JUROS E DESCONTOS COMPOSTOS

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Semestre: 2017.2
Professor: Francisco Durval Oliveira
JUROS COMPOSTOS
CONCEITO:
Juros compostos são juros calculados com base no principal original acrescido dos juros anteriormente calculados.
EXEMPLO:
Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante três anos à taxa de 10% ao ano em regime de juros compostos.
Durante o 1º ano, o juro gerado foi de 1.000(0,10) = 100, e o montante após um ano foi de R$ 1.100,00.
Durante o 2º ano, o juro gerado foi de 1.100(0,10) = 110, e o montante após dois anos foi de R$ 1.210,00.
Durante o 3º ano, o juro gerado foi de 1.210(0,10) = 121, e o montante após três anos foi de R$ 1.331,00.
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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JUROS COMPOSTOS
Fórmulas de cálculo:
A equação fundamental utilizada para cálculo dos juros compostos é a seguinte: FV = PV (1+i) onde FV é o Valor Futuro, ou o Montante acumulado após a aplicação de juros por um período de Tempo, PV é o Valor Presente, ou Capital inicial, i é a Taxa de juros compostos e n é o Tempo durante o qual o capital ficou aplicado.
O fator (1+i) é chamado de fator de acumulação de capital.
Fórmula para cálculo do Capital: PV = FV/(1+i) 
Fórmula para cálculo dos Juros: J = FV – PV
Para efeito dos cálculos de juros compostos, taxa de juros e tempo devem estar sempre na mesma unidade.
n
n
n
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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JUROS COMPOSTOS
Para facilitar o cálculo do fator de acumulação de capital, desenvolveu-se uma tabela financeira que tabula os valores desse fator para diferentes Tempos e Taxas.
Tabela do fator de acumulação de capital = (1+i)
n
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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JUROS COMPOSTOS
Cálculo do Montante e dos Juros com uso da tabela financeira.
Qual o valor do Montante e dos Juros de uma aplicação de R$ 10.000,00 aplicados a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês depois de 6 meses?
PV = 10.000
i = 2%
n = 6
FV = ?
FV = PV (1+i)
FV = 10.000 (1+0,02)
FV = 10.000 x 1,126162 = 11.261,62
J = FV-PV
J= 11.261,62 – 10.000 = 1.261,62
n
6
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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JUROS COMPOSTOS
Cálculo do Montante com uso da calculadora financeira HP12C.
Qual o Valor do Montante e dos Juros de uma aplicação de R$ 10.000,00, aplicados a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês depois de 6 meses?
PV = 10.000
i = 2%
n = 6 meses
FV = ?
FV = 10.000CHSPV 2i 6n FV = 11.261,62
J = FV-PV
J = 11.261,62 – 10.000,00 = 1.261,62
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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JUROS COMPOSTOS
Cálculo do Capital com uso da tabela financeira.
Qual o Capital que aplicado a uma Taxa de juros compostos de 3% ao mês, por um período de 8 meses, gera um Montante de R$ 25.335,40?
FV = 25.335,40
i = 3%
n = 8
PV = ?
PV = FV/(1+i)
PV = 25.335,40/(1+0,03)
PV = 25.335,40 /1,266770 = 20.000,00
n
8
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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JUROS COMPOSTOS
Cálculo do Capital com uso da calculadora financeira HP12C.
Qual o Capital que aplicado a uma Taxa de juros compostos de 3% ao mês, por um período de 8 meses, gera um Montante de R$ 25.335,40?
FV = 25.335,40
i = 3%
n = 8 meses
PV = ?
PV = 25.335,40FV 3i 8n PV = -20.000,00
PV = R$ 20.000,00
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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JUROS COMPOSTOS
Cálculo do Tempo com uso da tabela financeira.
Um Capital de R$ 15.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de 4% ao mês, obtendo-se um Montante de R$ 18.249,78. Quanto tempo durou esta operação de juros?
PV = 15.000
i = 4%
