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1 a1Q1: O conjunto V = {(1, x) / x ∈ IR} com as operac¸o˜es: (1, x) + (1, y) = (1, x+ y) e α · (1, x) = (1, αx), α ∈ IR. a) E´ um espac¸o vetorial com vetor nulo (1,0). b) Na˜o e´ um espac¸o vetorial pois (0, 0) /∈ V . c) E´ um espac¸o vetorial com vetor nulo (1,1). d) Na˜o e´ um espac¸o vetorial pois (−1,−2) /∈ V . e) E´ um espac¸o vetorial com vetor nulo (0,0). a1Q2: Sejam u, v elementos de um espac¸o vetorial tais que [u] = [v]. Enta˜o, podemos afirmar que: a) {u, v} e´ base de [u, v] b) u = v c) {u, v} e´ l.d. d) u = v = 0 e) na˜o existem u, v que satisfazem as condic¸o˜es dadas. a1Q3: Se A = {u1, ..., un} e´ um subconjunto l.i. de um espac¸o vetorial V , enta˜o: a) A ∪ {v} e´ l.d. para todo v ∈ V . b) A esta´ contido em uma base de V . c) dimV = n. d) A conte´m uma base de V . e) A e´ uma base de V . a1Q4: Uma base para o subespac¸o S = {(x, y, z, w) ∈ IR4 / y − x+ w = 0 e y + z = 0} e´: a) {(1, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 0)}. b) {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. c) {(1, 0, 0, 1), (0, 1,−1,−1), (−1, 1,−1,−2)}. d) {(1, 0, 0, 1), (0, 1,−1,−1)}. e) {(0, 1,−1, 0), (1,−1, 1, 1)}. 2 a1Q5: Assinale a alternativa na qual o conjunto S e´ um subespac¸o vetorial do IR2. a) S = {(x, y) ∈ IR2 | x ∈ ZZ } b) S = {(x, y) ∈ IR2 | x+ y = 1} c) S = {(x, y) ∈ IR2 | 3x+ 2y = 0} d) S = {(x, y) ∈ IR2 | y = x2} e) S = {(x, y) ∈ IR2 | x ≥ 0} a1Q6: Assinale a alternativa FALSA: a) Se B = {p1, p2, p3, p4} e´ um subconjunto de P2(IR), enta˜o algum dos elementos de B e´ combinac¸a˜o linear dos outros treˆs. b) Se B = {p1, p2, p3} e´ um subconjunto l.i. de P2(IR), enta˜o B e´ uma base de P2(IR). c) IR2 e´ um subespac¸o vetorial do IR3. d) P2(IR) e´ um subespac¸o vetorial de P3(IR). e) Se S1 e S2 sa˜o subespac¸os vetoriais de um espac¸o vetorial V , enta˜o S1 ∩ S2 e´ um subespac¸o vetorial de V . a1Q7: Seja A = {v1, v2, ..., vn} um subconjunto de IRn. Dizemos que A e´ um conjunto linearmente independente quando: a) Se λ1v1 + λ2v2 + ...+ λnvn = 0, enta˜o v1 + v2 + ...+ vn = 0. b) Se λ1 = λ2 = ... = λn = 0, enta˜o λ1v1 + λ2v2 + ...+ λnvn = 0. c) λ1v1 +λ2v2 + ...+λnvn = 0, qualquer que seja (λ1, λ2, ..., λn) ∈ IRn. d) v1 = λ−11 λ2v2 + λ −1 1 λ3v3... + λ −1 1 λnvn, para λ1, λ2, ..., λn na˜o todos nulos. e) λ1v1 +λ2v2 + ...+λnvn = 0, somente se λ1 = λ2 = ... = λn = 0. 3 a1Q8: Assinale a alternativa na qual o conjunto dado e´ um subespac¸o de M2(IR): a) conjunto de todas as matrizes [ a b c d ] tais que a+ d = 1, b) conjunto de todas as matrizes 2× 2 com entradas inteiras, c) conjunto de todas as matrizes 2×2 que tem determinante igual a zero, d) conjunto de todas as matrizes [ a b c d ] tais que a+ d = 0, e) conjunto de todas as matrizes da forma [ 1 b c 1 ] . a1Q9: Os valores de b ∈ IR para os quais {b(t+ 1), 1− bt2, 1 + b+ bt2} e´ uma base de P2(IR) sa˜o: a) b 6= 0 e b 6= −1 b) b = 0 e b = 2 c) b = 0 e b = −1 d) b 6= 0 e b 6= −2 e) b 6= 0 e b 6= 2 a1Q10: Assinale a alternativa VERDADEIRA: a) {u1, u2, u3} na˜o gera M2(IR), ∀u1, u2, u3 ∈M2(IR). b) {p(x)} e´ l.i. se p(x) ∈ P2(IR). c) Se B = {u1, u2, u3} e´ um subconjunto do IR3, enta˜o B e´ uma base de IR3. d) {u1, u2, u3, u4, u5} gera M2(IR), ∀u1, u2, u3, u4, u5 ∈M2(IR). e) {p1(x), p2(x)} e´ base de P2(IR). a1Q11: Considere o conjunto: A = {x2 − 1, x2 − 2x+ 1, x3 − 1, x3 + 1}. Assinale a alternativa VERDADEIRA. a) A e´ uma base de P3(IR). b) A na˜o gera P3(IR). c) A gera o subespac¸o S = {p ∈ P3(IR) / p(1) = 0}. d) dim[A] = 2. e) dim[A] = 3. 