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JUROS E DESCONTO SIMPLES

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Semestre: 2017.2
Professor: Francisco Durval Oliveira
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
Do ponto de vista da Matemática Financeira o dinheiro não fica parado e se movimenta ao longo do tempo.
R$ 1.000,00 hoje não são iguais a R$ 1.000,00 em qualquer outra data.
A taxa de juros é a responsável por movimentar o valor do dinheiro ao longo do tempo.
Para uma taxa de juros de 8% a.a., é indiferente termos R$ 1.000,00 hoje ou R$ 1.080,00 daqui a um ano.
A Matemática Financeira está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que, por sua vez, está interligado à existência da taxa de juros.
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PROCESSOS DE CAPITALIZAÇÃO
A Matemática Financeira se divide em dois grandes blocos ou regimes: Regime Simples e Regime Composto:
Juros Simples – Crescimento Linear
Juros Compostos – Crescimento Exponencial
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JUROS SIMPLES
No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros do período não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros não são contabilizados e, consequentemente, não rendem juros. Assim, apenas o principal é que rende juros.
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JUROS SIMPLES
EXEMPLO NUMÉRICO:
Um investidor aplicou R$ 1.000,00 pelo prazo de quatro anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros simples. Calcular o valor do saldo credor desse investidor, no final de cada um dos quatro anos da operação.
 
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JUROS COMPOSTOS
No regime de juros compostos, os juros de cada período são somados ao capital para cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros são capitalizados e, consequentemente, rendem juros. Assim, os juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no início de cada período, e não apenas sobre o capital inicial (principal) aplicado.
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JUROS COMPOSTOS
EXEMPLO NUMÉRICO:
Um investidor aplicou R$ 1.000,00 pelo prazo de quatro anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros compostos. Calcular o valor do saldo credor desse investidor, no final de cada um dos quatro anos da operação.
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ELEMENTOS DE UMA OPERAÇÃO DE JUROS
Capital (C ou PV) – É o valor inicial a ser aplicado.
Tempo (n) – É o período de aplicação do capital, pode ser em dias, meses, trimestres, semestres, anos, etc.
Montante (M ou FV) – É o valor de resgate, ou seja, o valor que será retirado ao final da operação de juros.
Taxa (i) – É o elemento responsável pela movimentação do dinheiro ao longo do tempo. Pode ser:
 De notação percentual = 8% (utilizada nos enunciados).
 De notação unitária = 0,08 (utilizada nas fórmulas).
Juros (J) – São o resultado da aplicação da Taxa (i), no período de Tempo (n) sobre o Capital (PV).
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FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES
J = PV.i.n
J = FV - PV
FV = PV+J
 FV = PV + PV.i.n
 FV = PV(1+i.n)
PV = FV/(1+i.n)
PV = J/i.n
i = J/PV.n
n = J/PV.i
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UTILIZAÇÃO DAS FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES
Qual o valor dos juros gerados por uma aplicação de R$ 1.000,00, aplicados a uma taxa de 8% ao ano, por um período de quatro anos, no regime de juros simples?
J = PV.i.n
J = 1.000 x 0,08 x 4 = 320
Qual o Montante gerado por uma aplicação de R$ 1.000,00, aplicados a uma taxa de 8% ao ano, por um período de quatro anos, no regime de juros simples?
FV = PV(1+i.n)
FV = 1.000 (1 + 0,08 x 4)
FV = 1.000 x 1,32 = 1.320
FV = PV + J = 1.000 + 320 = 1.320
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UTILIZAÇÃO DAS FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES
Qual o Capital que aplicado a uma Taxa de juros simples de 8% ao ano, por um período de quatro anos, gera um Montante de R$ 1.320,00?
PV= FV/(1+i.n)
PV = 1.320/(1+0,08x4)
PV = 1.320/1,32 = 1.000
Qual a taxa anual de juros utilizada numa aplicação de R$ 1.000,00, por um período de quatro anos, no regime de juros simples, que gerou R$ 320,00 de juros?
i = J/PV.n
i = 320/1.000 x 4 = 320/4.000 = 0,08 ou 8% ao ano
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UTILIZAÇÃO DAS FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES
Durante quanto tempo uma aplicação de R$ 1.000,00, aplicados a uma taxa de 8% ao ano, no regime de juros simples, rende Juros de R$ 320,00?
n = J/PV.i
n = 320/1.000x0,08
n = 320/80 = 4 anos
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TAXAS PROPORCIONAIS OU EQUIVALENTES
Em toda operação de juros, Taxa e Tempo devem estar na mesma unidade, ou seja, se um está em mês, o outro também deve estar em mês, se um está em ano, o outro também deve estar em ano.
Quando Taxa e Tempo são dados em unidades diferentes, um deles deve ser ajustado à unidade do outro, no regime de juros simples, através do conceito de taxas proporcionais. 
Para se obter uma taxa proporcional a um período maior, divide-se a taxa do período maior pelo número de vezes que o período menor cabe no período maior.
Exemplo: A taxa mensal proporcional a 12% ao ano é = 12%/12 = 1% ao mês.
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TAXAS PROPORCIONAIS OU EQUIVALENTES
Para se obter uma taxa proporcional a um período menor, multiplica-se a taxa do período menor pelo número de vezes que o período menor cabe no período maior.
Exemplo: A taxa anual proporcional a 2% ao trimestre é = 2% x 4 = 8% ao ano.
Qual o Montante gerado por uma aplicação de R$ 1.000,00, aplicados a uma taxa de 2% o trimestre, por um período de quatro anos, no regime de juros simples?
2% ao trimestre = 8% ao ano
FV = PV(1+i.n)
FV = 1.000 (1 + 0,08 x 4)
FV = 1.000 x 1,32 = 1.320
FV = PV + J = 1.000 + 320 = 1.320
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JUROS SIMPLES ORDINÁRIOS OU COMERCIAIS E EXATOS
Juros Simples Ordinários ou Comerciais – Considera o ano com 360 dias e todos os meses com 30 dias.
Juros Simples Exatos - Considera o ano com 365 dias e os meses do ano com o número de dias do calendário comum.
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EXERCÍCIOS DE JUROS SIMPLES
Qual o valor dos juros gerados pela quantia de R$ 3.200,00, aplicada a juros simples com Taxa de 2% ao mês, durante um período de 9 meses?
Qual o Montante acumulado, no final de 15 meses, a partir de um Capital de R$ 5.000,00, aplicado a uma Taxa de juros simples de 1% ao mês?
Quanto devo aplicar hoje para obter um Montante de R$ 12.000,00 daqui a 10 meses, considerando uma Taxa de juros simples de 2% ao mês?
Um Capital de R$ 20.000,00, aplicado por um período de 5 meses, em regime de juros simples, originou um Montante de R$ 21.000,00. Qual a Taxa de juros utilizada na operação?
Em quantos trimestres um Capital de R$ 7.000,00, aplicado a uma taxa de juros simples de 3% ao trimestre, atinge o Montante de R$ 8.680,00?
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EXERCÍCIOS DE JUROS SIMPLES
6. Qual a Taxa de juros simples mensal equivalente à Taxa 
 de juro simples de 12% ao semestre?
7. Qual a Taxa de juros simples anual equivalente à Taxa 
 de juros simples de 4% ao trimestre?
8. Calcule o Montante de uma aplicação de R$ 15.000,00, 
 aplicados durante 18 meses a uma taxa de 3% ao 
 trimestre. 
9. Qual o Capital que aplicado durante dois anos a uma 
 Taxa de juros simples de 1% ao mês, produz um
 Montante de R$ 12.400,00?
