Álgebra Linear I - Poli - P1 - 2011

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TODAS AS RESPOSTAS SÃO A 
Q1. Sejam ~u,~v, ~w ∈ V 3 vetores distintos e seja L = {~u,~v, ~w}. Considere as
seguintes afirmac¸o˜es:
(I) se ~w = 2~u+ ~v enta˜o L e´ linearmente dependente;
(II) se ~v na˜o e´ combinac¸a˜o linear de ~u e ~w enta˜o L e´ linearmente inde-
pendente;
(III) se ~u+ ~v e´ paralelo a ~w enta˜o L e´ linearmente dependente.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras;
(b) todas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras;
(c) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras;
(e) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ verdadeira.
Q2. Seja L um subconjunto finito de V 3. Dizemos que L e´ um conjunto
gerador de V 3 se todo vetor de V 3 se escreve como combinac¸a˜o linear dos
elementos de L. Assinale a alternativa correta:
(a) se L e´ uma base de V 3 enta˜o L e´ um conjunto gerador de V 3;
(b) L e´ uma base de V 3 se e somente se L e´ linearmente independente;
(c) se L e´ um conjunto gerador de V 3 enta˜o L e´ uma base de V 3;
(d) se L e´ um conjunto gerador de V 3 enta˜o L e´ linearmente independente;
(e) L e´ linearmente independente se e somente se L e´ um conjunto gerador
de V 3.
Q3. Sejam ~u,~v ∈ V 3. Suponha que ‖~u‖ = √3, que ‖~v‖ = 1 e que a medida
do aˆngulo entre ~u e ~v seja igual a pi6 . O cosseno do aˆngulo entre ~u e ~u+ ~v e´
igual a:
(a) 3
√
21
14 ;
(b) 9
√
7
14 ;
(c) 9
√
21
7 ;
(d) 9
√
3
7 ;
(e) 3
√
7
14 .
Q4. Seja fixada uma orientac¸a˜o em V 3 e seja E uma base ortonormal positiva
de V 3. Considere os vetores ~u = (2, 0, 1)E e ~v = (1, 1, 3)E . Sabe-se que
{~a,~b,~c } e´ uma base ortonormal positiva de V 3, que ~a tem a mesma direc¸a˜o
e sentido que ~u, que ~b e´ combinac¸a˜o linear de ~u e ~v e que ~b tem a primeira
coordenada na base E negativa. Assinale a alternativa correta:
(a) ~a =
(
2√
5
, 0, 1√
5
)
E ,
~b =
(− 1√
6
, 1√
6
, 2√
6
)
E , ~c =
(− 1√
30
,− 5√
30
, 2√
30
)
E ;
(b) ~a =
(
1√
5
, 0, 2√
5
)
E ,
~b =
(− 2√
6
, 1√
6
, 1√
6
)
E , ~c =
(− 1√
30
,− 5√
30
, 2√
30
)
E ;
(c) ~a =
(
1√
5
, 0, 2√
5
)
E ,
~b =
(− 2√
6
, 1√
6
, 1√
6
)
E , ~c =
(
1√
30
, 5√
30
,− 2√
30
)
E ;
(d) ~a =
(
2√
5
, 0, 1√
5
)
E ,
~b =
(− 1√
6
, 1√
6
, 2√
6
)
E , ~c =
(
1√
30
, 5√
30
,− 2√
30
)
E ;
(e) ~a =
(
1√
5
, 0, 2√
5
)
E ,
~b =
(− 1√
6
, 1√
6
, 1√
6
)
E , ~c =
(− 1√
30
,− 5√
30
, 2√
30
)
E .
Q5. Sejam E uma base ortonormal de V 3, ~a = (1, 2, 2)E e ~b a projec¸a˜o
ortogonal de ~a sobre ~u = (2, 1, 0)E . Se
−→
OA = ~a e
−−→
OB = ~b enta˜o a a´rea do
triaˆngulo OAB e´ igual a:
(a) 2
√
29
5 ;
(b) 4
√
29
5 ;
(c)
√
29
5 ;
(d)
√
29
10 ;
(e)
√
29
20 .
Q6. Sejam E = {~e1, ~e2, ~e3} e F = {~f1, ~f2, ~f3} bases de V 3 tais que:
~f1 = −3~e1 + ~e2, ~f2 = 2~e1 + ~e2, ~f3 = 3~e3.
Dado ~u ∈ V 3, denote por (a, b, c) as coordenadas de ~u na base E e por
(α, β, γ) as coordenadas de ~u na base F . A matriz M tal que:αβ
γ
 = M
ab
c

