Álgebra Linear I - Poli - P1 - 2016

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Q1. Sejam E uma base de V 3, a um nu´mero real e sejam ~v, ~w e ~z os vetores
definidos por:
~v = (2, 0, 1)E , ~w = (−1, 0, 2)E e ~z = (0, a, 1)E .
Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) ~v e ~w sa˜o ortogonais;
(II) o conjunto {~v, ~w,~v − proj~v ~w} na˜o e´ uma base de V 3;
(III) se ~z na˜o e´ ortogonal nem a ~v nem a ~w, enta˜o o conjunto
{proj~v ~z,proj~w ~z, ~z }
e´ linearmente dependente se, e somente se, a = 0.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(b) nenhuma das afirmac¸o˜es e´ necessariamente verdadeira;
(c) todas as afirmac¸o˜es sa˜o necessariamente verdadeiras;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras.
Q2. Seja n um inteiro positivo e sejam A e B matrizes reais n×n. Considere
as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) se a transposta da matriz A e´ igual a −A, enta˜o det(A) = −1;
(II) det(A+B) = det(A) + det(B);
(III) det(AB) = det(BA).
Assinale a alternativa correta:
(a) todas as afirmac¸o˜es sa˜o necessariamente verdadeiras;
(b) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ necessariamente verdadeira;
(c) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ necessariamente verdadeira;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o necessariamente verdadeiras.
Q3. Considere a matriz:
A =