FV = 18.249,78
n = ?
FV = PV (1+i)
FV/PV = (1+i)
18.249,78/15.000 = (1+0,04)
1,216652 = (1+0,04)
n = 5 meses(Tempo na tabela para Taxa de 4% e fator 1,216652).
n
n
n
n
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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JUROS COMPOSTOS
Cálculo do Tempo com uso da calculadora financeira HP12C.
Um Capital de R$ 15.000,00 é aplicado à Taxa de juros compostos de 4% ao mês, obtendo-se um Montante de R$ 18.249,78. Quanto Tempo durou esta operação de juros?
PV = 15.000,00
i = 4%
FV = 18.249,78
n = ?
n = 15.000CHSPV 4i 18.249,78FV n = 5 meses
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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JUROS COMPOSTOS
Cálculo da Taxa com uso da tabela financeira.
Um Capital de R$ 12.000,00 é aplicado durante 7 meses, obtendo-se um Montante de R$ 16.885,20. Qual a taxa de juros compostos da operação?
PV = 12.000
n = 7 meses
FV = 16.885,20
i = ?
FV = PV (1+i)
FV/PV = (1+i)
16.885,20/12.000 = (1+i)
1,407100 = (1+i)
i = 5% ao mês (Taxa na tabela para Tempo de 7 meses e fator 1,407100)
n
n
7
7
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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JUROS COMPOSTOS
Cálculo da Taxa com uso da calculadora financeira HP12C
Um Capital de R$ 12.000,00 é aplicado durante 7 meses, obtendo-se um Montante de R$ 16.885,20. Qual a Taxa de juros compostos da operação?
PV = 12.000,00
n = 7 meses
FV = 16.885,20
i = ?
i = 12.000CHSPV 7n 16.885,20FV i = 5
i = 5% ao mês
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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JUROS COMPOSTOS
TAXA NOMINAL, TAXA EFETIVA E TAXAS EQUIVALENTES
Taxa nominal - é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Exemplo:
24% ao ano capitalizados trimestralmente
12% ao ano capitalizados mensalmente
Taxa efetiva - é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exemplos de taxas efetivas:
2% ao mês, capitalizados mensalmente;
3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente
Taxas equivalentes são taxas de juros referentes a unidades de tempo diferentes, que ao serem aplicadas a um mesmo principal, durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado, no final
daquele prazo, no regime de juros compostos.
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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JUROS COMPOSTOS
TAXA NOMINAL
Quando em um enunciado aparecer uma taxa nominal, esta deve ser transformada em taxa efetiva através do conceito de taxa proporcional (o mesmo usado em juros simples).
As taxas nominais sempre são apresentadas indicando que se referem a um período e que são capitalizadas em um período diferente.
Exemplo: Um Capital de R$ 5.000,00 é aplicado durante um prazo de 8 meses, a uma taxa de 36% ao ano, com capitalização mensal. Qual o valor do Montante e dos Juros obtidos nessa operação?
36% ao ano = 3% ao mês
FV = 5.000 x 1,266770 = 6.333,85 (Pela tabela financeira)
FV = 5.000CHSPV 8n 3i FV = 6.333,85 (Pela HP 12C)
J = FV-PV
J = 6.333,85 – 5.000,00 = 1.333,85
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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JUROS COMPOSTOS
TAXAS EQUIVALENTES
Fórmula para cálculo de taxas de juros equivalentes:
1+I = (1+i)
I = Taxa de juros do período maior
i = Taxa de juros do período menor
k = quantas vezes o período menor cabe no período maior.
Exemplo: Taxa de juro semestral equivalente a taxa de juro de 2% ao mês.
1+I = (1+0,02)
1+ I = 1,126162
I = 1,126162 – 1 = 0,126162 = 12,62%
k
6
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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JUROS COMPOSTOS
TAXAS EQUIVALENTES COM CALCULADORA HP 12C
TRANSFORMAR TAXA DE UM PERÍODO MENOR EM TAXA DE UM PERÍODO MAIOR
Exemplo: Transformar taxa de 2% mensal em taxa anual
100CHSPV 12ENTER1 tecla divisão n 2i FV RCL PV + = 26,82
Passos
HP 12C
Resposta
1º
100
CHS
PV
 
