Eletricidade UFF-VR Solucionário 4.1 V1

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Eletricidade Aplicada Ressonância Lista 4 
“nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn” 
JwL 
L
X 
Ressonância 
wC
J
 
C
X


Reatância capacitiva: Reatância indutiva: 
“Quando a tensão aplicada na fonte e a corrente I estão em fase 
temos XC+XL=0. 
L 
R 
C 
Impedância em circuitos em série: Impedância em circuitos em 
paralelo: 
L 
R 
C 
wC
j
jwLR  
eq
Z
wC
j
jwLR
wC
j
jwLR





)(
).(
 
eq
Z
Para determinar a impedância equivalente as associações seguirão 
os mesmos critérios das associações de resistores. 
Eletricidade Aplicada Ressonância Lista 4 
Eletricidade Aplicada Ressonância Lista 4 
rad/s18.62831000.2 .2w   f
1.1) 
Neste problemas temos um circuito 
em série. Devemos determinar o 
valor de C para que o sistema esteja 
em ressonância. Para isto devemos 
determinar a impedância equivalente 
(Zeq) e igualar sua parte imaginária à 
0: 

5
4
L 
R 
V 
R= 5Ω / L=20mH / f=1000 Hz 
C 
Vale ressaltar que neste problema a frequência é apresentado em Hz e o que 
precisamos é a frequência w dada em rad/s. A transformação ocorre da seguinte 
forma: 
Agora devemos igualarar parte imaginária (parcelas que contém j) da 
Impedância equivalente à zero: 
FC
x
C
wC
wL
wC
j
jwL
wC
j
jwL
wC
j
jwLZ
XXRZ
eq
CLeq
27.1
)18.6283)(1020(
11
Logo,
05
23























Condição para 
Ressonância 
F1.27 C
Eletricidade Aplicada Ressonância Lista 4 
1.2) 

5
4
L 
R 
V 
V=100|30º 
W=1000 rad/s 
R= 5Ω 
C=20μF=20x10-6 F 
L=? 
 
C 
A tensão na resistência será máxima quando o indutor estiver em ressonância. 
Com isso podemos determinar o valor de L: 
HL
x
L
Cw
L
wC
j
jwL
wC
j
jwL
wC
j
jwLZ
XXRZ
eq
CLeq
05.0
)1000)(1020(
11
Logo,
05
262























Condição para 
Ressonância 
Aplicando a lei de Ohm: 
o
o
o
0|2
0|5
0|10
.



I
I
Z
V
IIZV
eq
eq
Zeq = R+XC+XL porem XC+XL =0, logo: 
o0|5
5



eq
eq
eq
Z
Z
RZ
Eletricidade Aplicada Ressonância Lista 4 
Assim: 
VV
V
j
x
j
wC
j
XIXV
VV
V
jjjwLXIXV
VV
V
IRV
C
C
CCC
L
L
LLL
R
R
R
90|100
)º0|2).(º90|50(
º90|5050
)1020).(1000(
.
º90|100
)º0|2).(º90|50(
º90|5050)05.0).(1000.(.
º0|10
)º0|2).(º0|5(
.
6














V0º|10 
R
V V
L
V º90|100, e VLV º90|100 
Eletricidade Aplicada Ressonância Lista 4 
1.3) 

5
4
L 
R 
V 
W=? 
R= 100Ω 
C=40μF=40x10-6 F 
L=0.5H 
 
C 
Deseja se definir a frequência que faz o circuito entrar em ressonância. Assim 
temos: 
sradw
x
w
LC
w
LC
w
wC
j
jwL
wC
j
jwL
wC
j
jwLZ
XXRZ
eq
CLeq
/6.223
)1040)(5.0(
11
1
Logo,
05
6
2


















Condição para 
Ressonância 
sradw /223.6 
Eletricidade Aplicada Ressonância Lista 4 
1.4) 

5
4
Deseja se definir a frequência que faz o circuito entrar em ressonância. Assim 
temos: 
jwLRZeq 1
2eq
Z
1
11
1
111
2
12
jwC
jwLRZ
jwC
ZZ
eq
eqeq




