ELETROM 6c Dielétricos e Capacitores (1)

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CAPÍTULO 6 
DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas
CC: Eletromagnetismo: Prof. Nilton Cardoso da Silva
ESTUDO BASEADO NO LIVRO ELETROMAGNETISMO de WILLIAM HAYT ; W, 1993
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
5.9 – CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
5.9 – CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS 
PARALELOS
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
semicondutores intrínsecos
SILÍCIO
GERMÂNIO
Elétrons (-)
Lacunas (+)
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
Banda de 
valência 
preenchida
Energia
Semicondutor
Banda proibida
Banda de condução 
vazia
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
Composição e formação do núcleo
NeutronsPrótons Prótons
Alta pressão 
gravitacional 
no interior 
das estrelas
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
Prótons
Neutrons
Núcleo Atômico
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
Elétrons 
Núcleo
Átomo
Órbitas
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
Camadas 
de Energia:
k = 2 elétrons
l = 8 elétrons
m = 18 elétrons
n = 32 elétrons
0 = 32 elétrons
p = 18 elétrons
q = 2 elétrons
m = 4 elétrons
l = 8 elétrons
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
m = 18 elétrons
k = 2 elétrons
Silicio -14
n = 4 elétrons
m = 18 elétrons
l = 8 elétrons
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
Germânio - 32
k = 2 elétrons
n = 32 elétrons
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES (Sobre Aquecimento)
Banda de condução
Banda proibida
Aquecimento fornece 
energia aos átomos 
da banda de valência 
que saltam p/ a 
banda de condução
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES (Sobre pressão)
Pressão fornece 
energia aos átomos 
da banda de valência 
que saltam p/ a 
banda de condução
Banda de condução
Banda proibida
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
Condutividade
Mobilidade µ
Concentração ρ Lacuna ou buraco h
Elétron e
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
Germânio
Mobilidade µ
Concentração ρ
Lacuna h Elétron e
Silício
Lacuna h Elétron e
0,360,17 0,0250,12
m
Vs
2
Condutividade σ
4,0 C/m3 4,0 C/m 0,11 C/m 0,11 C/m2 3 3
2,1|C/m|-1 0,00162|C/m|2,1|C/m|-1 0,00162|C/m|-1 -1
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
Na processo chamado dopagem, um átomo doador de 
elétron ou lacuna, conhecido como impureza doadora, 
aumenta significativamente o número de portadores de 
carga e a condutividade do material
Semicondutores intrínsecos satisfazem a lei de ohm, 
microscopicamente, condutividade mantém constante 
com o aumento da corrente e na direção da densidade 
de corrente 
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
Doador de elétrons => material semicondutor tipo n 
Doador de lacunas => material semicondutor tipo p 
10 de impurezas, aumenta de 10 a condutividade -7 5 
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
5.9 – CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS 
PARALELOS
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
DIELÉTRICOS SÃO ARRANJOS MICROSÓPICOS DE DIPOLOS
Banda de condução
Banda proibida
Banda de 
valência
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
DIELÉTRICOS SÃO ARRANJOS MICROSÓPICOS DE DIPOLOS
DIELÉTRICOS NÃO SÃO CONDUTORES
NÃO TEM LIGAÇÕES LIVRES
Cargas ligadas ou 
de polarização
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
Q é a carga + do dipolo
d é a forma vetorial da distância
p momento de dipolo
pi é o momento de cada dipolo por volume Cm
n é número de dipolos (moléculas / m )
∆v o volume considerado
3
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
∆S E
Material Dielétrico
P envolve uma quantidade n.∆v de 
moléculas, mas em termos 
incrementais pequena: 
n.∆v
P é o momento de 
cada dipolo por 
volume C/m 2
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
∆S
+
-
+
+
+
+ +
+
+
++
+
+
+
1/2d.cosθ
1/2d.cosθ
∆S
θ
-
- -
-
-
-
-
-
-
-
-
A densidade volumétrica de carga de polarização age como densidade 
volumétrica de cargas livres, tendo um efeito semelhante a Lei de 
Gauss
1/2d.cosθ . ∆S
1/2d.cosθ . ∆S
volume
Projeção 
de d em ∆S
d
+Q
−Q
n Q d.cosθ . ∆S
O número de moléculas que atravessa a superfície ∆S é
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
Em termos e produto escalar 
Sendo ∆S uma superfície fechada, a acréscimo é dirigido 
para fora (-), indicando que o acréscimo líquido dentro da 
superfície é
Que é análoga a lei de Gauss
Onde a carga livre envolvida por ∆S 
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
Combinando as três últimas equações
ou em termos gerais
Quando o material se torna polarizável temos a carga livre envolvida 
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
Considerando as várias densidades volumétricas envolvidas temos
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
das três equações anteriores a última temos:
Em engenharia trabalhamos com materiais isotrópicos, onde 
E e P são paralelos e linearmente relacionados. 