2º
Tempo do período maior ENTER tempo do período menor
Tecla divisão
n
 
3º
Taxa do período menor
 
i
 
4º
 
 
FV
 
5º
RCL
PV
+
Taxa período maior
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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JUROS COMPOSTOS
TAXAS EQUIVALENTES COM CALCULADORA HP 12C.
TRANSFORMAR TAXA DE UM PERÍODO MAIOR EM TAXA DE UM PERÍODO MENOR
Exemplo: Transformar taxa de12 ,68% anual em taxa mensal
100CHSPV 12ENTER1 tecla divisão 1/X n 12,68i FV RCL PV + = 1,00
Passos
HP 12C
Resposta
1º
100
CHS
PV
 
2º
Tempo do período maior ENTER tempo do período menor
Tecla divisãoetecla 1/X
n
 
3º
Taxa do períodomaior
 
i
 
4º
 
 
FV
 
5º
RCL
PV
+
Taxa períodomenor
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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JUROS COMPOSTOS
As taxas de juros proporcionais e equivalentes são obtidas respectivamente nos regimes simples e compostos.
Tabela de comparação de taxas 
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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JUROS COMPOSTOS
Quando Taxa e Tempo estiverem em unidades diferentes, tenta-se transformar o Tempo para a mesma unidade da Taxa.
Exemplo: Um Capital de R$ 4.000,00 é aplicado a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, durante um período de tempo de um semestre. Qual o valor do Montante e dos Juros obtidos nessa operação?
1 semestre = 6 meses
FV = 4.000(1+0,02)
FV = 4.000 x 1,126162 = 4.504,65
J = FV-PV
J = 4.504,65 – 4.000,00 = 504,65
6
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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JUROS COMPOSTOS
USO DE TAXAS EQUIVALETES
Quando Taxa e tempo estiverem em unidades diferentes, tenta-se transformar o tempo para a mesma unidade da Taxa, quando isto não for possível, porque o tempo achado não é um número inteiro, faz-se necessário alterar a unidade da taxa para a unidade do tempo por meio do conceito de taxa equivalente. 
Exemplo: Um Capital de R$ 6.000,00 é aplicado a uma taxa de juros compostos de 21% ao bimestre, durante um período de tempo de 5 meses. Qual o valor do Montante e dos Juros obtidos nessa operação?
1+I= (1+i)
1+0,21 = (1+i)
1,21 = (1+i)
i = 10%
FV = 6.000(1+0,10)
FV = 6.000 x 1,610510 = 9.663,06
J = FV-PV
J = 9.663,06 – 6.000,00 = 3.663,06
2
k
5
2
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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	JUROS COMPOSTOS
Taxa Aparente e Taxa Real:
Essas denominações estão diretamente ligadas ao fenômeno da inflação.
Costuma-se denominar Taxa Aparente a Taxa de juros que inclui a inflação.
Taxa Real é a Taxa de juros obtida após se eliminar o efeito da inflação.
Assim, a Taxa Aparente é sempre maior do que a Taxa Real.
Orientações CPC-15:
Identificação de combinação de negócios 
A entidade deve determinar se uma operação ou outro evento é uma combinação de negócios pela aplicação da definição utilizada no CPC-15, a qual exige que os ativos adquiridos e os passivos assumidos constituam um negócio. Se os ativos adquiridos não constituem um negócio, a entidade deve contabilizar a operação ou evento como aquisição de ativos. 
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JUROS COMPOSTOS
Fórmula para cálculo das Taxa Aparente (1+TA) = (1+TR) . (1+TI) 
Fórmula para cálculo das Taxa Real (1+TR) = (1+TA)/(1+TI) 
TA = Taxa Aparente, TR = Taxa Real e TI = Taxa de Inflação.
Exemplo: Qual a Taxa Real de juro para uma Taxa Aparente de 21% ao ano se a Taxa de Inflação foi de 10% ao ano?