e´:
(a)
−
1
5
2
5 0
1
5
3
5 0
0 0 13
;
(b)
−
1
5
1
5 0
2
5
3
5 0
0 0 13
;
(c)
−3 1 02 1 0
0 0 3
;
(d)
−3 2 01 1 0
0 0 3
;
(e)
−
1
5 1 0
1 25 0
0 0 35
.
Q7. Seja E uma base de V 3 e considere a base F de V 3 definida por:
F = {(1, 0, 2)E , (1, 1, 0)E , (0, 1,−1)E}.
Se ~u = (1, 2, 3)E enta˜o a soma das coordenadas de ~u na base F e´ igual a:
(a) 6;
(b) 7;
(c) 8;
(d) 9;
(e) 10.
Q8. Sejam ~u,~v ∈ V 3 tais que ‖~u‖ = √2, ‖~v‖ = 2 e seja λ ∈ R. Seja ~w o
vetor definido por:
~w = (~u+ λ~v) ∧ (2~u+ ~v).
Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) se a medida do aˆngulo entre ~u e ~v e´ pi4 e se λ =
1
4 enta˜o ~w e´ unita´rio;
(II) se a medida do aˆngulo entre ~u e ~v e´ 3pi4 e se λ =
1
4 enta˜o ~w e´ unita´rio;
(III) se a medida do aˆngulo entre ~u e ~v e´ pi2 e se λ =
1
3 enta˜o ~w e´ unita´rio.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras;
(b) todas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras;
(c) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras;
(e) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ verdadeira.
Q9. Sejam E uma base de V 3, m ∈ R, ~u1 = (1,m, 0)E , ~u2 = (1, 0,m)E e
~u3 = (1, 2, 1)E . Assinale a alternativa contendo uma afirmac¸a˜o FALSA:
(a) se m 6= 0 enta˜o todo vetor de V 3 se escreve como combinac¸a˜o linear de
~u1, ~u2 e ~u3;
(b) se m = 2 enta˜o {~u1, ~u2, ~u3} e´ linearmente independente;
(c) se m = 5 enta˜o (3,−2, 4)E e´ combinac¸a˜o linear de ~u1, ~u2 e ~u3;
(d) se m = 3 enta˜o ~u3 e´ combinac¸a˜o linear de ~u1 e ~u2;
(e) se m = 7 enta˜o {~u1, ~u2, ~u3} e´ uma base de V 3.
Q10. Sejam ~u,~v, ~w ∈ V 3 vetores na˜o nulos. Considere as seguintes afir-
mac¸o˜es:
(I) proj~u ~v = proj~u ~w se e somente se ~u · (~v − ~w) = 0;
(II) se ~u ∧ ~v 6= ~0 enta˜o ~w = proj~u ~w + proj~v ~w + proj(~u∧~v) ~w;
(III) ‖proj~u ~v ‖ = ‖~v‖ se e somente se ~u ∧ ~v = ~0.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras;
(c) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras;
(d) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ verdadeira;
(e) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ verdadeira.
Q11. Considere o triaˆngulo ABC ilustrado na figura abaixo:
�
�
�
�
�
�
�
��
HH
HH
HH
HH
HH
HH
HH
HH
HH
XXX
XXX
XXX
XXX
XXX
XXX
XXX
 
 
 
 
A B
C
X
D
r
r
O ponto X esta´ sobre o segmento AC e o ponto D esta´ sobre o segmento
BX. Se 6
−−→
AD = 2
−−→
AB + 3
−→
AC, pode-se afirmar que:
(a) 4
−−→
AX = 3
−→
AC;
(b) 3
−−→
AX = 2
−→
AC;
(c) 5
−−→
AX = 4
−→
AC;
(d) 2
−−→
AX =
−→
AC;
(e) 5
−−→
AX = 3
−→
AC.
Q12. Seja E uma base ortonormal de V 3. Se ~u,~v ∈ V 3 sa˜o tais que:
~u ∧ ~v = (2,−1, 2)E , ~u · ~v = 3
√
2,
pode-se afirmar que:
(a) ‖~u‖‖~v‖ = 3√3;
(b) ‖~u‖‖~v‖ = 3√2;
(c) ‖~u‖‖~v‖ = 2√3;
(d) ‖~u‖‖~v‖ = 4√3;
(e) ‖~u‖‖~v‖ = 2√2.
Q13. Sejam ~u,~v ∈ V 3 vetores unita´rios tais que 4 ~u ·~v = 3 e sejam α, β ∈ R.
Se ~w ∈ V 3 e´ tal que:
~w = α~u+ β~v + ~u ∧ ~v, ~w · ~u = 1, ~w · ~v = 2,
pode-se afirmar que:
(a) α+ β = 127 ;
(b) α+ β = 95 ;
(c) α+ β = 138 ;
(d) α+ β = 113 ;
(e) α+ β = 107 .
Q14. Considere o cubo ABCDEFGH ilustrado na figura abaixo:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A B
FE
D C
GH
Sejam F , G as bases de V 3 definidas por:
F = {−→AC, 2−→AG,−2−−→AH}, G = {2−−→AB,−−→BH,−−→AC}.
Pode-se afirmar que o determinante da matriz de mudanc¸a de base MGF e´
igual a:
(a) 2;
(b) 12 ;
(c) 8;
(d) 18 ;
(e) 4.
Q15. Seja fixada uma orientac¸a˜o em V 3 e seja E uma base ortonormal
positiva de V 3. Se ~u = (2,−1, 1)E e se ~v ∈ V 3 e´ tal que ~u ∧ ~v = (1, 2, 0)E
e ~u · ~v = 0, pode-se afirmar que a soma das coordenadas de ~v na base E e´
igual a:
(a) −23 ;
(b) −56 ;
(c) −16 ;
(d) 12 ;
(e) 13 .
Q16. Sejam E = {~e1, ~e2, ~e3} uma base ortonormal de V 3 e ~u = (1,−2, 3)E .
Se ~w ∈ V 3 e´ tal que {~u, ~w} e´ linearmente dependente e ~w · ~e3 = 6, pode-se
afirmar que a soma das coordenadas de ~w na base E e´ igual a:
(a) 4;
(b) 2;
(c) 1;
(d) 3;
(e) 5.
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