Álgebra Linear I - Poli - P3 - 2009

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1Q1. Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita n ≥ 1. Assinale a
alternativa que conte´m uma afirmac¸a˜o FALSA:
(a) se B e´ um conjunto de geradores de V com n elementos enta˜o B e´ uma
base de V ;
(b) toda base de V tem n elementos;
(c) todo subconjunto de V com n elementos e´ uma base de V ;
(d) se B e´ um subconjunto linearmente independente de V com n elementos
enta˜o B e´ uma base de V ;
(e) se B e´ um subconjunto de V com n elementos e se v ∈ V na˜o esta´ em
B enta˜o o conjunto B ∪ {v} e´ linearmente dependente.
1Q2. Considere o conjunto:
A =
{
1 + x+ x2 + x3 + x4, 1 + 2x3 + 2x4, 1 + x+ x2 + x3 + 3x4
}
.
Assinale a alternativa contendo dois polinoˆmios que reunidos a A formam
uma base de P4(R):
(a) x2 + x3 e x2 − x3;
(b) x+ x2 − x3 e x− x2 + x3;
(c) x4 e 1− x4;
(d) 2 + x+ x2 + 3x3 e 2 + x− x2 − x3;
(e) 1 + x e x2 + x3.
1Q3. Sejam a, b, c ∈ R e seja S o subespac¸o de R4 dado por:
S = [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, a, b, c)].
Pode-se afirmar que:
(a) dim(S) = 3 se e somente se a = 0 e b = c;
(b) dim(S) = 4 se e somente se b 6= a e b 6= c;
(c) dim(S) = 4;
(d) dim(S) = 3 se e somente se b = c;
(e) dim(S) = 3 se e somente se −2a+ b+ c = 0.
1Q4. Sejam a ∈ R e B = {1, et, 2eat}. Pode-se afirmar que:
(a) B e´ linearmente dependente;
(b) B e´ linearmente independente;
(c) B e´ linearmente independente se e somente se a 6= 0 e a 6= 1;
(d) B e´ linearmente independente se e somente se a 6= 1;
(e) B e´ linearmente independente se e somente se a 6= 0.
1Q5. Seja S o subespac¸o de M2×3(R) definido por:
S =
{(−2w y z
w 0 u
)
: u,w, y, z ∈ R, y − z − 3u = 0, z + w + u = 0
}
.
Assinalea alternativa correta:
(a) todo subconjunto de S com 3 elementos gera S;
(b) S possui um subconjunto linearmente independente com 3 elementos;
(c) S possui um conjunto de geradores com 2 elementos;
(d) dim(S) = 3;
(e) dim(S) = 4.
1Q6. Sejam a ∈ R e B = {(1, a, 1), (1, 1, a), (a, 1, 1)}. Tem-se que B e´ uma
base de R3 se e somente se:
(a) a 6= 1 ou a 6= −2;
(b) a 6= 1 e a 6= 2;
(c) a 6= 1 e a 6= −1;
(d) a 6= 0, a 6= √2 e a 6= −√2;
(e) a 6= 1 e a 6= −2.
1Q7. Seja S o conjunto soluc¸a˜o de um sistema linear homogeˆneo com m
equac¸o˜es e n inco´gnitas, sendo m < n e pelo menos uma equac¸a˜o na˜o nula.
Assinale a alternativa que conte´m uma afirmac¸a˜o FALSA:
(a) S tem dimensa˜o finita;
(b) dim(S) ≥ n−m;
(c) dim(S) = n;
(d) o conjunto S e´ infinito;
(e) dim(S) ≥ 1.
1Q8. Seja n ≥ 2. Assinale a alternativa em que S e´ um subespac¸o vetorial
de Rn (munido das operac¸o˜es usuais):
(a) S =
{
(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1 + · · ·+ xn + 1 = 0
}
;
(b) S =
{
(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1, . . . , xn sa˜o nu´meros inteiros
}
;
(c) S =
{
(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1 > 0, . . . , xn > 0
}
;
(d) S =
{
(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x21 + · · ·+ x2n−1 = xn
}
;
(e) S =
{
(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1 + · · ·+ xn = 0
}
.
1Q9. Considere os seguintes subespac¸os de R4:
S1 =
{
(a, b, 2a, 2b) : a, b ∈ R}, S2 = [(1, 1, 2, 2), (1, 0, 2, 0), (0, 1, 0, 2)].
Assinale a alternativa correta:
(a) dim(S1) = 2, dim(S2) = 2 e S1 = S2;
(b) dim(S1) = 2, dim(S2) = 2 e S1 6= S2;
(c) dim(S1) = 2 e dim(S2) = 3;
(d) S2 ⊂ S1 e S1 6= S2;
(e) S1 ⊂ S2 e S1 6= S2.
1Q10. Considere os seguintes subespac¸os de R3:
U =
{
(x, y, z) ∈ R3 : x− y + z = 0}, W = {(x,−x, x) : x ∈ R}.
Assinale a alternativa que conte´m uma afirmac¸a˜o FALSA:
(a) dim(U +W ) = 3;
(b) dim(W ) = 1;
(c) o conjunto U ∪W e´ um subespac¸o de R3;
(d) dim(U) = 2;
(e) dim(U ∩W ) = 0.
