Álgebra Linear I - Poli - P1 - 2010

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Questão Alternativa
1 c
2 c
3 e
4 a
5 d
6 a
7 d
8 b
9 b
10 d
11 c
12 d
13 e
14 a
15 b
16 e
 
Questão http://itamaraty.ime.usp.br/mat/2457/Gabaritos/P1/Gabarito-P1-1-2010...
1 de 1 11/02/2011 19:01
Q1. Sejam ~u,~v, ~w, ~p, ~q ∈ V 3 vetores na˜o nulos, com ~u 6= ~v. Pode-se afirmar
que:
(a) se ~w e´ ortogonal a ~u e a ~v enta˜o {~u,~v, ~w} e´ uma base positiva;
(b) proj~u ~p = proj~v ~q se e somente se ~p = ~q;
(c) {~u,~v, ~u ∧ ~v} e´ linearmente dependente se e somente se {~u,~v} e´ linear-
mente dependente;
(d) ~u · ~v = 0 se e somente se {~u,~v} e´ linearmente independente;
(e) os vetores ~u+ ~v e ~u− ~v sa˜o ortogonais.
Q2. Sejam OABC um tetraedro e X o ponto tal que
−−→
AX = 2
−−→
XC.
�
�
�
�
�
�cc
c
c
c
c
cc�
�
�aaaaaaaas
A
B
C
O
X
As coordenadas do vetor
−−→
BX na base
{−→
OA,
−−→
OB,
−−→
OC
}
sa˜o:
(a)
(−1, 13 , 23);
(b)
(
1,−13 , 23
)
;
(c)
(
1
3 ,−1, 23
)
;
(d)
(
2
3 ,
1
3 ,−1
)
;
(e)
(
1,−23 , 13
)
.
Q3. Seja E uma base ortonormal positiva de V 3 e considere os vetores
~u = (1, 0,−1)E , ~v = (−1, 2, 1)E e ~w = −~u ∧ ~v. Seja ~t a projec¸a˜o ortogonal
de ~v sobre ~u. Pode-se afirmar que:
(a) {~u,~v, ~w} e´ uma base positiva de V 3;
(b) ~t · ~w 6= 0;
(c) ~u ∧ ~w = −~v;
(d) a soma das coordenadas na base E do vetor ~t e´ igual a 2;
(e) {~t, 2~v, ~w} e´ uma base positiva de V 3.
Q4. Seja E = {~u,~v, ~w} uma base de V 3, com ~u ortogonal a ~v. Considere as
seguintes afirmac¸o˜es:
(I) dados α, β, γ ∈ R, enta˜o {α~u, ~u+ β~v, ~u+~v+ γ ~w} e´ uma base de V 3
se e somente se αβγ 6= 0;
(II) a base E e´ ortogonal se e somente se ~u+ ~v e ~w sa˜o ortogonais;
(III) a base E e´ ortogonal se e somente se proj~u ~w = ~0 e proj~v ~w = ~0.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras;
(b) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ verdadeira;
(c) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ verdadeira;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras;
(e) todas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras.
Q5. Sejam ~u,~v ∈ V 3 vetores na˜o nulos. Se ~u e ~v sa˜o paralelos e teˆm
sentidos contra´rios, ‖~u‖ = a e ‖~v‖ = b, com a 6= b, enta˜o pode-se afirmar
que a projec¸a˜o ortogonal de ~u− ~v sobre ~u+ ~v e´ igual a:
(a) a−ba+b (~u+ ~v);
(b) −ab (~u+ ~v);
(c) a+ba−b (~u− ~v);
(d) a+ba−b (~u+ ~v);
(e) − ba (~u+ ~v).
Q6. Sejam ~u,~v, ~w ∈ V 3 vetores unita´rios linearmente independentes. Sejam
α e β, respectivamente, as medidas dos aˆngulos entre ~u e ~v e entre ~v e ~w.
