Álgebra Linear I - Poli - P1 - 2013

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Questão Resposta
1 e
2 c
3 a
4 a
5 d
6 d
7 d
8 b
9 a
10 c
11 e
12 c
13 c
14 d
15 d
16 b
MAT2457 - Álgebra Linear para Engenharia I
Prova 1 - 10/04/2013
Nome: NUSP:
Professor: Turma:
INSTRUÇÕES
(1) A prova tem início às 7:30 e duração de 2 horas.
(2) Não é permitido deixar a sala sem entregar a prova.
(3) Todo material não necessário à prova (mochilas, bolsas, calculadoras, agasalhos, bonés, celulares, livros, etc.) deve ficar na frente da sala.
(4) Sobre a carteira devem permanecer apenas lápis, caneta, borracha e documento de identidade com foto.
(5) É permitida a entrada na sala até as 8:00 e não é permitida a saída da sala antes das 8:40.
(6) As respostas devem ser transferidas para a folha óptica durante as 2 horas de prova (não há tempo extra para o preenchimento da folha
óptica).
(7) Só destaque o gabarito do aluno (última folha) quando for entregar a prova. Não esqueça de anotar o tipo de prova no gabarito do aluno
(para que você possa depois conferir suas respostas com o gabarito oficial).
(8) A folha óptica deve ser preenchida com caneta esferográfica azul ou preta.
(9) Para o correto preenchimento da folha óptica siga o exemplo abaixo.
Questão 1. Seja E uma base ortonormal de V3. Considere os vetores
~u = (1, 0, 2)E e ~v = (1, 1, 1)E. Sabe-se que {~a,~b,~c} é uma base ortogonal
de V3 tal que~a e ~u têm mesma direção e tal que~b é combinação linear
de ~u e~v. Se~c = (x, y, z)E, então
a. x+ 2z = 0 e y+ z = 0
b. x− z = 0 e y− z = 0
c. x+ 2z = 0 e y = 0
d. y+ 2x = 0 e x− z = 0
e. x+ 2z = 0 e y− z = 0
Questão 2. Considere as afirmações abaixo acerca de três vetores dis-
tintos ~u,~v, ~w ∈ V3.
(I) O conjunto {~u+~v,~u− 3~w,~v+ 3~w} é linearmente dependente.
(II) Se~unão é combinação linear de~v e ~w, então~vnão é combinação
linear de ~u e ~w.
(III) Se ~w não é combinação linear de ~u e ~v, então {~u,~v, ~w} é linear-
mente independente.
Está correto o que se afirma em
a. (III), apenas.
b. (I) e (II), apenas.
c. (I), apenas.
d. (I) e (III), apenas.
e. (I), (II) e (III).
2
Questão 3. Sejam a, b1, b2, b3, b4 números reais. Então o sistema linear
ax1 + ax2 + ax3 + ax4 = b1
x1 + ax2 + ax3 + ax4 = b2
x1 + x2 + ax3 + ax4 = b3
x1 + x2 + x3 + ax4 = b4
tem solução para qualquer escolha de b1, b2, b3 e b4 se, e somente se,
a. a2 6= a
b. a 6= 2
c. a 6= 0
d. a2 6= 2a
e. a 6= 1
Questão 4. A soma dos elementos da primeira linha da inversa da
matriz

1 0 1 1
1 0 −1 1
0 1 0 1
2 0 2 0

é
a. 1/2
b. 0
c. 1
d. −1
e. −1/2
3
Questão 5. Sejam A, B,C os três vértices de um triângulo. Se
~u = 12
−→
CA+ 13
−→
CB e X é o ponto da reta que passa por A e B tal que
−→
CX é
paralelo a ~u, então
a.
−→
CX = 32
−→
CA+
−→
CB
b.
−→
CX = 13
−→
CA+ 25
−→
CB
c.
−→
CX = 35
−→
CA+ 29
−→
CB
d.
−→
CX = 35
−→
CA+ 25
−→
CB
e.
−→
CX = 37
−→
CA+ 27
−→
CB
Questão 6. Sejam ~u,~v, ~w vetores unitários de V3. Se a medida, em radi-
anos, do ângulo entre quaisquer dois desses vetores é igual a pi3 , então a
projeção ortogonal de ~u+~v− ~w sobre ~u é
a. 5~u
b. 4~u
c. 3~u
d. ~u
e. 2~u
Questão 7. Sejam ~u,~v ∈ V3 e seja α ∈ R. Assinale a alternativa que
contém uma afirmação FALSA.
a. Se α~v =~0, então α = 0 ou~v =~0.
b. Se ~u 6=~0, ~v 6=~0 e ~u ·~v = 0, então ~u e ~v são linearmente independen-
tes.
c. Se ~u+~v é ortogonal a ~u−~v, então ‖~u‖ = ‖~v‖.
d. ~u ·~v = 0 se, e somente se, ~u =~0 ou~v =~0.
e. Se ~u e ~v são ortogonais e têm a mesma norma, então ‖~u+~v‖ =√
2‖~u‖.
4
Questão 8. Sejam ~u,~v, ~w ∈ V3 vetores não nulos com {~u,~v} linear-
mente independente. Nessas condições, pode-se afirmar que
a. se {~u,~v, ~w} é linearmente independente, então {~u+~v+ ~w,~u−~v, 2~u+ ~w}
é linearmente independente.
b. se {~u,~v, ~w} é uma base ortogonal de V3, então proj~w(~u+~v) =~0.
c. se proj~u~v =~0, então proj~u ~w =~0.
d. se ~w é ortogonal a~u e a~v, então {~u,~v, ~w} pode não ser uma base deV3.
e. os vetores ~u+~v e ~u−~v são ortogonais.
Questão 9. Dado k ∈ R, a respeito do sistema linear
x2 − x3 + kx4 = 2
x1 + x3 − kx4 = 3
−kx1 + 4x2 + x3 = 1
é correto afirmar que
a. o sistema possui apenas uma variável livre, qualquer que seja k.
b. se k 6= −5, então o sistema possui apenas duas variáveis livres.
c. se k 6= −5, então o sistema é incompatível,
d. se k = −5, então o sistema possui apenas duas variáveis livres.
e. se k = −5, então o sistema é incompatível.
5
Questão 10. A segunda linha da matrix X que satisfaz
1 1 0
1 0 1
1 3 1
X =

