Álgebra Linear I - Poli - Psub - 2009

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Nas questo˜es 1, 3, 4, 11, 12, 13, 15 e 17 considera-se fixado um
sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, onde E e´ uma base or-
tonormal positiva de V3.
1Q1. Seja m ∈ R na˜o nulo e considere as retas:
r : x+ 5 =
y
m
= z + 1, s :

x = 2λ,
y = 1,
z = 2 + λ.
λ ∈ R.
Tem-se que r e s sa˜o reversas se e somente se:
(a) m 6= −1;
(b) m = 1;
(c) m 6= 1 e m 6= −1;
(d) m 6= 1 ou m 6= −1;
(e) m 6= 1.
1Q2. Seja S o subespac¸o de P3(R) gerado pelo conjunto:{
1 + 2x+ x3, x+ 2x2 + x3, x2
}
.
Dados a, b, c, d ∈ R, temos que a+ bx+ cx2+ dx3 pertence a S se e somente
se:
(a) c+ 4a = 2b;
(b) b− 2a = 0;
(c) a = b = c = d;
(d) −a+ d = 0;
(e) a+ d = b.
1Q3. Sejam λ ∈ R na˜o nulo e pi o plano que conte´m os pontos:
(λ, 0, 0), (0, λ, 0), (0, 0, λ).
Sabendo-se que a distaˆncia de pi ate´ a origem e´
√
3, pode-se afirmar que:
(a) λ = −3;
(b) λ = 3 ou λ = −3;
(c) λ =
√
3;
(d) λ = 3;
(e) λ =
√
3 ou λ = −√3.
1Q4. Sejam m ∈ R e V (m) o volume do tetraedro determinado pelos
vetores:
(1, 0, 2), (1, 1, 0), (−2,m,m2).
O valor mı´nimo que V (m) pode assumir e´:
(a) 1;
(b) 13 ;
(c) 16 ;
(d) 3;
(e) 12 .
1Q5. Seja V o espac¸o vetorial de todas as func¸o˜es f : R → R. Assinale a
alternativa em que f1, f2, f3 ∈ V sa˜o linearmente dependentes:
(a) f1(x) = sen2 x, f2(x) = cos2 x, f3(x) = ex;
(b) f1(x) = senx, f2(x) = cosx, f3(x) = sen
(
x+ pi5
)
;
(c) f1(x) = senx, f2(x) = cosx, f3(x) = x senx;
(d) f1(x) = 1, f2(x) = senx, f3(x) = cosx;
(e) f1(x) = ex, f2(x) = e−x, f3(x) = 1.
1Q6. Considere a base:
B =
{(
1 1
0 0
)
,
(
0 0
1 1
)
,
(
1 −1
0 0
)
,
(
0 0
1 −1
)}
de M2(R) e sejam m,n, r, s ∈ R. Sabendo-se que:(
3 r
s 2
)
= (m,n, n,m)B,
pode-se afirmar que:
(a) m = 12 , n =
5
2 , r = −2, s = 3;
(b) m = 32 , n =
1
2 , r = 4, s = 2;
(c) m = 52 , n =
1
2 , r = 3, s = −2;
(d) m = 32 , n =
1
2 , r = −2, s = 3;
(e) m = 12 , n =
5
2 , r = 2, s = −3.
1Q7. Sejam dados vetores ~e1, ~e2, ~e3 ∈ V 3 tais que o produto misto [~e1, ~e2, ~e3]
seja igual a 1. Se:
~f1 = ~e1 + ~e3, ~f2 = ~e2 − 2~e3, ~f3 = ~e1 + ~e2,
enta˜o o produto misto [~f1, ~f2, ~f3] e´ igual a:
(a) −2;
(b) 0;
(c) −1;
(d) 1;
(e) 2.
1Q8. Considere o cubo ABCDEFGH ilustrado na figura abaixo:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A B
CD
E F
GH
e as bases E = (−−→AB,−−→AD,−→AE), F = (−→AC,−−→BD,−−→AH) de V 3. As coordenadas
na base F do vetor ~v = (1, 2, 1)E sa˜o:
(a) (1, 0, 1);
(b) (0, 1, 1);
(c)
(
1
2 , 0,
1
2
)
;
(d) (1, 1, 1);
(e)
(
0, 12 ,
1
2
)
.
1Q9. Seja S o subespac¸o de M2(R) gerado pelas matrizes:
A1 =
(
1 1
3 1
)
, A2 =
(
1 0
2 1
)
, A3 =
(
4 1
9 4
)
, A4 =
(
2 2
8 2
)
.
Assinale a alternativa correta:
(a) dim(S) = 2;
(b) S = M2(R);
(c) existe uma base de M2(R) que conte´m {A1, A2, A3};
(d) existe uma base de M2(R) que conte´m {A2, A3, A4};
(e) S = [A1, A2, A3].
1Q10. Assinale a alternativa correta:
(a) para quaisquer bases ortonormais E , F de V 3, o determinante da matriz
de mudanc¸a de base MEF e´ igual a 1;
(b) para quaisquer ~u,~v, ~w ∈ V 3, (~u ∧ ~v) ∧ ~w = ~u ∧ (~v ∧ ~w);
(c) para qualquer base E = (~e1, ~e2, ~e3) de V 3 e para todo ~v ∈ V 3, a primeira
coordenada de ~v na base E e´ ~v · ~e1;
(d) para quaisquer ~u,~v ∈ V 3, ~u · ~v = 0 se e somente se (~u,~v) e´ linearmente
independente;
(e) para quaisquer ~u,~v ∈ V 3, ~u∧~v = ~0 se e somente se (~u,~v) e´ linearmente
dependente.