Suponha que tais aˆngulos sejam agudos. Enta˜o ‖proj~u ~v ∧ proj~v ~w‖ e´ igual
a:
(a) 12 sen(2α) cos(β);
(b) 2 sen(2β) cos(α);
(c) 2 sen(β) cos(2α);
(d) 12 sen(α) cos(2β);
(e) 12 sen(α) + cos(α).
Q7. Seja E uma base ortonormal positiva de V 3 e sejam A, B, C pontos
tais que: −−→
AB = (1, 0, 1)E ,
−→
AC = (α, β, 0)E ,
com α, β ∈ R. Se o comprimento da altura, relativa a` base AB, do para-
lelogramo determinado pelos vetores
−−→
AB e
−→
AC e´ igual a 1, pode-se afirmar
que:
(a) α2 + (β2 − 1) = 0;
(b) α2 − (β2 − 1) = 0;
(c) α2 − 2(β2 − 1) = 0;
(d) α2 + 2(β2 − 1) = 0;
(e) α2 + 2(β2 + 1) = 0.
Q8. Considere o cubo ABCDEFGH de aresta unita´ria ilustrado na figura
abaixo:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A B
FE
C D
HG
Considere o espac¸o V 3 orientado de modo que a base
{−−→
AB,
−−→
FH,
−−→
BF
}
seja
positiva. Pode-se afirmar que:
(a)
−−→
GH ∧ −−→GE = −−→DH;
(b)
−−→
AB ∧ −−→FH = −→AE;
(c)
−−→
CD ∧ −−→DB = −−→CG;
(d)
−−→
HF ∧ −−→FB = −−→BA;
(e)
−−→
AB ∧ −−→FH = −→EA.
Q9. Seja E uma base ortonormal de V 3 e seja F = {~u,~v, ~w} a base de V 3
tal que ~u = (1, 0, 0)E , ~v = (1, 1, 0)E e ~w = (1, 1, 1)E . Dados α, β, γ ∈ R,
sabendo-se que os vetores (α, β, γ)F e (2,−1,−1)F sa˜o ortogonais, pode-se
afirmar que:
(a) 3β + 2γ = 0;
(b) 2β + 3γ = 0;
(c) 2β − 3γ = 0;
(d) 3β − 2γ = 0;
(e) 2α− β − γ = 0.
Q10. Considere o cubo ABCDEFGH de aresta unita´ria ilustrado na figura
abaixo e o espac¸o V 3 orientado de modo que a base
{−−→
AB,
−→
AF,
−→
AG
}
seja
positiva.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A B
CD
E F
HG
Pode-se afirmar que o vetor
−→
AF ∧ −−→AH e´ igual a:
(a) (1,−1, 0)E , onde E =
{−−→
AB,
−−→
AD,
−→
EA
}
;
(b) (−1, 1, 0)E , onde E =
{−−→
AB,
−→
AE,
−−→
AD
}
;
(c) (0, 1,−1)E , onde E =
{−−→
AD,
−→
AE,
−−→
BA
}
;
(d) (1,−1, 0)E , onde E =
{−−→
AB,
−→
AE,
−−→
AD
}
;
(e) (−1, 1, 0)E , onde E =
{−−→
AB,
−−→
AD,
−→
EA
}
.
Q11. Sejam E = {~e1, ~e2, ~e3} e F = {~f1, ~f2, ~f3} bases de V 3. Assuma que E
seja ortonormal e que ~f1 = ~e2, ~f2 = ~e1 + ~e3 e ~f3 = ~e1 + 2~e2 − ~e3. Considere
as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) os vetores (1,−2, 1)F e (2, 1, 3)E sa˜o linearmente independentes;
(II) os vetores (1,−2, 1)F e (2, 1, 3)E sa˜o ortogonais;
(III) as bases E e F na˜o teˆm a mesma orientac¸a˜o.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras;
(b) todas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras;
(c) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ verdadeira;
(d) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ verdadeira;
(e) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ verdadeira.