(1+TR) = (1+TA)/(1+TI)
1+TR = (1+0,21)/(1+0,10)
1+TR = 1,21/1,10 
1+TR = 1,10
TR = 1,10-1 = 0,10 ou10% ao ano
CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA
Quando há necessidade de se calcular o montante de uma operação financeira a qualquer instante, sem ter que esperar o final de um período (seja ano, semestre, trimestre, mês, dia, etc.), utiliza-se a Capitalização Contínua. Por isso, no mundo dos investimentos, especialmente ações e opções, é comum a utilização da fórmula de cálculo de juros de Capitalização Contínua. 
Fórmula da Capitalização Contínua: FV = PV.e
e é o número de Neper (ou número neperiano), que é aproximadamente igual a 2,718.
Exemplo: Calcular um Montante de um Capital de R$ 10.000,00, aplicado a uma taxa de 2% ao mês, durante 15 meses, no regime de Capitalização Contínua.
FV = PV.e
FV = 10.000 x 2,718
FV = 10.000 x 1,349817 = 13.498,17
i.n
i.n
0,02x15
EXERCÍCIOS DE JUROS COMPOSTOS
Qual o valor do Montante e dos Juros de uma aplicação de R$ 30.000,00 aplicados a uma Taxa de juros compostos de 3% ao mês depois de 12 meses?
Um Capital de R$ 14.000,00 é aplicado durante um prazo de 9 meses, a uma Taxa Nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Qual o valor do Montante e dos Juros obtidos nessa operação?
Um Capital de R$ 18.000,00 é aplicado a uma Taxa de juros compostos de 1% ao mês, durante um período de tempo de um ano. Qual o valor do Montante e dos Juros obtidos nessa operação? 
Um Capital
de R$ 6.000,00 é aplicado a uma Taxa de juros compostos de 21% ao bimestre, durante um período de tempo de 7 meses. Qual o valor do Montante e dos Juros obtidos nessa operação?
Qual o Capital que aplicado a uma Taxa de juros compostos de 9% ao ano, por um período de 6 anos, gera um Montante de R$ 41.927,50?
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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EXERCÍCIOS DE JUROS COMPOSTOS
6. Qual o Capital que aplicado a uma Taxa de juros compostos
 de 3% ao mês, por um período de 8 meses, gera um
 Montante de R$ 25.335,40?
7. Qual o Capital que aplicado durante um prazo de 12 meses, 
 a uma Taxa Nominal de 24% ao ano, com contabilização 
 mensal, gera um Montante de R$ 11.414,18?
8. Qual o Capital que aplicado a uma Taxa de juros compostos
 de 3% ao mês, por um período de um ano , gera um 
 Montante de R$ 15.683,36?
9. Um Capital de R$ 15.000,00 é aplicado à Taxa de juros
 compostos de 4% ao mês, obtendo-se um Montante de
 R$ 18.249,78. Quanto tempo durou esta operação de juros?
10. Um Capital de R$ 16.000,00 é aplicado durante 17 meses,
 obtendo-se um Montante de R$ 22.403,86. Qual a Taxa de
 juros compostos da operação?
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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DESCONTO COMPOSTO
Existem duas modalidades de Desconto Composto: Desconto Composto Racional ou Por Dentro e Desconto Composto Comercial ou Por Fora.
Fórmula base das operações de Desconto Composto Racional: FV = PV (1+i) onde FV é o Valor Nominal ou Valor Futuro, PV é o Valor Atual, ou Valor Descontado, i é a Taxa de Desconto Composto utilizada na operação e n o intervalo de tempo que separa as datas do Valor Nominal e Valor Atual.
Para calcular o Valor Atual, usa-se a fórmula PV = FV/(1+i)
Fórmula do Desconto Racional ou Por Dentro: D = FV-PV
n
n
Orientações CPC-15:
Identificação de combinação de negócios 