Susceptibilidade 
elétrica do 
material
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
Cristais simples podem ser anisotrópicos, polarizado na 
direção do eixo de cristalização e não de E
Materiais ferrelétricos além de anisotrópicos, tem histerese
Constante de 
proporcionalidade
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
Do que vimos 
anteriormente
permissividade
Permissividade relativa do material
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
Tabela das 
Permissividades 
relativas de alguns 
materiais
(HAYT Jr. 95)
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
Para os MATERIAIS ANISOTRÓPICOS, D, E (e P) não são 
paralelos, então usamos as três equações abaixo
Tensores
Neste caso as 
equações ao lado 
continuam valendo, 
mas ε é interpretado 
como tensor
Relação ente D e E
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
A densidade de fluxo 
relacionada a cargas livres é
dada na forma da Lei de 
Gauss na forma integral
Quando trabalhamos com materiais isotrópicos é suficiente usar
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
Exemplo: seja uma placa de teflon 0 ≤ x ≤ a entre o espaço livre, fora 
do teflon o campo elétrico uniforme é dado por Eext = E0ax V/m. A 
constante dielétrica do teflon é 2,1 e sua susceptibilidade é 1.1. 
EncontreDint e Pint.
Fora do Teflon DEXT = ε0 E0ax , como não há material dielétrico 
em Pex =o, usando uma da últimas equações obtemos que 
a
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS SEMICONDUTORES
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
5.9 – CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS 
PARALELOS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
Para analisar o campo D no interior do 
dielétrico precisamos considerar as 
CONDIÇÕES DE CONTORNO
Dn1
∆S
∆h
Dn2
a
∆ h
∆ w
∆ w
b
c
d
Etg1
Etg2
Região 1
Região 2
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
A ddp entre dois pontos próximos da superfície separados por 
∆W é a mesma imediatamente acima e abaixo da superfície
Se o campo potencial é descontínuo através da fronteira, D 
tangencial é descontínuo pois:
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
Dn1
∆S
∆h
Dn2
Região 1
Região 2
As condições de contorno para as normais são dadas pela 
gaussiana cilíndrica cujos lado são 
Desprezíveis, fornece o fluxo dado por:
onde
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
A densidade de carga não é a densidade de polarização do 
dielétrico que é nula. Mas consideramos o aumento da 
permissividade. Esta carga foi colocada ali deliberadamente, 
desbalanceando o equilíbrio das cargas no dielétrico, em geral 
considerar ρS = 0 na superfície. Assim.
O componente normal de D é contínua. então
E a componente normal de E é descontínua.
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
D1
Dn1
Dtg1
Dtg2
Dn2 ε2
ε1 α1
α2
D2
Baseado nas últimas considerações, façamos haver um ângulo 
entre D e E,
Como as componentes de 
D são contínuas, 
escrevemos 
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
A razão entre as componentes tangenciais é dada por
Que fornece
ou
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
ε1>ε2 e da figura anterior vimos que a2>a1
As direções de D e E são idênticas
pois D = ε E
Assim das últimas 4 equações temos:
D1
Dn
1
Dtg1
Dtg2
Dn
2
ε2
ε1 α1
α2
D2
Então o módulos de E é:
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
Teflon
eR = 2,1
χe =1,1
E = E0 E = E0
D = ε0E0
P = 0
D = ε0E0
P = 0
x = ax = 0
Exemplo: Agora podemos encontrar o D e E dentro do Teflon
Se D é contínuo dentro Dint =Dext = ε0E0 ax 
Isto fornece Eint =Dint/ε = ε0E0 ax / (εR.ε0) = 0,476E0 ax
Se D = ε0E+P, o campo de polarização 
é Pint =Dint - ε0 Eint = ε0E0 ax - 0,476 ε0 E0 ax = 0,524 ε0 E0 ax
E = 0,476E0
D = ε0E0
P = 0,524ε0E0
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
Resultando
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
As condições de contorno entre um condutor e um dielétrico
são mais simples que no problema acima, pois D e E são 
nulo dentro do condutor
Aplicando Gauss
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
D e E são normais na superfície do condutor, logo Dn = ρS
ser En = ρS/ε que diferencia do campo no espaço livre dos 
condutores pela substituição de ε0 por ε Assim:
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
Como as cargas induzidas no condutor chegam a superfície?