Q12. Seja E uma base ortonormal de V 3 e considere os vetores:
~u = (x, y, z)E , ~a = (0, 1, 1)E , ~b = (1, 1, 0)E ,
com x, y, z ∈ R. Se o vetor ~u e´ ortogonal ao vetor ~b e proj~a ~u = 12 ~a, pode-se
afirmar que:
(a) 2x− y − z + 1 = 0;
(b) 2x− y + z + 1 = 0;
(c) 2x+ y + z + 1 = 0;
(d) 2x+ y − z + 1 = 0;
(e) 2x+ y − z − 1 = 0.
Q13. Sejam ~u,~v ∈ V 3 vetores distintos na˜o nulos. Assinale a alternativa
contendo uma afirmac¸a˜o FALSA:
(a) ~u ∧ ~v = ~0 se e somente se {~u,~v} e´ linearmente dependente;
(b) ‖~u ∧ ~v‖ = ‖~u‖‖~v‖ se e somente se ~u · ~v = 0;
(c) (2~u+ 3~v) ∧ (−~u+ ~v) = 5~u ∧ ~v;
(d) se a medida do aˆngulo entre ~u e ~v e´ pi3 e se ‖~u‖ = 1, ‖~v‖ = 2 enta˜o
‖~u ∧ ~v‖ = √3;
(e) ‖~u ∧ ~v‖2 = 2‖~u‖2‖~v‖2 + (~u · ~v)2.
Q14. Sejam E = {~e1, ~e2, ~e3} uma base ortonormal positiva de V 3 e:
F = {~e1 + 2~e2 + α~e3, ~e1 − α~e2, 3~e1 ∧ 2~e2},
com α ∈ R. Pode-se afirmar que:
(a) se α < −2 enta˜o F e´ uma base positiva de V 3;
(b) F e´ uma base negativa de V 3, para todo α ∈ R;
(c) F e´ uma base positiva de V 3, para todo α ∈ R;
(d) se α < −2 enta˜o F e´ uma base negativa de V 3;
(e) se α < 2 enta˜o F e´ uma base positiva de V 3.
Q15. Seja E uma base ortonormal de V 3 e considere os vetores:
~m = (3, 1, 0)E , ~n = (0, 0, 1)E , ~p = (2, 0, 0)E .
Suponha que um vetor ~v ∈ V 3 tem norma igual a √3 e que ~v e´ uma combi-
nac¸a˜o linear dos vetores ~m e ~n. Se a medida do aˆngulo entre ~v e ~p e´ pi6 e a
medida do aˆngulo entre ~v e ~n e´ θ, pi2 < θ < pi, pode-se afirmar que o vetor ~v
e´:
(a) paralelo e de mesmo sentido que ~s = (3, 1,
√
2)E ;
(b) paralelo e de mesmo sentido que ~r =
(
1
2 ,
1
6 ,−
√
2
6
)
E ;
(c) paralelo e de sentido contra´rio a ~r =
(
1
2 ,
1
6 ,−
√
2
6
)
E ;
(d) paralelo e de sentido contra´rio a ~s = (3, 1,
√
2)E ;
(e) paralelo e de mesmo sentido que ~t =
(
1
2 ,
1
3 ,−
√
2
6
)
E .
Q16. Seja E uma base ortonormal de V 3 e considere os vetores:
~u = (1, 0, 1)E , ~v = (1, 1, 0)E , ~w = (x, y, z)E ,
com x, y, z ∈ R. Suponha que o vetor ~w tem norma igual a √8, que o
aˆngulo entre ~v e ~w mede pi3 e que {~u,~v, ~w} e´ linearmente dependente. Pode-
se afirmar que x+ y + z e´ igual a:
(a) 0 ou −4;
(b) −4 ou 4;
(c) 0 ou −2;
(d) 0 ou 2;
(e) 0 ou 4.