CORRENTE E DENSIDADE DE CORRENTE 
5.2 – CONTINUIDADE DA CORRENTE
5.3 – CONDUTORES NUCLEARES
5.5 – PROPRIEDADES DOS CONDUTORES E CONDIÇÕES DE 
CONTORNO
5.6 – O MÉTODO DAS IMÁGENS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.4 – Potência Capacitiva: Efeito Joule
Não
condutor
Condutor
5.4 – PROPRIEDADES DOS CONDUTORES E CONDIÇÕES DE CONTORNO
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
Não pode acumular carga 
estável dentro do condutor
5.4 – PROPRIEDADES DOS CONDUTORES E CONDIÇÕES DE CONTORNO
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
Pela lei de Gauss
Vácuo
Condutor
DtDn D Et
En E
∆S
∆h
a
∆h ∆h
∆w
∆w
b
cd
E=0
E≠0
E∆w = 0 Como ∆w ≠ 0 E= 0
∆h → 0
5.4 – PROPRIEDADES DOS CONDUTORES E CONDIÇÕES DE CONTORNO
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
DtDn D
∆S
∆h
∆h→0
Integrando sobre os lados e extremo do cilindro achamos a carga
5.4 – PROPRIEDADES DOS CONDUTORES E CONDIÇÕES DE CONTORNO
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
No lado e na base esta integral é nula, assim temos:
Estas são as condições de 
contorno desejadas para a 
fronteira condutor-vácuo na 
eletrostática
5.4 – PROPRIEDADES DOS CONDUTORES E CONDIÇÕES DE 
CONTORNO
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
O fluxo elétrico que deixa a superfície do 
condutor é normal à superfície do corpo:
O valor da densidade de fluxo elétrico é igual 
ao valor densidade superficial de carga
O campo tangencial é nulo, demonstra que a 
superfície do condutor é uma equipotencial 
O cálculo da DDP entre dois pontos na 
superfície condutora pela integral de linha é
E.dL = 0
1. A intensidade do 
campo elétrico dentro 
do condutor metálico é
nula
3. A intensidade do 
campo eletrostáticos na 
superfície do condutor ésempre normal a 
superfície.
2. A superfície condutora 
é equipotencial
5.1 – CORRENTE E DENSIDADE DE CORRENTE 
5.2 – CONTINUIDADE DA CORRENTE
5.3 – CONDUTORES NUCLEARES
5.4 – PROPRIEDADES DOS CONDUTORES E CONDIÇÕES DE 
CONTORNO
5.5 – O MÉTODO DAS IMÁGENS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.5 – O MÉTODO DAS IMÁGENS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
Superfície Equipotencial V = 0
+Q
-Q
V=0
4.7 –dipolo elétrico
0,2V
0,4V
0,6V
0,8V
1,0V
-1V
-.8V
-.6V
-.4V
-.2V
∞ ∞V=0 ∞
5.5 – O MÉTODO DAS IMÁGENS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
O campo potencial para a parte superior à linha 
equipotencial V=0 é semelhante em ambas figuras
+Q
Superfície Equipotencial V = 0
V=0
∞
V=0
Placa condutora
Superfície Equipotencial V = 0
+Q
-Q
∞ V=0 ≈
≈
5.5 – O MÉTODO DAS IMÁGENS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
Superfície Equipotencial V = 0
+Q
V=0
4.7 – ½ do dipolo elétrico
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-1
-.8
-.6
-.4
-.2
∞ ∞V=0 ∞
Plano da placa condutora
5.5 – O MÉTODO DAS IMÁGENS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
De forma análoga, se faço o inverso; se tomo 
um conjunto de cargas sobre um plano 
condutor infinito aterrado, e substituo por 
outro grupo de cargas, acrescentando seus 
pares simétricos em relação ao plano condutor 
infinito retirado, o potencial acima do plano é
igual 
5.5 – O MÉTODO DAS IMÁGENS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
Superfície Equipotencial V = 0
Superfície Equipotencial V = 0
+1
-4
ρL
-ρL
ρL
-1
+4
+1
-4
Placa condutora
≈
≈
Este processo é verdadeiro e reversível para 
qualquer tipo de distribuição de cargas 
5.5 – O MÉTODO DAS IMÁGENS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
Destas observações podemos dizer que quando temos um 
conjunto de cargas na presença de uma placa plana 
condutora aterrada, podemos substituir a placa plana por 
uma imagem das cargas espelhada no plano da placa. 
ρL
Plano da placa condutora
−ρLimagem da carga
carga
5.5 – O MÉTODO DAS IMÁGENS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
Exemplo: Determine a densidade superficial de carga no 
ponto P(2,5,0) do plano condutor z=0, estando presente 
uma linha de carga 30nC/m em x = 0, z = 3 conforme 
indicado na figura abaixo 
P(2,5,0)
Placa condutora aterrada 
30 nC/m
x
y
z
5.5 – O MÉTODO DAS IMÁGENS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
Exemplo: Determine a densidade de campo no ponto 
P(2,5,0) do plano condutor z=0, estando presente uma 
linha de carga -30nC/m em x = 0, z = 3 conforme indicado 
na figura abaixo 
P(2,5,0)
Placa condutora
30 nC/m
x
y
z
Plano da placa condutora
30 nC/m
x
y
-30 nC/m
z
R+
R_
5.5 – O MÉTODO DAS IMÁGENS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
Fazendo a superposição dos campos da linha e sua imagem. 
Obtemos os vetores radiais que une a linha ao ponto P.
R+ = 2.ax -3.az e
R- = 2.ax +3.az
O campo no ponto P 
é normal ao plano, 
D = ε0E = -2,2 nC/m
ρs < 0
2
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.1 – CORRENTE E DENSIDADE DE CORRENTE 
5.2 – CONTINUIDADE DA CORRENTE
5.4 – PROPRIEDADES DOS CONDUTORES E
CONDIÇÕES DE CONTORNO
5.5 – O MÉTODO DAS IMÁGENS
5.3 – CONDUTORES METÁLICOS
CONSIDERAÇÕES FINAIS