1Q11. Considere o subespac¸o S = [1, t, t2, et − 1, et − t, et − t2] do espac¸o
vetorial de todas as func¸o˜es f : R→ R. A dimensa˜o de S e´ igual a:
(a) 3;
(b) 4;
(c) 6;
(d) 2;
(e) 5.
1Q12. Se y : R→ R e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial:
y′′ − 3y′ + 2y = 0
satisfazendo as condic¸o˜es iniciais y(0) = 1, y′(0) = 3, enta˜o y(1) e´ igual a:
(a) e− 2e2;
(b) 2e+ e2;
(c) 2e− e2;
(d) −e+ 2e2;
(e) e+ 2e2.
1Q13. Seja B = {p1, p2, p3, p4} um subconjunto de P3(R) com 4 elementos.
Pode-se afirmar que:
(a) B e´ uma base de P3(R) se e somente se B e´ linearmente independente;
(b) existe uma base de P3(R) que conte´m B;
(c) B gera P3(R);
(d) existe uma base de P3(R) contida em B;
(e) B e´ linearmente independente.
1Q14. Seja S o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial:
y′′′ − y′′ − y′ + y = 0.
Uma base de S e´:
(a) {et, e−t};
(b) {et, e−t, te−t};
(c) {et, e−t, tet};
(d) {t, et, e−t};
(e) {et, e−t, tet, te−t}.
1Q15. Assinale a alternativa que conte´m uma afirmac¸a˜o FALSA:
(a) o conjunto {1, t− 1, t2 − 1, t3 − 1} e´ uma base de P3(R);
(b) o conjunto {t − 1, t2 − t, t3 − t2} na˜o pode ser completado a uma base
de P3(R);
(c) o conjunto
{(
a b
c d
) ∈M2(R) : a+ b+ c+d = 0} e´ um subespac¸o vetorial
de M2(R);
(d) o conjunto
{(
1 1
0 0
)
,
(
0 1
1 0
)
,
(
0 0
1 1
)}
e´ linearmente independente;
(e) o conjunto
{(
1 1
0 0
)
,
(
0 1
1 0
)
,
(
0 0
1 1
)
,
(
1 0−1 0
)}
na˜o gera M2(R).
1Q16. Sejam a, b nu´meros reais na˜o nulos e considere as matrizes:
A =
(
1 0
0 −1
)
, B =
(
a a
b b
)
, C =
(
0 1
1 1
)
.
Enta˜o, a matriz
(
2 1
0 1
)
pertence ao subespac¸o de M2(R) gerado por A, B, C
se e somente se:
(a) a = 3 e b = 2;
(b) b− a = 0;
(c) 2b− 3a = 0;
(d) 3b− 2a = 0;
(e) a = 2 e b = 3.
1Q17. Sejam {u1, . . . , um}, {v1, . . . , vn} dois subconjuntos linearmente inde-
pendentes de um espac¸o vetorial V , onde u1, . . . , um sa˜o dois a dois distintos
e v1, . . . , vn sa˜o dois a dois distintos. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) se m = n enta˜o [u1, . . . , um] = [v1, . . . , vn];
(II) se [u1, . . . , um] = [v1, . . . , vn] enta˜o m = n;
(III) a dimensa˜o do subespac¸o [u1, . . . , um] e´ igual a m.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ necessariamente verdadeira;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(c) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(e) todas as afirmac¸o˜es sa˜o necessariamente verdadeiras.
1Q18. Considere os seguintes subespac¸os de R4:
U =
{
(x, y, z, t) ∈ R4 : y + z = t},
W =
{
(x, y, z, t) ∈ R4 : x− y = 0, z − t = 0}.
Assinale a alternativa correta:
(a) dim(U +W ) = 4 e dim(U ∩W ) = 1;
(b) dim(U +W ) = 3 e dim(U ∩W ) = 1;
(c) dim(U +W ) = 4 e dim(U ∩W ) = 0;
(d) dim(U +W ) = 2 e dim(U ∩W ) = 2;
(e) dim(U +W ) = 3 e dim(U ∩W ) = 2.
1Q19. Sejam V um espac¸o vetorial e {v1, . . . , vn} um subconjunto linear-
mente independente de V com n elementos. Considere as seguintes afir-
mac¸o˜es:
(I) o conjunto {v1, . . . , vn} e´ uma base de V se e somente se o conjunto
{v1, . . . , vn, v} e´ linearmente dependente para todo v ∈ V tal que
v 6∈ {v1, . . . , vn};
(II) dim(V ) ≥ n;
(III) dim(V ) = n.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(c) todas as afirmac¸o˜es sa˜o necessariamente verdadeiras;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(e) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ necessariamente verdadeira.
1Q20. Considere o subespac¸o:
S =
{
p ∈ P3(R) : p(1) = p(−1)
}
de P3(R). Uma base para S e´:
(a) {1, 1− x, x− x3};
(b) {1, x− x2, x− x3};
(c) {1, 1− x2, x− x3};
(d) {1, x2};
(e) {x2, x− x3}.