10. Qual a Taxa mensal de juros simples, necessária para
 gerar juros de R$ 1.800,00, sobre um Capital de
 R$ 5.000,00 aplicado durante 18 meses?
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ELEMETOS DE UMA OPERAÇÃO DE DESCONTO
Valor Nominal (N ou FV) – É o valor monetário em uma data futura.
Valor Atual (A ou PV), também chamado de Valor Líquido ou Valor Descontado – É o valor correspondente ao Valor Nominal quando projetado para uma data anterior.
Desconto (D) – É o valor que é reduzido do Valor Nominal para trazê-lo ao Valor Atual.
Tempo de Antecipação (n) – É o período entre a data do Valor Nominal e a data do Valor Atual.
Taxa (i ou d) – É o elemento responsável pela movimentação do dinheiro do Valor Nominal para o Valor Atual. Pode ser:
De notação percentual = 8% (utilizada nos enunciados).
De notação unitária = 0,08 (utilizada nas fórmulas).
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DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU DESCONTO POR DENTRO
FÓRMULAS DO DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU POR DENTRO:
FV = PV(1+i.n)
FV = PV+D
PV = FV/(1+i.n)
PV = FV-D
D = PV.i.n
D = FV-PV
n = D/PV.i
i = D/PV.n
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UTILIZAÇÃO
DAS FÓRMULAS DE DESCONTO SIMPLES RACIONAL 
Qual o Valor Nominal de uma operação de Desconto Simples Racional ou Por Dentro, que gerou o Valor Atual de R$ 5.000,00, tendo sido usada uma Taxa de desconto de 4% ao mês e um período de 5 meses?
FV = PV(1+in)
FV = 5.000(1+0,04x5)
FV = 5.000x1,20 = 6.000
Um título de Valor Nominal de R$ 6.000,00, a vencer daqui a cinco meses, é submetido a uma operação de Desconto Simples Racional ou Por Dentro, a uma taxa de 4% ao mês. Qual o Valor Atual gerado?
PV = FV/(1+i.n)
PV = 6.000/(1+0,04x5)
PV = 6.000/1,20 = 5.000
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UTILIZAÇÃO DAS FÓRMULAS DE DESCONTO SIMPLES RACIONAL 
Um título, a vencer em cinco meses, é submetido a uma operação de Desconto Simples Racional ou Por Dentro, a uma taxa de 4% ao mês, gerando um Valor Atual de R$ 5.000,00. Qual o valor do Desconto da operação?
D = PV.i.n
D = 5.000x0,04x5
D = 5.000x0,20 = 1.000,00
Um título é submetido a uma operação de Desconto Simples Racional ou Por Dentro, a uma Taxa de 4% ao mês, gerando um Valor Atual de R$ 5.000,00 e um Desconto de R$ 1.000,00. Qual o período de tempo utilizado na operação?
n = D/PV.i
n = 1.000/5.000x0,04
n = 1.000/200 = 5 meses
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UTILIZAÇÃO DAS FÓRMULAS DE DESCONTO SIMPLES RACIONAL 
Um título, a vencer em cinco meses, é submetido a uma operação de Desconto Simples Racional ou Por Dentro, gerando um Valor Atual de R$ 5.000,00 e um Desconto de R$ 1.000,00. Qual a Taxa mensal de Desconto utilizada na operação?
i = D/PV.n
i = 1.000/5.000x5
I = 1.000/25.000 = 0,04 ou 4% ao mês.
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DESCONTO SIMPLES COMERCIAL OU DESCONTO POR FORA
FÓRMULAS DO DESCONTO SIMPLES COMERCIAL OU POR FORA:
FV = PV/(1-i.n)
FV = PV+D
PV = FV(1-i.n)
PV = FV-D
D = FV.i.n
D = FV-PV
n = D/FV.i
i = D/FV.n
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UTILIZAÇÃO DAS FÓRMULAS DE DESCONTO SIMPLES COMERCIAL 
Qual o Valor Nominal de uma operação de Desconto Simples Comercial ou Por Fora, que gerou o Valor Atual de R$ 4.800,00, tendo sido usada uma Taxa de desconto de 4% ao mês e um período de 5 meses?