A entidade deve determinar se uma operação ou outro evento é uma combinação de negócios pela aplicação da definição utilizada no CPC-15, a qual exige que os ativos adquiridos e os passivos assumidos constituam um negócio. Se os ativos adquiridos não constituem um negócio, a entidade deve contabilizar a operação ou evento como aquisição de ativos. 
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DESCONTO COMPOSTO RACIONAL OU POR DENTRO
Cálculo do Valor Nominal com uso de tabela financeira.
Qual o Valor Nominal de um título, a vencer em 9 meses, correspondente a um Valor Atual de R$ 18.000,00 considerando uma Taxa de Desconto Composto Racional ou Por Dentro de 3% ao mês?
PV = 18.000
i = 3%
n = 9
FV = ?
FV = PV (1+i)
FV = 18.000 (1+0,03)
FV= 18.000 x 1,304773 = 23.485,91
n
9
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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DESCONTO COMPOSTO RACIONAL OU POR DENTRO
Cálculo do Valor Nominal com uso da calculadora financeira HP 12C.
Qual o Valor Nominal de um título, a vencer em 9 meses, correspondente a um Valor Atual de R$ 18.000,00, considerando uma Taxa de Desconto Composto Racional ou Por Dentro de 3% ao mês?
PV = 18.000
i = 3%
n = 9
FV = ?
FV = 18.000CHSPV 3i 9n FV = 23.485,92
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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DESCONTO COMPOSTO RACIONAL OU POR DENTRO
Cálculo do Valor Atual com uso de tabela financeira.
Qual o Valor Atual de um título no valor de R$ 22.523,24 a vencer em 6 meses, considerando uma Taxa de Desconto Composto Racional ou Por Dentro de 2% ao mês?
FV = 22.523,24
i = 2%
n = 6
PV = ?
PV = FV/(1+i)
PV = 22.523,24/(1+0,02)
PV = 22.523,24 /1,126162 = 20.000,00
n
6
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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DESCONTO COMPOSTO RACIONAL OU POR DENTRO
Cálculo do Valor Atual com uso da calculadora financeira NP 12C.
Qual o Valor Atual de um título no valor de R$ 22.523,24 a vencer em 6 meses, considerando uma Taxa de Desconto Composto Racional ou Por Dentro de 2% ao mês?
FV = 22.523,24
i = 2%
n = 6
PV = ?
PV = 22.523,24FV 2i 6n PV = - 20.000,00
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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DESCONTO COMPOSTO RACIONAL OU POR DENTRO
Cálculo do Tempo com uso da tabela financeira
Uma dívida de R$ 36.499,56 é descontada através de uma Taxa de Desconto Composto Racional ou Por Dentro de 4% ao mês, obtendo-se Valor Atual de R$ 30.000,00. Qual o tempo relativo a esta operação de desconto?
FV = 36.499,56
i = 4%
PV = 30.000,00
n = ?
FV = PV (1+i)
FV/PV = (1+i)
36.499,56/30.000 = (1+0,04)
1,216652 = (1+0,04)
n = 5 meses (Tempo na tabela para taxa de 4% e fator 1,216652)
n
n
n
n
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
31
DESCONTO COMPOSTO RACIONAL OU POR DENTRO
Cálculo do Tempo com uso da calculadora financeira HP 12C.
Uma dívida de R$ 36.499,56 é descontada através de uma Taxa de Desconto Composto Racional ou Por Dentro de 4% ao mês, obtendo-se Valor Atual de R$ 30.000,00. Qual o tempo relativo a esta operação de desconto?
FV = 36.499,56
i = 4%
PV = 30.000,00
n = ?
n = 36.499,56FV 4i 30.000CHSPV n = 5 
n = 5 meses
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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DESCONTO COMPOSTO RACIONAL OU POR DENTRO
Cálculo da Taxa com uso da tabela financeira.
Um Título de R$ 33.770,40 é resgatado 7 meses antes do seu vencimento, obtendo-se um Valor Atual de de R$ 24.000,00. Qual a Taxa de Desconto Composto Racional ou Por Dentro utilizada na operação?