4 a1Q12: Considere as seguintes afirmac¸o˜es para um espac¸o vetorial V de dimensa˜o n. I. Se W e´ um subespac¸o de V tal que dimW = dimV enta˜o W = V II. Se {v1, ..., vn} ⊂ V e´ um conjunto gerador de V enta˜o {v1, ..., vn} e´ l.i. III. Se {v1, ..., vn} ⊂ V e´ l.i. enta˜o {v1, ..., vn} e´ uma base de V . Assinale a alternativa correta: a) Apenas II e III sa˜o verdadeiras. b) Apenas I e III sa˜o verdadeiras. c) I, II e III sa˜o verdadeiras. d) Apenas II e III sa˜o falsas. e) I, II e III sa˜o falsas. a1Q13: SejamA = {1, sen2 t, cos2 t, sen t cos t} eB = {1, sen 2t, cos 2t}. Assinale a alternativa correta. a) [B] ⊂ [A] mas [A] 6= [B] b) dim[A] > dim[B] c) [A] ∩ [B] = {0} d) [A] = [B] e) dim([A] ∩ [B]) = 1 a1Q14: Qual das alternativas a seguir na˜o e´ um axioma para espac¸os vetoriais? a) Para todo x, y ∈ V tem-se x+ y = y + x. b) Para todo x, y, z ∈ V tem-se (xy)z = x(yz). c) Para todo x, y, z ∈ V tem-se (x+ y) + z = x+ (y + z). d) Para todo x ∈ V existe (−x) ∈ V tal que x+ (−x) = 0. e) Para todo x ∈ V tem-se x · 1 = x. 5 a1Q15: Para triplas linearmente independentes, (LI), de vetores {v1, v2, v3} em um espac¸o vetorial, V , qualquer podemos afirmar que: a) {v1, v2} e´ sempre linearmente dependente (LD). b) {v1, v2} pode ou na˜o ser LD, dependendo da escolha de {v1, v2, v3}. c) {v1, v2} e´ sempre linearmente independente (LI). d) {v1} e´ sempre LD. e) {v1, v2, v3} e´ base de V . a1Q16: Assinale o vetor que e´ uma combinac¸a˜o linear de u = (0,−2, 2) e v = (1,−3, 0). a) (-1,-5,0) b) (0,4,5) c) (2,-6,2) d) (1,-2,2) e) (-1,1,2) a1Q17: Seja V = [u1, ..., un], u1 6= 0. Assinale a alternativa FALSA: a) {u1, ..., un, v} e´ l.d. para todo v ∈ V b) dimV > n c) dimV ≤ n d) V e´ um conjunto infinito e) {u1, ..., un} conte´m uma base de V . a1Q18: Seja V = {(x, y) | x ∈ IR e y ∈ IR}. Assinale a alternativa em que esta´ definida uma soma que NA˜O satisfaz a propriedade u+ v = v + u, ∀u, v ∈ V : a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1x2, y1y2) b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0) c) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 − 1, y1 + y2 − 1) d) (x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 − 2y1,−x1 + y1) e) (x1, y1) + (x2, y2) = (y1 + y2, x1 + x2) 6 a1Q19: Considere o subconjunto S = {p ∈ P3(IR) | p(1) = p(−1)}. Assinale a alternativa correta: a) S na˜o e´ um subespac¸o vetorial de P3(IR). b) S e´ um subespac¸o vetorial de P3(IR) e dim S = 4. c) S e´ um subespac¸o vetorial de P3(IR) e dim S = 2. d) S e´ um subespac¸o vetorial de P3(IR) e {1, x2− 1, x3 + 1} e´ uma base para S. e) S e´ um subespac¸o vetorial de P3(IR) e dim S = 3. a1Q20: Qual dos subconjuntos U ⊂ IRn e´ um subespac¸o vetorial? a) U = {x ∈ IRn / x1 = x2 = ... = xn}. b) U = {x ∈ IRn / x21 = x22}. c) U = {x ∈ IRn / x1 = 1}. d) U = {x ∈ IRn / x1 = 2x2 + 1 = 0}. e) U = {x ∈ IRn / x1 = x2 = ... = xn = 1}.
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