FV = PV/(1-in)
FV = 4,800/(1-0,04x5)
FV = 4.800/0,80 = 6.000
Um título de Valor Nominal de R$ 6.000,00, a vencer daqui a 5 meses, é submetido a uma operação de Desconto Simples Comercial ou Por Fora, a uma Taxa de 4% ao mês. Qual o Valor Atual gerado?
PV = FV(1-i.n)
PV = 6.000(1-0,04x5)
PV = 6.000x0,80 = 4.800
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UTILIZAÇÃO DAS FÓRMULAS DE DESCONTO SIMPLES COMERCIAL 
Um título de R$ 6.000,00, a vencer em cinco meses, é submetido a uma operação de Desconto Simples Comercial ou Por Fora, a uma Taxa de 4% ao mês. Qual o valor do Desconto da operação?
D = FV.i.n
D = 6.000x0,04x5
D = 6.000x0,20 = 1.200
Um título de R$ 6.000,00 é submetido a uma operação de Desconto Simples Comercial ou Por Fora, a uma Taxa de 4% ao mês, gerando um Desconto de R$ 1.200,00. Qual o período de tempo utilizado na operação?
n = D/FV.i
n = 1.200/6.000x0,04
n = 1.200/240 = 5 meses
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UTILIZAÇÃO DAS FÓRMULAS DE DESCONTO SIMPLES COMERCIAL 
Um título de R$ 6.000, a vencer em cinco meses, é submetido a uma operação de Desconto Simples Comercial ou Por Fora, gerando um Desconto de R$ 1.200,00. Qual a Taxa mensal utilizada na operação?
i = D/FV.n
i = 1.200/6.000x5
I = 1.200/30.000 = 0,04 ou 4% ao mês.
Lembrete:
A exemplo das operações de juros, em toda operação de Desconto, Taxa e Tempo devem estar na mesma unidade, ou seja se um está em mês, o outro também deve estar em mês, se um está em ano, o outro também deve estar em ano.
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RELAÇÃO ENTRE DESCONTO SIMPLES RACIONAL E DESCONTO SIMPLES COMERCIAL 
Df = Dd(1+i.n)
Dd = Df/(1+i.n)
if = id/(1+id.n)
id = if/(1-if.n)
Exemplos: 
Uma operação de Desconto Simples a uma taxa de 4% ao mês, num prazo de 5 meses, origina um Desconto Por Dentro de R$ 1.000,00. Qual seria o Desconto Por Fora que seria gerado com a mesma taxa e o mesmo tempo?
Df = Dd(1+i.n)
Df = 1.000(1+0,04x5)
Df = 1.000x1,20 = 1.200
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RELAÇÃO ENTRE DESCONTO SIMPLES RACIONAL E DESCONTO SIMPLES COMERCIAL 
Uma operação de Desconto Simples a uma Taxa de 4% ao mês, num prazo de 5 meses, origina um Desconto Por Fora de R$ 1.200,00. Qual seria o Desconto Por Dentro que seria gerado com a mesma Taxa e o mesmo Tempo?
Dd = Df/(1+i.n)
Dd = 1.200/(1+0,04x5)
Df = 1.200/1,20 = 1.000
Qual a Taxa de Desconto Simples Por Fora que gera um Desconto equivalente ao gerado por uma Taxa de Desconto Simples Por Dentro de 2% ao mês num prazo de 5 meses?
if = id/(1+id.n)
if = 0,02/(1+0,02x5)
If = 0,02/1,10 = 0,0182 = 1,82%
Qual a Taxa de Desconto Simples Por Dentro que gera um Desconto equivalente ao gerado por uma Taxa de Desconto Simples Por Fora de 1,82% ao mês num prazo de 5 meses?
id = if/(1-if.n)
if = 0,0182/(1-0,0182x5)
If = 0,0182/0,91 = 0,02 = 2%
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EXERCÍCIOS DE DESCONTO SIMPLES 
Uma empresa recebe, hoje, R$ 12.000,00 por um título que venceria daqui a seis meses, através de uma operação de Desconto Simples Racional ou Por Dentro, com uma Taxa de 2% ao mês. Qual o Valor Nominal do Título?