Para retirar o numero complexo do denominador devemos multiplica-lo pelo 
numero complexo conjugado: 
1
1
.
11
2
jwC
jwLR
jwLR
jwLRZeq










Eletricidade Aplicada Ressonância Lista 4 
L
CR
CL
w
CL
CRL
w
CL
CRL
w
LCwCRL
C
LwR
L
jwC
LwR
jwL
jwC
LwR
jwL
2
2
2
2
2
2
222
222
222
222
1.
1
1
1
0
1













Assim temos: 
L
CR
CL
w
2
1.
1

1
11
1
11
1
1
.
11
222222
2
2222
2
2
jwC
LwR
jwL
LwR
R
Z
jwC
LwjRjwLRjwLR
jwLR
Z
jwC
jwLR
jwLR
jwLRZ
eq
eq
eq



















 
Em ressonância temos: 
Eletricidade Aplicada Ressonância Lista 4 
1.5) 

5
4
Deseja se definir a frequência que faz o circuito entrar em ressonância. Assim 
temos: 
jwLRjwCR
wC
Z LCeq 



11
eq
Z
1
11
1
111
2
12
jwC
jwLRZ
jwC
ZZ
eq
eqeq




Para retirar o numero complexo do denominador devemos multiplica-lo pelo 
numero complexo conjugado: 
1
1
.
11
2
jwC
jwLR
jwLR
jwLRZeq










A fim de retirar a parte complexa do denominador multiplicaremos os termos 
pelos complexos conjugados. Isso facilita a separação entre a parte real e a 
complexa: 
22222
22
1
1
)(
)(
.
1
)(
)(
.
1
LwR
jwLR
CwR
jwcCwR
Z
jwLR
jwLR
jwLRjR
jR
jwCR
wC
Z
L
L
c
c
eq
L
L
Lc
c
Ceq














Eletricidade Aplicada Ressonância Lista 4 
Para o circuito em ressonância temos: 
))1020.(4.101())101.(61020(
)6.1020()101(
)()1(
11
0
1
262323
263
22
2
22222
2222222222
22222




















xxxx
xx
w
CLRCL
CRL
w
LwRCCwRL
LwR
L
CwR
C
LwR
jwL
CwR
jwC
LwR
jwL
CwR
jwC
c
L
Lc
LcLc
Lc
sradw /43.4537
Eletricidade Aplicada Ressonância Lista 4 
1.6) 

5
4
W=5000 rad/s 
jWR
wC
jRZ ccLeq 



6
11
eq
Z
Multiplicando pelo conjugado temos: 
136
61
)(
)(
.
)6(
)6(
.
6
11
222
22
2














CWR
jwCCWR
R
jR
Z
jWCR
jWCR
jWCR
wC
jR
jR
jRZ
c
c
L
L
eq
c
c
cL
L
Leq
Eletricidade Aplicada Ressonância Lista 4 
Para o circuito em ressonância temos: 
0610510104334
06)105()34.8)(6()105)(36()105)(8(
06636
)1(6)36(
0
136
6
525
2232332
2222
2222
2222









CxCx
CxCxCx
CWRwCwCR
CWRjRwCj
CWR
jwC
R
j
cL
cL
cL
FC 6-25x10 
1
 FC 6-23x10 
2
e 
Eletricidade Aplicada Ressonância Lista 4 
1.7) 

5
4j
wC
jwLRZeq 



11
eq
Z
Multiplicando pelo conjugado temos: 
 
 
1
1
.
)(
)(11
222
jwC
LwR
jwLR
Z
j
j
j
wC
jwLR
jwLR
jwLRZ
eq
eq












Eletricidade Aplicada Ressonância Lista 4 
Para o circuito em ressonância temos: 
Hz
w
f
sradw
xx
xx
w
CL
CRL
w
LCwCRL
jwC
LwR
jwL
jwC
LwR
jwL
159
2
1000
2
/1000
)101)(102(
)7.1020()101(
1
0
1
236
263
2
2
222
222
222















z159 Hf 