FV = 33.770,40
n = 7
PV = 30.000,00
i = ?
FV = PV (1+i)
FV/PV = (1+i)
33.770,40/24.000 = (1+i)
1,407100 = (1+i)
i = 5% ao mês (Taxa na tabela para o tempo de 7 meses e fator 1,407100)
n
7
7
n
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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DESCONTO COMPOSTO RACIONAL OU POR DENTRO
Cálculo da Taxa com uso da calculadora financeira HP 12C.
Um Título de R$ 33.770,40 é resgatado 7 meses antes do seu vencimento, obtendo-se um Valor Atual de R$ 24.000,00. Qual a taxa de Desconto Composto Racional ou Por Dentro utilizada na operação?
FV = 33.770,40
n = 7
PV = 24.000,00
i = ?
i = 33.770,40FV 7n 24.000CHSPV i = 5 
i = 5% ao mês
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM
Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
34
DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL OU POR FORA
Cálculo do Desconto Composto Comercial ou Por Fora com calculadora não financeira.
Um título de R$ 8.800,00 é pago dois meses antes do vencimento, com Desconto Composto Comercial ou Por Fora a uma taxa de 5% ao mês. Qual o Valor Atual Pago ?
FV = 8.800,00
n = 2
i = 5%
PV = ?
PV = FV(1-i)
PV = 8.800(1-0,05)
PV = 8.800 x 0,9025 = R$ 7.942,00
n
2
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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	DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL OU POR FORA
Fórmula para cálculo do Valor Nominal: FV = PV/(1-i) onde FV é o Valor Nominal ou Valor Futuro, PV é o Valor Atual ou Valor Descontado, i é a taxa de desconto composto utilizada na operação e n é o intervalo de tempo que separa as datas do Valor Nominal e Valor Atual.
Fórmula cálculo do Valor Atual: PV = FV(1-i)
Fórmula para cálculo do Desconto: D = FV-PV
n
n
Orientações CPC-15:
Identificação de combinação de negócios 
A entidade deve determinar se uma operação ou outro evento é uma combinação de negócios pela aplicação da definição utilizada no CPC-15, a qual exige que os ativos adquiridos e os passivos assumidos constituam um negócio. Se os ativos adquiridos não constituem um negócio, a entidade deve contabilizar a operação ou evento como aquisição de ativos. 
36
DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL OU POR FORA
Cálculo do Desconto Composto Comercial ou Por Fora com calculadora não financeira.
Qual o Valor Nominal de um título, a vencer em 6 meses, correspondente a um Valor Atual de R$ 9.976,02 , considerando uma Taxa de Desconto Composto Comercial ou Por Fora de 2% ao mês?
PV = 9.976,02
i = 2%
n = 6
FV = ?
FV = PV /(1-i)
FV = 9.976,02/(1-0,02)
FV = 9.976,02 / 0,885842 = R$ 11.261,62
n
6
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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DESCONTO COMPOSTO 
Relação entre Taxa de Desconto Composto Racional ou Por Dentro e Taxa de Desconto Comercial ou Por Fora.
1/if -1/id = 1
Exemplo: Um título sofreu um Desconto Composto Comercial ou Por Fora à taxa de 5% ao mês, 3 meses antes do seu vencimento. Caso fosse utilizado o Desconto Racional ou Por Dentro, qual seria a taxa adotada para se obter um desconto igual ao primeiro?
1/if -1/id = 1
1/id = 1/if -1
1/id = 1/0,05 -1
1/id = 20 -1 = 19
Id = 1/19 = 0,052632 = 5,26%
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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EXERCÍCIOS DE DESCONTO COMPOSTO 
Um título foi descontado por R$ 10.000,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma Taxa de Desconto Composto Racional ou Por Dentro de 3% ao mês. Calcule o Valor Nominal desse título e o Desconto obtido. 
