SUB 2008 - MAT2457 - Álgebra Linear para Engenharia I

Prévia do material em texto

Nas questo˜es da prova em que esta´ fixado um sistema de coorde-
nadas Σ = (O,E), quando for necessa´rio, considera-se que E e´ uma
base ortonormal positiva.
1Q1. Seja V um espac¸o vetorial e x1, x2, · · · , xq, x vetores de V . Com
respeito a`s afirmac¸o˜es:
(I) x /∈ [x1, x2, · · · , xq] ⇒ {x1, x2, · · · , xq, x} e´ linearmente independen-
te;
(II) {x1, x2, · · · , xq} linearmente dependente ⇒ xq ∈ [x1, x2, · · · , xq−1];
(III) V = [x1, x2, · · · , xq] e dimV = q ⇒ {x1, x2, · · · , xq} e´ linearmente
independente.
(a) as treˆs afirmac¸o˜es sa˜o falsas;
(b) as treˆs afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras;
(c) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras;
(d) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ verdadeira;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
1Q2. Considere as retas:
r : X = (1,−1,−2) + λ(2, 3, 1), λ ∈ R, s : x− 1
2
= y − 3 = z − 2.
Seja ~v o vetor diretor da perpendicular comum a r e a s tal que ‖~v‖ = 2√5.
A soma das coordenadas de ~v e´:
(a) 2;
(b) −2;
(c) −6;
(d) 6;
(e) 14.
1Q3. Dadas as retas:
r : X = (2,−1, 3) + λ(0, 2, 2), λ ∈ R s : X = (−1, 0, 0) + µ(0, 1, 1), µ ∈ R,
a alternativa correta e´:
(a) a distaˆncia de r a s e´ 3
√
17;
(b) a distaˆncia de r a s e´ 2
√
17;
(c) apenas o ponto (2,−1, 3) de r dista √17 de s;
(d) apenas o ponto (2,−1, 3) de r dista 2√17 de s;
(e) todos os pontos de r distam
√
17 da reta s.
1Q4. Seja S =
[
1 + x+ x2, 2 + x
]
um subespac¸o de P2(R). Sendo a, b ∈ R,
o polinoˆmio 2 + ax+ bx2 pertence a S se e somente se:
(a) 2a− b− 2 = 0;
(b) a e b sa˜o nu´meros reais quaiquer;
(c) a = b = 2;
(d) a = b = 0;
(e) a = 2b.
1Q5. A medida em radianos do aˆngulo entre os vetores
−−→
AB e
−→
AC e´ pi6 e o
vetor
−−→
AD e´ ortogonal a
−−→
AB e a
−→
AC. Sabendo-se que ‖−−→AB‖ = 2, ‖−→AC‖ = 3,
‖−−→AD‖ = 4 e que (−−→AB,−→AC,−−→AD) e´ uma base negativa de V 3, pode-se concluir
que o volume do tetraedro ABCD e´ igual a:
(a) 12
√
3;
(b) 12;
(c) 2
√
3;
(d) 2;
(e) 6.
1Q6. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) proj~u ~v = projλ~u ~v, ∀λ ∈ R, λ 6= 0;
(II) ~u ∧ ~v · ~w = ~u · ~v ∧ ~w;
(III) o aˆngulo entre ~u e ~v e´ igual ao aˆngulo entre ~u e proj~u ~v.
(a) as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o falsas;
(b) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ falsa;
(c) as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o falsas;
(d) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ falsa;
(e) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ falsa.
1Q7. Seja V um espac¸o vetorial. Um vetor foi escrito de duas maneiras
distintas como combinac¸a˜o linear dos vetores de A = {x1, x2, · · · , xn} ⊂ V .
Pode-se afirmar que:
(a) A e´ uma base de V ;
(b) um dos vetores de A e´ combinac¸a˜o linear dos demais;
(c) V = [A];
(d) existe um ı´ndice j tal que V = [A− {xj}];
(e) todo vetor de A e´ combinac¸a˜o linear dos demais.
1Q8. Seja S = [(0, 1, 1,−1), (1, 1, 1, 2), (3, 0, 1, 3)] ⊂ R4. A afirmac¸a˜o falsa
e´:
(a) S = [(0, 1, 1,−1), (1, 2, 2, 1)] ;
(b) o vetor (2,−1, 0, 1) ∈ S;
(c) a dimensa˜o de S e´ 3;
(d) o vetor (2, 3, 3, 3) ∈ S;
(e) existe uma base de R4 que conte´m os treˆs geradores de S.
1Q9. Dados o plano pi : x−y+2z+d = 0 e o ponto P = (1, 0, 1), os valores
de d para que a distaˆncia de P ao plano pi seja
√
6
3 sa˜o:
(a) −5 ou 2;
(b) −5 ou 3;
(c) −1 ou 3;
(d) −1 ou −5;
(e) −1 ou 2.
1Q10. Se y(t) = λ1 e−2t + λ2 t e−2t + λ3 et cos(3t) + λ4 et sen(3t) e´ soluc¸a˜o
geral da equac¸a˜o diferencial y′′′′(t)+a3y′′′(t)+a2y′′(t)+a1y′(t)+a0y(t) = 0,
enta˜o a0 + a1 + a2 + a3 e´ igual a:
(a) 76;
(b) 84;
(c) 82;
(d) 78;
(e) 80.
1Q11. Sejam E = (~e1, ~e2, ~e3) e F = (~f1, ~f2, ~f3) bases de V 3 com E ortonor-
mal e ~f1 = ~e1 − ~e2, ~f2 = 2~e2 e ~f3 = 3~e3. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) as bases E e F teˆm a mesma orientac¸a˜o;
(II) o vetor (−2, 0, 1)F na˜o e´ ortogonal ao vetor (1, 2, 2)E ;
(III) (1, 1, 2)F = (1, 2, 5)E .