Um título de R$ 21.000,00 foi descontado quatro meses antes de seu vencimento, a uma Taxa de Desconto Simples Racional ou Por Dentro de 5% ao mês. Determine o Valor Atual recebido.
Uma dívida no valor de R$ 21.600,00 vence dentro de quatro meses. Calcule o valor do Desconto obtido, se ela for paga hoje com um Desconto Simples Racional ou por Dentro, a uma Taxa de 2% ao mês.
Uma duplicata foi descontada antes do seu vencimento, gerando um Valor Atual de R$ 6.250,00 e um Desconto de R$ 1.500,00, a uma Taxa de Desconto Simples Racional ou Por Dentro de 3% ao mês. Qual o Tempo da operação?
Um título de R$ 15.000,00 foi resgatado 10 meses antes do vencimento pelo valor de R$ 12.000,00, através de uma operação de Desconto Simples Racional ou Por Dentro. Qual a Taxa de desconto utilizada na operação?
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EXERCÍCIOS DE DESCONTO SIMPLES 
6. Um título sofre um Desconto Simples Comercial ou Por Fora e é
 resgatado por R$ 12.000,00, oito meses antes do seu vencimento,
 a uma Taxa de 5% ao mês. Qual o Valor Nominal desse título?
7. Utilizando o Desconto Simples Comercial ou Por Fora, qual o valor 
 que devo pagar, hoje, por um título com vencimento daqui a cinco 
 meses, se seu Valor Nominal é R$ 30.000,00, considerando uma 
 Taxa de 4% ao mês?
8. Uma dívida no valor de R$ 24.000,00 vence dentro de seis meses.
 Calcule qual o valor do Desconto Simples Comercial ou Por Fora 
 obtido, se ela for paga, hoje, considerando uma Taxa de 2% ao mês?
9. Um título com Valor Nominal de R$ 10.000,00 é resgatado por
 R$ 8.600,00, utilizando-se uma Taxa de Desconto Simples Comercial 
 ou Por Fora de 2% ao mês. Qual o Tempo desta operação?
10. Um título de R$ 24.000,00, a vencer em seis meses, foi quitado, 
 hoje, por R$ 19.680,00, utilizando-se o Desconto Simples Comercial 
 ou Por Fora. Determine a Taxa de Desconto utilizada.
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Plan1
	Crescimeto de R$ 1.000,00 a juros simples de 8% a.a.
	Ano	Saldo no início do ano	Juros do ano	Saldo no final do ano
	1	* 1,000.00	8% x 1.000,00 = 80,00	* 1,080.00
	2	* 1,080.00	8% x 1.000,00 = 80,00	* 1,160.00
	3	* 1,160.00	8% x 1.000,00 = 80,00	* 1,240.00
	4	* 1,240.00	8% x 1.000,00 = 80,00	* 1,320.00
Plan2
Plan3
Plan1
	Crescimeto de R$ 1.000,00 a juros compostos de 8% a.a.
	Ano	Saldo no início do ano	Juros do ano	Saldo no final do ano
	1	* 1,000.00	8% x 1.000,00 = 80,00	* 1,080.00
	2	* 1,080.00	8% x 1.080,00 = 86,40	* 1,166.40
	3	* 1,166.40	8% x 1.166,40 = 93,31	* 1,259.71
	4	* 1,259.71	8% x 1.259,71 = 100,78	* 1,360.49
Plan2
Plan3

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