2 1 0 −1
1 1 0 1
−1 1 1 0
1 2 0 1

e denote por At a sua transposta. Temos que det(A3)−det[3(At)−1] e´ igual
a:
(a) −26;
(b) 55;
(c) 0;
(d) 26;
(e) 81.
Q4. Seja E uma base ortonormal de V 3 e considere os vetores:
~v = (1,−1, 1)E , ~w = (−1, 1, 1)E e ~z = (1, 2,−1)E .
Se a, b, c ∈ R sa˜o tais que o vetor ~x = (a, b, c)E e´ ortogonal a ~v e a ~w e se
proj~z ~x = ~z, enta˜o a+ b+ c e´ igual a:
(a) −2√6;
(b) 4;
(c) 3;
(d) 0;
(e) −1.
Q5. Sejam n um inteiro positivo, A uma matriz real n× n e Y uma matriz
real n×1. Considere o sistema linear AX = Y , em que a matriz de inco´gnitas
reais X e´ n× 1. Pode-se afirmar que:
(a) se o sistema possui soluc¸a˜o, enta˜o det(A) = 0;
(b) se o sistema na˜o possui soluc¸a˜o, enta˜o det(A) = 0;
(c) se o sistema possui soluc¸a˜o, enta˜o det(A) 6= 0;
(d) se det(A) = 0, enta˜o o sistema na˜o possui soluc¸a˜o;
(e) se det(A) = 0, enta˜o o sistema possui infinitas soluc¸o˜es.
Q6. Sejam a, b ∈ R e considere o sistema linear
x1 + x2 = 2,
ax1 + x2 + x3 = b,
x1 + a
2x2 = 2
nas inco´gnitas reais x1, x2 e x3. Temos que esse sistema possui uma u´nica
soluc¸a˜o se, e somente se:
(a) b = 2a;
(b) a = 1;
(c) a 6= 1 e a 6= −1;
(d) a = 0;
(e) a = −1.
Q7. Sejam ~v, ~w ∈ V 3 tais que ‖~v‖ = 13, ‖~w‖ = 19 e ‖~v + ~w‖ = 26. Temos
que ‖~v − pi ~w‖2 e´ igual a:
(a) 361 + 146pi + 169pi2;
(b) 169− 146pi + 361pi2;
(c) 361− 146pi + 169pi2;
(d) 169− 73pi + 361pi2;
(e) 169 + 146pi + 361pi2.
Q8. Sejam ~v, ~w ∈ V 3 tais que ‖~v‖ = 13, ‖~w‖ = 12 e ‖~v − ~w‖ = 5. Pode-se
afirmar que:
(a) ~w = proj~w ~v;
(b) o conjunto {~v, ~w} e´ linearmente dependente;
(c) ~w = 3 proj~w ~v;
(d) ~v = proj~v ~w;
(e) ~v = 2 proj~v ~w.
Q9. Sejam a, b ∈ R e E uma base de V 3. Considere os vetores:
~v1 = (−1, 3, a)E , ~v2 = (2,−1, 1)E , ~v3 = (1, 2, 1)E e ~w = (b, 2b, 1)E .
Temos que o vetor ~w e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores ~v1, ~v2 e ~v3 se, e
somente se:
(a) ab 6= 1;
(b) a+ b = 0;
(c) a = b;
(d) a+ 2b = 0;
(e) a 6= 0 ou b = 1.
Q10. Considere no espac¸o E3 um triaˆngulo ABC e sejam D e E pontos do
segmento AC tais que
‖−−→AD‖ = 1
5
‖−→AC‖ e ‖−→AE‖ = 3
4
‖−→AC‖,
como ilustrado na figura abaixo:
�
�
�
�
�
�
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ
r
r
A B
C
D
E
Se α, β, γ, δ ∈ R sa˜o tais que −−→BD = α−−→BA + β−−→BC e −−→BE = γ−−→BA + δ−−→BC,
enta˜o:
(a) α = 15 , β =
4
5 , γ =
1
4 e δ =
3
4 ;
(b) α = 25 , β =
1
5 , γ =
3
4 e δ =
1
4 ;
(c) α = 15 , β =
2
5 , γ =
1
4 e δ =
3
4 ;
(d) α = 45 , β =
1
5 , γ =
1
4 e δ =
3
4 ;
(e) α = 25 , β =
3
4 , γ =
1
5 e δ =
1
4 .
Q11. Seja ABC um triaˆngulo equila´tero de lado unita´rio no espac¸o E3 e
seja ~v ∈ V 3 um vetor unita´rio que seja ortogonal aos vetores −−→AB e −→AC. Se
~w = 2
−−→
AB +
−→
AC + 2~v e ~z =
−−→
AB +
−→
AC,
enta˜o as coordenadas de proj~z ~w na base
{−−→
AB,
−→
AC,~v
}
sa˜o:
(a)
(
4
3 ,
4
3 , 0
)
;
(b) (4, 4, 0);
(c) (2, 1, 3);
(d)
(
3
2 ,
3
2 , 0
)
;
(e) (−1, 2, 0).
Q12. Seja n ≥ 2 um inteiro. Assinale a alternativa correta:
(a) se A e B sa˜o matrizes reais n × n tais que AB = 0, enta˜o A = 0 ou
B = 0;
(b) se A e´ uma matriz real n × n tal que det(A) = 0, enta˜o existe uma
matriz real n× n na˜o nula B tal que AB = 0;
(c) se A e C sa˜o matrizes reais n× n e det(A) = 0, enta˜o existem infinitas
matrizes B reais n× n tais que AB = C;
(d) se A e´ uma matriz real n× n tal que det(A) = 0 e B e´ uma matriz real
n× n arbitra´ria, enta˜o AB = 0;
(e) se A e B sa˜o matrizes reais n × n tais que det(A) 6= 0 e det(B) 6= 0,
enta˜o AB = BA.
Q13. Se a, b, c, d, e, f, g, h, i ∈ R sa˜o tais que:1 2 00 2 1
1 1 0
a b cd e f
g h i
 =
1 0 00 1 0
0 0 1
 ,
enta˜o abc+ def + ghi e´ igual a:
(a) 2;
(b) −4;
(c) 0;
(d) −2;
(e) 4.
Q14. Considere no espac¸o E3 um cubo de aresta unita´ria cujos ve´rtices sa˜o
A, B, C, D, E, F , G, H, em que HGFE, HEAD e HGCD sa˜o faces desse
cubo, como ilustrado na figura abaixo:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
H G
CD
E F
BA
Assinale a alternativa contendo uma afirmac¸a˜o FALSA:
(a) o conjunto
{−−→
AD,
−−→
AB,
−→
AE
}
e´ uma base ortonormal de V 3;
(b) o produto escalar de
−→
AG com
−→
AF e´ igual a −1;
(c) o conjunto
{−→
AF,
−→
AG,
−−→
AH
}
e´ linearmente independente;
(d)
−→
AG+
−−→
HE +
−−→
FD =
−−→
BC;
(e) o conjunto
{−−→
AD,
−−→
GC,
−−→
HG
}
e´ uma base de V 3 e as coordenadas do vetor−→
AG nessa base sa˜o (1,−1, 1).
Q15. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) para quaisquer pontos dois a dois distintos A,B,C,D ∈ E3, vale que
o conjunto {−−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD
}
e´ linearmente dependente se, e somente se, os pontos A, B, C e D
sa˜o coplanares;
(II) para quaisquer pontos dois a dois distintos A,B,C,D,E, F ∈ E3,
vale que o conjunto {−−→
AB,
−−→
CD,
−−→
EF
}
e´ linearmente dependente se, e somente se, os pontos A, B, C, D, E
e F sa˜o coplanares;
(III) para quaisquer vetores ~v, ~w, ~z ∈ V 3, se o conjunto {~v, ~w, ~z } e´ li-
nearmente dependente, enta˜o algum subconjunto de {~v, ~w, ~z } com
apenas dois vetores e´ linearmente dependente.
Assinale a alternativa correta:
(a) todas as afirmac¸o˜es sa˜o falsas;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras;
(c) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ verdadeira;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras.
Q16. Considere no espac¸o E3 um prisma com faces triangulares ABC e
DEF , em que AD, BE e CF sa˜o arestas desse prisma, como ilustrado na
figura abaixo:
�
�
��
@
@
@@
�
�
��
@
@
@@r
A B
D E
C
F
P
Seja P o ponto do segmento CF tal que
−−→
CP = 5
−−→
PF . A soma das coorde-
nadas do vetor
−−→
DP na base
{−−→
AB,
−→
AC,
−→
AF
}
e´ igual a:
(a) −16 ;
(b) 16 ;
(c) 0;
(d) 43 ;
(e) 1.