9 −3 9 0
3 0 −6 3
6 3 −3 −3

é
a. [8 − 4 8 2]
b. [1 − 1 1 − 2]
c. [1 1 1 − 2]
d. [−5 4 − 14 − 2]
e. [1 1 1 0]
Questão 11. Sejam m e n inteiros positivos e sejam A ∈ Mm,n(R) e
B ∈ Mm,1(R). Considere o sistema linear AX = B e o sistema linear
homogêneo associado AX = 0. Considere as afirmações abaixo.
(I) Se AX = B não tem solução, então AX = 0 só tem a solução
trivial.
(II) Se AX = 0 tem infinitas soluções, então AX = B tem infinitas
soluções.
(III) Se m < n, ambos os sistemas têm infinitas soluções.
Assinale a alternativa correta.
a. Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
b. Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
c. Todas as afirmações são verdadeiras.
d. Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
e. Todas as afirmações são falsas.
6
Questão 12. O valor de k para que o sistema
x+ 2y− 4z+ 3w = 0
x+ 3y− 2z− 2w = 0
x+ 5y+ (5− k)z− 12w = 0
tenha exatamente duas variáveis livres é
a. 5
b. 4
c. 3
d. 2
e. 6
Questão 13. Seja E uma base de V3 e seja α ∈ R. Considere as seguin-
tes afirmações a respeito dos vetores ~u = (α, 1, 1)E, ~v = (1, 0,−α)E e
~w = (1, α, 1)E.
(I) Se α 6= 1, então {~u,~v, ~w} é uma base de V3.
(II) O conjunto {~u,~v} é linearmente independente para todo α ∈ R.
(III) O conjunto {~u, ~w} é linearmente independente para todo α ∈ R.
Está correto o que se afirma em
a. (II), apenas.
b. (I) e (III), apenas.
c. (I) e (II), apenas.
d. (I), (II) e (III).
e. (III), apenas.
7
Questão 14. Seja E uma base de V3 e considere os vetores
~v1 = (1, 2, 0)E, ~v2 = (0, 1,−1)E e ~v3 = (2, 3, 1)E.
Se α, β,γ ∈ R são tais que α~v1 + β~v2 + γ~v3 = ~0 e γ 6= 0, então αβ−1 é
igual a
a. 2
b. 1/2
c. −1/2
d. −2
e. 1/4
Questão 15. Seja E uma base ortonormal de V3. Considere o triângulo
ABC tal que
−→
AB = (1, 2, 3)E e
−→
BC = (4, 0, 2)E. Então, a medida da altura
relativa ao lado BC do triângulo ABC é igual a
a.
√
10
b.
√
19
c.
√
5
d. 3
e. 2
√
3
8
Questão 16. Considere o cubo de vértices A, B,C,D, E, F,G,H repre-
sentado na figura abaixo.
F
H G
E
A B
CD
Se X é o ponto da aresta BF tal que
−→
BX = 2
−→
XF e Y é o ponto da aresta
HG tal que
−→
YG = 4
−→
HY, então as coordenadas do vetor
−→
XY com respeito
à base {−→EA,−→EH,−→EF} de V3 são
a.
(
−1
2
, 1,
1
4
)
b.
(
−1
3
, 1,−4
5
)
c.
(
−1
3
, 1,
1
5
)
d.
(
1
3
, 1,−4
5
)
e.
(
1
2
, 1,−3
4
)
9
Gabarito do Aluno
Nome: NUSP:
Tipo de prova:
a b c d e
Questão
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16