Um cheque, a ser pago em 4 meses, foi resgatado, hoje, por R$ 27.715,36, numa operação de Desconto Composto Racional ou Por Dentro, utilizando-se uma Taxa Nominal de 24% ao ano capitalizada mensalmente. Qual o Valor Nominal desse cheque e o Desconto obtido?
Uma dívida foi paga com 3 meses de antecedência por R$ 4.444,98, numa operação de Desconto Composto Racional ou Por Dentro, com Taxa de 4% ao mês. Qual o Valor Nominal dessa dívida e o Desconto obtido?
Obtenha o valor hoje de um título de R$ 15.000,00, vencível ao fim de 3 meses, utilizando uma Taxa de Desconto Composto Racional ou Por Dentro de 5% ao mês.
Uma dívida de 18.000,00 é paga com 5 meses de antecedência, através de uma operação de Desconto Composto Racional ou Por Dentro, utilizando uma Taxa Nominal de 36% ao ano capitalizada mensalmente. Qual o Valor Atual pago?
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
39
EXERCÍCIOS DE DESCONTO COMPOSTO 
6. Um título com Valor Nominal de R$ 8.000,00 é resgatado com 4 meses 
 de antecedência por meio de uma operação de Desconto Composto 
 Racional ou Por Dentro que utilizou uma Taxa de 2% ao mês. Qual o
 valor pago pelo título?
7. Uma dívida de R$ 15.148,45 foi paga antes do seu vencimento por
 R$ 11.999,00, utilizando-se uma Taxa de Desconto Composto 
 Racional ou Por Dentro de 6% ao mês. Qual o Tempo dessa operação? 
Uma duplicada de R$ 20.000,00, a vencer em 4 meses, foi descontada hoje por R$ 16.454,05. Calcule a Taxa de Desconto Composto Racional ou Por Dentro utilizada na operação? 
Uma dívida a vencer em 2 meses foi paga, hoje, por R$ 16.000,00 através de uma operação de Desconto Composto Comercial ou Por Fora, que utilizou uma Taxa de 5% ao mês. Qual o Valor Nominal dessa dívida?
Uma duplicata de R$ 14.000,00 foi paga 2 meses antes do vencimento por meio de um Desconto Composto Comercial ou Por Fora, com Taxa de 4% ao mês. Qual o valor pago pela duplicata?
Normas Internacionais (IFRS 3): Todas as operações de business combinations são registradas a valores de mercado, quando ocorre mudança de controle acionário.
Pronunciamento do CPC nº 15: aprovado pela DELIBERAÇÃO CVM Nº 580, DE 31 DE JULHO DE 2009.
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Plan1
	n i	1%	2%	3%	4%	5%	6%	7%	8%	9%	10%
	1	* 1.010000	* 1.020000	* 1.030000	* 1.040000	* 1.050000	* 1.060000	* 1.070000	* 1.080000	* 1.090000	* 1.100000
	2	* 1.020100	* 1.040400	* 1.060900	* 1.081600	* 1.102500	* 1.123600	* 1.144900	* 1.166400	* 1.188100	* 1.210000
	3	* 1.030301	* 1.061208	* 1.092727	* 1.124864	* 1.157625	* 1.191016	* 1.225043	* 1.259712	* 1.295029	* 1.331000
	4	* 1.040604	* 1.082432	* 1.125508	* 1.169858	* 1.215506	* 1.262476	* 1.310796	* 1.360488	* 1.411581	* 1.464100
	5	* 1.051010	* 1.104081	* 1.159274	* 1.216652	* 1.276281	* 1.338225	* 1.402552	* 1.469329	* 1.538624	* 1.610510
	6	* 1.061520	* 1.126162	* 1.194052	* 1.265319	* 1.340095	* 1.418519	* 1.500730	* 1.586874	* 1.677100	* 1.771561
	7	* 1.072135	* 1.148685	* 1.229873	* 1.315931	* 1.407100	* 1.503630	* 1.605781	* 1.713824	* 1.828039	* 1.948717
	8	* 1.082856	* 1.171659	* 1.266770	* 1.368569	* 1.477455	* 1.593848	* 1.718186	* 1.850930	* 1.992562	* 2.143588
	9	* 1.093685	* 1.195092	* 1.304773	* 1.423311	* 1.551328	* 1.689478	* 1.838459	* 1.999004	* 2.171893	* 2.357947
	10	* 1.104622	* 1.218994	* 1.343916	* 1.480244	* 1.628894	* 1.790847	* 1.967151	* 2.158925	* 2.367363	* 2.593742
Plan2
Plan3