Álgebra Linear I - Poli - Prec - 2010

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Questão Alternativa
1 E
2 B
3 E
4 A
5 C
6 B
7 E
8 A
9 E
10 C
11 D
12 A
13 C
14 D
15 B
16 A
 
Questão http://itamaraty.ime.usp.br/mat/2457/Gabaritos/GPRec - 2010.html
1 de 1 11/02/2011 18:59
Q1. Seja λ ∈ R e considere os vetores:
v1 = (1, 1, λ, 1), v2 = (1, 1, λ, 2), v3 = (1, 1, λ, 0), v4 = (0, 0, 1, λ)
no espac¸o vetorial R4. Pode-se afirmar que:
(a) {v1, v2, v3, v4} e´ uma base de R4;
(b) v4 ∈ [v1, v2, v3];
(c) [v1, v2] = [v3, v4];
(d) a dimensa˜o de [v1, v2, v3] e´ igual a 3;
(e) {v1, v2, v4} e´ uma base de [v1, v2, v3, v4].
Q2. Sejam B = {~e1, ~e2, ~e3} e C = {~f1, ~f2, ~f3} bases de V 3 tais que a matriz
de mudanc¸a de base MBC e´:
MBC =
1 0 10 1 1
1 0 −1
 .
Seja ~v ∈ V 3 um vetor cujas coordenadas na base B sejam [~v]B = (4, 2, 6).
As coordenadas de ~v na base C sa˜o:
(a) [~v]C = (8, 4, 12);
(b) [~v]C = (5, 3,−1);
(c) [~v]C = (10, 8,−2);
(d) [~v]C = (10, 6,−2);
(e) [~v]C = (4, 2, 6).
Q3. A soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0 satisfazendo
as condic¸o˜es iniciais y(0) = 1, y′(0) = 0 e y′′(0) = −1 e´:
(a) y(t) = et + tet + t
2
2 e
t;
(b) y(t) = et − t2et;
(c) y(t) = et;
(d) y(t) = et + tet + t2et;
(e) y(t) = et − tet.
Q4. Considere fixado um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, sendo
E uma base ortonormal de V 3. Considere os planos:
pi1 : 2x− y + 2z + 6 = 0, pi2 : 6x− 3y + 6z + 9 = 0.
A distaˆncia entre pi1 e pi2 e´ igual a:
(a) 1;
(b) 0;
(c) 4;
(d) 2;
(e) 3.
Q5. Considere fixado um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, sendo
E uma base ortonormal de V 3. Considere as retas:
r : X = (1, 2,−1)+λ(3, 4, 0), λ ∈ R, s : X = (0, 1,−2)+λ(3, 4, 5), λ ∈ R.
Assinale a alternativa correta:
(a) o vetor (−4, 3, 1) e´ normal a`s retas r e s;
(b) as retas r e s sa˜o coincidentes;
(c) as retas r e s sa˜o reversas;
(d) as retas r e s esta˜o contidas num mesmo plano;
(e) as retas r e s sa˜o concorrentes.
Q6. Considere fixado um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, sendo
E uma base ortonormal de V 3. Considere os pontos:
A = (0, 0, 0), B = (1, 1, 0), C = (0, 1, 1), D = (1, 0, 1).
O volume do tetraedro ABCD e´ igual a:
(a) 2;
(b) 13 ;
(c) 1;
(d) 32 ;
(e) 23 .
Q7. Considere o subespac¸o de R4 definido por:
S =
{
(x+ 2y, x+ 2y + z, x+ 2y − z, 2x+ 4y − z) : x, y, z ∈ R}.
Assinale a alternativa em que B e´ uma base para S:
(a) B = {(1, 0,−1, 1), (2, 0,−1, 1)};
(b) B = {(0, 1,−2, 1), (1, 1, 0, 1)};
(c) B = {(1, 0, 1, 0), (1, 1,−2, 1)};
(d) B = {(2, 1, 3,−1), (2,−1, 3, 1)};
(e) B = {(2,−1, 5, 7), (2, 5,−1, 1)}.
Q8. Considere o subespac¸o:
S = [(1, 1, 2, 2), (2, 3, 5, 5), (0, 1, 1, 1), (1, 1, 3, 1)]
de R4. Assinale a alternativa em que a unia˜o de uma base de S com o
conjunto B resulta em uma base de R4:
(a) B = {(−1, 1, 0,−2)};
(b) B = {(4, 2, 6, 6)};
(c) B = {(3, 3, 6, 6)};
(d) B = {(3, 3, 7, 5)};
(e) B = {(1, 2, 1, 5)}.
Q9. Seja k ∈ R e considere o sistema linear:
x+ y − z = 1,
x− y − z = 1,
3x− y − kz = 0.
Pode-se afirmar que:
(a) o sistema possui infinitas soluc¸o˜es se e somente se k = 2;
(b) existe um u´nico k ∈ R tal que o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o;
(c) existe um u´nico k ∈ R tal que o sistema possui infinitas soluc¸o˜es;
(d) o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o se e somente se k = 4;
(e) o sistema na˜o possui soluc¸a˜o se e somente se k = 3.