(a) (I) e (II) sa˜o verdadeiras;
(b) apenas (I) e´ verdadeira;
(c) apenas (II) e´ verdadeira ;
(d) (II) e (III) sa˜o verdadeiras;
(e) apenas (III) e´ verdadeira.
1Q12. Considere o subespac¸o S = [sent, cos t, sen(3t), cos(3t), sen3t, cos3 t]
do espac¸o das func¸o˜es cont´ınuas de R em R. Assinale a alternativa correta:
(a) dimS = 6;
(b) dimS = 5;
(c) dimS = 2;
(d) dimS = 4;
(e) dimS = 3.
1Q13. No cubo ABCDEFGH de aresta unita´ria, dado abaixo, considere a
base E =
(−−→
AB,
−→
AC,
−→
GA
)
. Dentre as alternativas abaixo assinale aquela que
conte´m uma base ortonormal F = (~f1, ~f2, ~f3) tal que:
(I) (
−−→
AB, ~f1) seja linearmente dependente;
(II) (
−−→
AB,
−→
AC, ~f2) seja linearmente independente;
(III) as bases E e F teˆm orientac¸o˜es contra´rias.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A B
CD
E F
GH
(a) F =
(−−→
HG,
−−→
HD,
−−→
HE
)
;
(b) F =
(−−→
AB,
−−→
GF,
−→
GA
)
;
(c) F =
(−−→
CD,
−−→
CG,
−−→
CB
)
;
(d) F =
(−−→
FE,
−−→
FB,
−−→
FG
)
;
(e) F =
(−−→
AB,
−→
AE,
−−→
DA
)
.
1Q14. Seja S =
{ a b cb d e
c e f
 ∈M3(R)}. A afirmac¸a˜o verdadeira e´:
(a) existe uma base de S que na˜o pode ser completada a uma base de
M3(R);
(b) a matriz nula na˜o pertence a S;
(c) S e´ um subespac¸o de M3(R) e dimS = 5;
(d) S na˜o e´ um subespac¸o de M3(R);
(e) S e´ um subespac¸o de M3(R) e dimS = 6.
1Q15. Seja E uma base ortonormal de V 3 e sejam ~x e ~y vetores de V 3 cujas
coordenadas com respeito a` base E sejam (−1, 1, 0) e (2, 1, 1). Se ~z = λ~y e
proj~x~z =
1
2~x, enta˜o o escalar λ e´ igual a:
(a) −1;
(b) −2;
(c) −12 ;
(d) 12 ;
(e) 1.
1Q16. Considere o tetraedro de ve´rtices A,B,C,D. Seja X o ponto contido
na face ABC tal que a reta XD seja perpendicular a` face ABC. Sabendo
que os lados AB, AC e AD medem 1 e que a medida dos aˆngulos α = CAˆB,
β = DAˆC e γ = DAˆB sa˜o dadas por cosα = 13 , cosβ =
1
3 e cos γ =
2
3 , os
valores dos escalares a e b tais que
−−→
AX = a
−−→
AB + b
−→
AC sa˜o:
(a) a = 58 e b =
1
8 ;
(b) a = 12 e b =
1
2 ;
(c) a = 14 e b =
3
4 ;
(d) a = 13 e b =
2
3 ;
(e) a = 23 e b =
1
3 .
1Q17. Considere os planos pi1, pi2 de equac¸o˜es:
pi1 : 3x− y − 2z + 2 = 0, pi2 : x− 2y + z − 1 = 0
e a reta r = pi1 ∩ pi2. Dada a reta:
s : X = (1, 1, 2) + λ(2,−1, 1), λ ∈ R,
pode-se afirmar que:
(a) r e s sa˜o coincidentes;
(b) r e s sa˜o paralelas;
(c) r e s sa˜o reversas;
(d) r e s sa˜o ortogonais;
(e) r e s sa˜o concorrentes .
1Q18. Se y : R→ R e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial:
y′′′(t) + 4y′(t) = 0,
com condic¸o˜es iniciais y(0) = 1, y′(0) = 4 e y′′(0) = 8, enta˜o y(pi4 ) e´ igual a:
(a) 5;
(b) 4;
(c) 2;
(d) 3;
(e) 1.
1Q19. Seja P o ponto que esta´ na intersec¸a˜o do plano pi : x+y−z−6 = 0 com
a reta perpendicular a pi que passa por (−3, 1,−2). A soma das coordenadas
de P e´:
(a) −2;
(b) 5;
(c) 3;
(d) 2;
(e) −3.
1Q20. A respeito das retas concorrentes:
r : X = (1, 0, 2) + λ(1,−1, 2), λ ∈ R,
s : X = (2,−1, 4) + µ(1, 1,−1), µ ∈ R,
a afirmac¸a˜o falsa e´:
(a) uma equac¸a˜o geral do plano que conte´m r e s e´ −x+ 3y + 2z − 3 = 0;
(b) um vetor diretor da reta perpendicular a r e a s e´ (−1, 3, 2);
(c) o plano pi : x − y + 2z + 1 = 0 e´ perpendicular a r e intersecta s no
ponto P = (8, 5,−1);
(d) a reta t : X = (2,−1, 4) + α(2, 2,−2), α ∈ R, e´ concorrente com r e e´
coincidente com a reta s;
(e) P = (2,−1, 4) e´ o ponto de intersecc¸a˜o de r e s.