Da lei de Ohm temos:
e a equação da continuidade
J e ρ só envolve cargas livres logo podemos escrever:
ou
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
Considerando o meio homogêneo tal que σ e ε não seja 
função da posição
Usando a primeira lei de Maxwell para obter
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
Considerando que σ não fosse função de ρ. Isto no 
permite comparar condutores diferentes, então 
rearranjando e integrando temos:
ρ0 É a densidade de carga em t=0. Isto mostra o decaimento 
exponencial de ρ com uma constante de tempo ε/σ. A 
constante de decaimento para a água destilada p.ex. é
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
Isto significa que qualquer carga colocada no interior da água 
destilada decairá de 37% do seu valor inicial em 1 µs. Isto é
característico dos bons condutores. 
1µs
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS SEMICONDUTORES
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
5.9 – CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS 
PARALELOS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.9 – CAPACITÂNCIA
M2
M1
+
+
+
+
+
++++
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
-
----
-
-
-
ε
dielétrico
Sejam dois metais M1 e M2
com cargas Q simétricas 
envoltos por um dielétrico
Metal 1
Metal 2
φ
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.9 – CAPACITÂNCIA
M2
M1
+
+
+
+
+
++++
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
-
----
-
-
-
ε
dielétrico
φ
Precisa-se realizar trabalho para levar cargas de M1 para 
M2 contra o fluxo de campo
Designando a ddp entre M1 e 
M2 como V0, podemos definir a 
capacitância dos dois como
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.9 – CAPACITÂNCIA
Em termos gerais podemos substituir Q por uma integral de 
superfície sobre o condutor positivo e V0 pelas integral de 
linha a do condutor com Q<0 para o condutor com Q>0 
A capacitância é constante e não depende de Q nem de V0, 
Mas somente da forma, dimensões das placas e 
permissividade do material
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.9 – CAPACITÂNCIA
A capacitância é medida em Farads [F] que equivale a C/V
Sub múltiplios de Farads [F] são: 
µF ou micro Farad = 10 F
nF ou nano Farad = 10 F
pF ou pico Farad = 10 F
-6
-9
-12 
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.9 – CAPACITÂNCIA
z = d
E
z=0
Superfície condutora -ρs
Superfície condutora +ρs
Densidade superficial
Uniforme de cargas
Determinando a capacitância de um par de placas com 
dimensões infinitas, paralelas, idênticas, estando a primeira 
no plano z=0 com distribuição de carga +ρs e a segunda no 
plano z=d com distribuição de carga –ρs. Assim o campo E 
entre elas é: (z)
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.9 – CAPACITÂNCIA
Onde a permissividade do meio é ε e a densidade de campo é
VS
Dn
Dn
A carga no condutor inferior é >0, D aponta para cima e seu valor é
A densidade de carga na superfície do condutor superior 
Onde a densidade de carga é >0, estabelecendo a ddp entre elas
D
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.9 – CAPACITÂNCIA
A capacitância é proporcional à área 
S dos planos que são infinitas. Como 
S é muito maior que d, podemos 
simplesmente representar a 
capacitância em função de S. Na 
Prática E e ρs são quase uniforme 
entre as placas nos pontos não 
adjacentes ao perímetro: Assim:
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.9 – CAPACITÂNCIA
z = d
E
z=0
Superfície 
condutora
Exemplo: Determinar a capacitância do par de placas com 
dielétrico de mica εR = 6, área S = 0,064516 m separados 
por d = 2,54x10 cm, sabendo que ε0 = 8,854x10
(z)
2
-4
C = 6 x 8,854x10 x = 1350 pF0,000254-12
-12
0,064516
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.9 – CAPACITÂNCIA
A área S de um capacitor, pode ser grandemente 
aumentada, enrolando longas fitas ou empilhando de 50 a 
100 sandwíches de placas condutoras intercaladas com 
isolantes, 
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.9 – CAPACITÂNCIA
Se mais de 2 placas são envolvidas no capacitor, as capacitâncias 
parciais entre elas pode ser definida, conforme Maxwell.
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS SEMICONDUTORES
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
5.9 – CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS 
PARALELOS
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
Exemplo: determinar a capacitância do par de placas coaxial 
abaixo: 
a
b
d
Vimos que 
ln (b/a)V0 = Q
2piε0 de que 
então
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
Vimos que o campo e o potencial da 
esfera é dado por:
a
b
Exemplo: determinar a capacitância do par cascas esféricas
Então a capacitância será:
+Q
-Q
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
Fazendo a o raios da esfera externa b>>a, obtemos a 
capacitância de um condutor esférico isolado
Lim 
b→∞
Se o raio a for de 1 metro C= 0,556 pF no espaço livre
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
Suponha no espaço livre, cobrindo esta esfera, haja uma 
camada diferente com ε = ε1, indo de r = a a r = r1
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
Então a ddp é
Assim a Capacitância é
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
Placas 
Condutoras
ε2 d2
ε1 d1
d
Área S
C
Seja um par de placas planas de área S com dimensões 
infinitas, paralelas, idênticas, afastadas de d << S que tem 
como capacitância C = ε1S/d, usando-se um dielétrico de 
permissividade ε2, fazendo a fronteira entre os dois dielétricos 
paralela às placas do capacitor. 
Onde C1 = ε1.S/d1
está em paralelo 
com C2 = ε2.S/d2
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
Opção I: As intensidades de campo nas 2 regiões E1 e E2 é a 
mesma e uniforme e o potencial aplicado é V0 = E1 d1 + E2 d2.
Portanto a densidade de carga é
Na interface do dielétrico Dn1=Dn2 ou ε1E1 = ε2E2
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
Como D1 = D2, o módulo da densidade de cargas é o mesmo 
em cada placa, a capacitância é dada por
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
Opção 2: Considerando uma carga Q numa das placas, 
levando a densidade Q/S e a um valor D = Q/S. verificamos 
que Dn1=Dn2e D é normal. Então ou E1 = D/ε1 = Q / E1S
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
Como a resposta seria alterada se um terceiro plano condutor 
for na interface de ambos dielétricos? 
Considerando as carga Q superficiais iguais, ignorando a 
passagem direta da linhas de campo entre as placas 
condutoras, não ocorrem modificações se o condutor tiver 
espessura constante.
A capacitância cresceria de a distância entre as placas fossem 
mantidas, pois reduziria a espessura dos dielétricos.
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
Se os dielétricos forem colocados com a fronteira normal as 
placas, ou seja ocupando cada um uma parte da seção S que 
se divide em S1 e S2. Então a ddp V0 produziria campos E1 =
E2 = V0 / d tangenciais á face onde encontramos D1, D2, ρs1, 
ρs2, e Q e com eles a capacitância
Placas 
Condutoras
d
Área S
L
L/2 L/2
ε1 d
ε2
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS SEMICONDUTORES
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
5.9 – CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS 
PARALELOS
D D
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS
(-a,0,0)
(a,0,0)
R2
R1
x
2a
-ρL +ρL
y
z
Considera a linha de dois fios abaixo
O potencial do fio positivo em P é
V
P
y
x
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS
Considerando o potencial dos dois fios em P temos:
Considerando R10 = R20 = a e R1 = (x-a)ax+yaY; R2 = (x+a)ax+yay
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS
Para conhecer as equipotenciais, manipulamos e escolhemos 
V = V1, logo temos que:
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS
Reagrupando os termos de mesma potências temos que:
Esta é uma equação de um cilindro
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS
Mostra que V = V1 é uma superfície independente de z 
interceptando o plano xy em um cilindro de raio b 
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS
Agora se pode especificar um problema físico achando uma 
capacitância entre o condutor de raio b e um plano a uma 
distância h do cilindro. Os condutores atuam como circuitos 
equipotenciais. Escolhendo o círculo de raio r = b, centro (x=h e 
y=0) e resolvendo
para a localização a
Da linha de cargas, 
e K1 = f(V1)
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS
Considerando que o plano está no potencial 0, e a ddp é V1
V1
Assim o módulo da carga no cilindro, no plano, ou na linha 
equivalente de cargas é ρL pela lei de Gauss, e a capacitância 
para o fio de comprimento L, logo:
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS
O Cilindro de raio b = 5[m] é uma equipotencial de 100[V] e 
seu centro se encontra a 13[m] de um plano onde V=0 em 
que com tem o eixo y. Valores numéricos são obtidos para:
1 - a carga por unidade de comprimento no cilindro 
2 – a capacitância entre o cilindro e o plano
3 – a posição da equipotencial de 50V e
4 – a posição da linha filamentar de cargas para outras 
equipotenciais. 
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS
E = grad (V) e D = εE
b=5
Linha equivalente de cargas
V=0V
P
l
a
n
o
 
e
q
u
i
p
o
t
e
n
c
i
a
l
 
e
n
t
r
e
 
a
s
 
l
i
n
h
a
s
(x)
(y)
h=13
V=50V
Cilindro
p/ (h; b; K1)=(13; 5; 25)
ρL=3,45x10 C/m, a =12
a=12
b=13,4
p/ (h; b; K1)=(18; 13,4; 5)
ρL é invariável
C = 2piε0L = 34,5 [pF/m]
ln 5
-9
V=100V
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS
(x)
(y)
C = 2piεL
ln (2h/b) p/ b>>a
h
h
CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA
5.6 – SEMICONDUTORES
5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS
5.9 – CAPACITÂNCIA
5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS
Considerações finais