Q10. Seja fixado um sistema de coordenadas em E3. Considere o vetor
~v = (1, 1, 1), a reta:
r : X = (1, 0, 1) + t(2,−1, 1), t ∈ R,
e o plano pi : x− y + 2z + 1 = 0. Se ~v = ~p+ ~q com ~p ∈ V 3 paralelo a` reta r
e ~q ∈ V 3 paralelo ao plano pi, pode-se afirmar que:
(a) ~q = 15(9, 3,−3);
(b) ~q = 15(−7,−1, 3);
(c) ~q = 15(1, 7, 3);
(d) ~q = 15(3, 1,−1);
(e) ~q = 15(−5,−1, 2).
Q11. Considere fixado um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, sendo
E uma base ortonormal de V 3. Uma equac¸a˜o geral para o plano pi que conte´m
o ponto (1,−1, 2) e e´ perpendicular a` reta:
r :
{
x− 2y + z − 1 = 0,
x+ y − z + 2 = 0,
e´:
(a) x− 2y + 3z − 9 = 0;
(b) x+ 2y − z + 3 = 0;
(c) 2x+ 3y + z − 1 = 0;
(d) 2x+ 4y + 6z − 10 = 0;
(e) 2x+ 2y + z − 2 = 0.
Q12. Seja fixado um sistema de coordenadas em E3. Seja b ∈ R e considere
as retas:
r : X = (b, 0, 1) + λ(1, b,−b), λ ∈ R, s :
{
x− y + 2z = 1,
y + 2z = b.
Pode-se afirmar que:
(a) se b = 1 enta˜o as retas r e s sa˜o concorrentes;
(b) se b = 12 enta˜o as retas r e s sa˜o reversas;
(c) se b = 1 enta˜o as retas r e s sa˜o paralelas distintas;
(d) se b = 12 enta˜o as retas r e s sa˜o paralelas distintas;
(e) se b = 1 enta˜o as retas r e s sa˜o coincidentes.
Q13. Sejam A,B,C,D, P,Q ∈ E3. Sabe-se que os vetores −−→AB e −−→AD deter-
minam um quadrado de lado unita´rio. Sabe-se tambe´m que:
4
−−→
BP = 3
−−→
BC, 3
−−→
DQ =
−−→
DC.
Pode-se afirmar que a a´rea do paralelogramo determinado pelos vetores
−→
AP
e
−−→
BQ e´ igual a:
(a) 35 ;
(b) 13 ;
(c) 32 ;
(d) 45 ;
(e) 34 .
Q14. Considere fixado um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, sendo
E uma base ortonormal de V 3. A reta r conte´m o ponto P = (1, 2, 1) e e´
paralela ao vetor ~v = (1,−1, 1). O plano pi conte´m o ponto Q = (−1, 1, 1) e
e´ perpendicular ao vetor ~w = (1, 1,−1). Pode-se afirmar que:
(a) r e pi sa˜o perpendiculares;
(b) r esta´ contida em pi;
(c) r e´ paralela a pi e r na˜o esta´ contida em pi;
(d) r e pi possuem um u´nico ponto em comum;
(e) o ponto P pertence ao plano pi.
Q15. Sejam α, β ∈ R e considere os vetores:
v1 = (1,−1, 0, 1), v2 = (−2, 1, 3, 1), v3 = (2, 1, α, 5), v4 = (α, 0, β, 0)
no espac¸o vetorial R4. Se S = [v1, v2, v3, v4], pode-se afirmar que:
(a) dim(S) = 3 se e somente se α+ 3β = 0;
(b) dim(S) = 4 se e somente se α2 − 9α− 6β 6= 0;
(c) dim(S) = 3 se e somente se α = −9 e β = 27;
(d) dim(S) = 3, para quaisquer α, β ∈ R;
(e) existem α, β ∈ R tais que dim(S) = 2.
Q16. Considere os sistemas de coordenadas:
Σ1 =
(
O1, {~ı,~,~k}
)
, Σ2 =
(
O2, {~e1, ~e2, ~e3}
)
,
em E3. Assuma que:
~e1 =~ı− ~+ ~k, ~e2 = −~ı+ ~+ ~k, ~e3 =~ı+ ~− ~k,
e que as coordenadas do ponto O2 no sistema Σ1 sejam O2 = (2, 3, 2)Σ1 . A
equac¸a˜o geral de um plano pi no sistema Σ2 e´ x+ y + z + 1 = 0. A equac¸a˜o
geral do plano pi no sistema Σ1 e´:
(a) x+ y + z − 6 = 0;
(b) x+ y + z = 0;
(c) 11x− y − z + 6 = 0;
(d) x+ y + z + 1 = 0;
(e) 2x+ 3y + 2z + 1 = 0.