1Q11. Considere a reta r dada por:
r :
{
x− y + z = 0,
x+ y − 2z − 1 = 0.
Uma equac¸a˜o geral para o plano que conte´m r e passa pelo ponto (1, 1, 1) e´:
(a) 2x− z − 1 = 0;
(b) 2x− y − 1 = 0;
(c) x− y + 2z − 2 = 0;
(d) x+ y − 2z = 0;
(e) 3x+ y − 3z − 1 = 0.
1Q12. Considere a reta r e o plano pi dados pelas equac¸o˜es:
r :
{
x = y,
z = 0,
pi : x− y − z + 2 = 0.
Assinale a alternativa contendo uma equac¸a˜o sime´trica para a reta que passa
pela origem, e´ perpendicular a r e e´ paralela a pi:
(a) −x = y = z2 ;
(b) x = −y = z2 ;
(c) x = −y = 2z;
(d) −x = y = 2z;
(e) x = y = z2 .
1Q13. Se uma reta r possui equac¸a˜o sime´trica:
x− 1
3
=
y − 2
5
=
z + 1
4
enta˜o uma equac¸a˜o vetorial para r e´:
(a) X = (−1,−2, 1) + λ(−3,−5,−4), λ ∈ R;
(b) X = (−1,−2, 1) + λ(3, 5, 4), λ ∈ R;
(c) X = (1, 2,−1) + λ(3, 5, 4), λ ∈ R;
(d) X = (1, 2, 1) + λ(6, 10, 8), λ ∈ R;
(e) X = (−1,−2,−1) + λ(3, 5, 4), λ ∈ R.
1Q14. Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa˜o n e B um subconjunto de
V com n elementos. Pode-se afirmar que:
(a) existe uma base de V contida em B;
(b) B e´ uma base de V se e somente se B e´ linearmente independente;
(c) existe uma base de V que conte´m B;
(d) B e´ linearmente dependente;
(e) a dimensa˜o do subespac¸o gerado por B e´ igual a n.
1Q15. Sejam dados pontos A,B,C ∈ E3 e nu´meros reais m,n ∈ R de modo
que: −−→
AB = (0,m, n),
−→
AC = (1, 0,−1).
Sabendo-se que o triaˆngulo ABC e´ retaˆngulo em C e que sua a´rea e´ igual a√
2, pode-se concluir que:
(a) m =
√
2 e n = −2;
(b) m = −√2 e n = −2;
(c) m =
√
2 e n = 2;
(d) |m| = √2 e n = 2;
(e) |m| = √2 e n = −2.
1Q16. Considere a base:
B =
{
1 + x3, x, 2x2, x2 + 2x3
}
de P3(R). As coordenadas de 2− x− x2 − 4x3 na base B sa˜o:
(a) (2,−1,−1,−4);
(b) (2,−1, 2,−4);
(c) (2,−1, 1,−2);
(d) (2,−1, 1,−3);
(e) (3,−1, 2,−2).
1Q17. Seja ~u ∈ V 3 tal que:
~u · (1, 1, 1) = 3, ~u ∧ (1, 2, 1) = (−1, 1,−1).
A primeira coordenada do vetor ~u e´:
(a) 34 ;
(b) 12 ;
(c) 14 ;
(d) 32 ;
(e) 54 .
1Q18. Sejam a, b, c ∈ R. Tem-se que a func¸a˜o y(t) = be−2t+cte−2t e´ soluc¸a˜o
da equac¸a˜o diferencial y′′− 2ay′+ a2y = 0 satisfazendo as condic¸o˜es iniciais
y(0) = −2, y′(0) = 2 se e somente se:
(a) a = −2, b = 2 e c = −2;
(b) a = 2, b = −2 e c = −2;
(c) a = −2, b = −2 e c = 2;
(d) a = 2, b = −2 e c = 2;
(e) a = −2, b = −2 e c = −2.
1Q19. Seja m ∈ R. Considere o sistema linear homogeˆneo:
x+ y − z = 0,
2x+my − 2z = 0,
3x+ 4y − 4z = 0,
e as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) para todo m ∈ R o sistema possui soluc¸a˜o;
(II) se m 6= 2 enta˜o o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o;
(III) se m = 2 enta˜o o conjunto soluc¸a˜o do sistema e´ um subespac¸o de R3
de dimensa˜o 2.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras;
(c) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ verdadeira;
(d) todas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras.
1Q20. Considere as seguintes afirmac¸o˜es a respeito do produto misto de
vetores ~u,~v, ~w ∈ V 3:
(I) dados ~u,~v, ~w ∈ V 3, se [~u,~v, ~w] = 0 enta˜o (~u,~v, ~w) e´ linearmente
dependente;
(II) para quaisquer ~u,~v, ~w ∈ V 3, [~u,~v, ~w] = [~w, ~u,~v];
(III) dados ~u,~v, ~w ∈ V 3, se (~u,~v, ~w) e´ linearmente independente enta˜o o
volume do tetraedro determinado pelos vetores ~u, ~v, ~w e´ 13
∣∣[~u,~v, ~w]∣∣.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ verdadeira;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras;
(c) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ verdadeira;
(d) todas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras.