Álgebra Linear I - Poli - Prec - 2017

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Q1. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, em que E e´
uma base ortonormal de V 3. Sejam r e s as retas dadas pelas equac¸o˜es:
r : X = (0,−1,−1)Σ + λ(1, 1, 0)E , λ ∈ R e
s : X = (−1, 0,−2)Σ + λ(0, 1, 1)E , λ ∈ R.
Se P = (a, b, c)Σ ∈ r e Q = (a′, b′, c′)Σ ∈ s forem os pontos tais que a
distaˆncia entre P e Q seja igual a` distaˆncia entre r e s, enta˜o
a+ b+ c+ a′ + b′ + c′
sera´ igual a:
(a) −7;
(b) 3;
(c) 7;
(d) −5;
(e) −2.
Q2. Considere a matriz:
A =

−1 −1 1 0
0 0 1 2
1 −1 1 0
2 1 0 0
 .
Temos que a soma das entradas na diagonal principal da matriz A−1 e´ igual
a:
(a) 34 ;
(b) −32 ;
(c) 0;
(d) 12 ;
(e) −14 .
Q3. Seja S o subespac¸o vetorial de P3(R) definido por:
S = [1 + t+ 2t2 + 2t3, 1 + 2t+ t2 + 2t3, 1− t+ 4t2 + 2t3, 2 + 5t+ t2 + 4t3].
Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) dim(S) = 2;
(II) para quaisquer a, b, c, d ∈ R, vale que a + bt + ct2 + dt3 ∈ S se, e
somente se, a, b, c e d forem uma soluc¸a˜o do sistema:
a− b− c+ d = 0,
a+ b+ c− 2d = 0,
a− 5b− 5c+ 7d = 0;
(III) 2 + 3t+ 3t2 + 4t3 ∈ S.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras;
(b) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ verdadeira;
(c) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras;
(d) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ verdadeira;
(e) todas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras.
Q4. Considere os subespac¸os vetoriais S1 e S2 de R
4 definidos por:
S1 = [(0,−1, 0, 1), (0, 1, 1, 2), (1, 1, 2, 4)] e
S2 = [(0, 0, 1, 3), (−1, 2, 2,−1), (0, 1, 1,−1)].
Assinale a alternativa correspondente a uma base de S1 ∩ S2:
(a) {(0, 0, 1, 3), (0, 1, 1, 2)};
(b) {(0, 0, 1, 3), (−1, 0, 0, 1)};
(c) {(−1, 0, 0, 1)};
(d) {(0, 0, 1, 3), (−1, 2, 2,−1)};
(e) {(0,−1, 0, 1), (−1, 2, 2,−1)}.
Q5. Considere o sistema linear
x+ y − z + αt = 1,
x+ z − αt = 2,
αx+ y + z = −1
nas inco´gnitas reais x, y, z e t. Denote por A o conjunto dos nu´meros reais
α para os quais o conjunto das soluc¸o˜es desse sistema e´ descrito usando-se
duas varia´veis livres. Assinale a alternativa correta:
(a) A possui dois elementos, sendo um deles menor ou igual a −1 e o outro
maior do que −1;
(b) A e´ vazio;
(c) A possui um u´nico elemento e esse elemento e´ maior do que 1;
(d) A possui um u´nico elemento e esse elemento e´ menor ou igual a 1;
(e) A possui dois elementos, sendo um deles menor ou igual a 1 e o outro
maior do que 1.
Q6. Seja S o subespac¸o vetorial de M2(R) cuja base e´
B =
{(
1 1
2 −1
)
,
(
3 2
5 −4
)
,
(−1 1
−1 0
)}
e sejam X,Y ∈M2(R) dadas por:
X =
(
0 2
3 5
)
e Y =
(
2 1
1 0
)
.
Assinale a alternativa correta:
(a) X ∈ S, Y 6∈ S e a soma das coordenadas de X na base B e´ igual a 6;
(b) X 6∈ S, Y ∈ S e a soma das coordenadas de Y na base B e´ igual a 6;
(c) X ∈ S, Y 6∈ S e a soma das coordenadas de X na base B e´ igual a 8;
(d) X 6∈ S, Y ∈ S e a soma das coordenadas de Y na base B e´ igual a 8;
(e) X ∈ S, Y ∈ S e a soma das coordenadas de Y na base B e´ igual a 8.
Q7. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, em que E e´
uma base ortonormal de V 3. Seja r a reta dada pela equac¸a˜o
r :
{
x+ y − z = 1,
x+ z = 2
no sistema de coordenadas Σ e seja pi o plano que conte´m r e passa pelo
ponto (1,−3, 0)Σ. Se a, b, c ∈ R forem tais que
pi : ax+ by + cz = 5
seja uma equac¸a˜o geral de pi no sistema de coordenadas Σ, enta˜o a + b + c
sera´ igual a:
(a) 1;
(b) −1;
(c) 5;
(d) −3;
(e) 3.
Q8. Seja fixada uma orientac¸a˜o no espac¸o V 3 e seja {~v, ~w, ~z } uma base
positiva de V 3. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) a base {~v + ~w,~v − 2~w, ~w − ~z } de V 3 e´ negativa;
(II) o cosseno do aˆngulo entre os vetores ~w ∧ ~z e ~v e´ positivo;
(III) se ~x ∈ V 3 for tal que {~v, ~w, ~x} seja uma base negativa de V 3, enta˜o
existira´ λ < 0 tal que ~x = λ~z.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(c) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ necessariamente verdadeira;
(d) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ necessariamente verdadeira;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o necessariamente verdadeiras.
Q9. Seja fixada uma orientac¸a˜o no espac¸o V 3 e seja B = {~v, ~w, ~z } uma base
de V 3 tal que:
‖~v‖ = ‖~w‖ = ‖~z ‖.
Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) se ~v · ~w = ~v · ~z = ~w · ~z = 0, enta˜o a base B sera´ ortonormal;
(II) se a base B for ortonormal, enta˜o os vetores ~v − ~w + ~z e ~v + ~w + ~z
sera˜o ortogonais;
(III) o produto vetorial ~v ∧ ~w na˜o e´ ortogonal a ~z.
Assinale a alternativa correta:
(a) nenhuma das afirmac¸o˜es e´ necessariamente verdadeira;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(c) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ necessariamente verdadeira;
(d) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ necessariamente verdadeira;
(e) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ necessariamente verdadeira.
Q10. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, em que E e´
uma base ortonormal de V 3. Seja r a reta dada pela equac¸a˜o
r : X = (2, 7, 0)Σ + λ(0, 3, 1)E , λ ∈ R
e seja s a reta perpendicular a r que passa pelo ponto (1, 0, 1)Σ. Assinale
a alternativa correspondente a uma equac¸a˜o para a reta s no sistema de
coordenadas Σ:
(a) s :
{
2x+ y − 3z = 0,
x+ 2y − 3z = 0;
(b) s :
{
x− y − 1 = 0,
x− 2y + z − 3 = 0;
(c) s :
{
x+ 2y − 1 = 0,
3x+ z + 2 = 0;
(d) s :
{
x− y − 1 = 0,
3y + z − 1 = 0;
(e) s :
{
x+ 2y − 1 = 0,
x+ 2y − 3z + 2 = 0.
Q11. Sejam ~v, ~w, ~z ∈ V 3 tais que
‖~v‖ = 2, ‖~w‖ = 2, ‖~z ‖ = 1,
~v seja ortogonal a ~z e a medida do aˆngulo entre ~v e ~w seja igual a pi6 . Temos
que a projec¸a˜o ortogonal de ~v + 2~w + ~z sobre ~v e´ igual a:
(a)
(
2− 2√3 +√2)~v;
(b)
(
1 +
√
3
)
~v;
(c)
(
2 + 2
√
3−√2)~v;
(d)
(
1 + 2
√
3−√2)~v;
(e)
(
2− 2√2)~v.
Q12. Seja fixada uma orientac¸a˜o no espac¸o V 3 e seja E uma base ortonormal
positiva de V 3. Considere os vetores
~v = (1, 1, 1)E , ~w = (1, 0,−2)E , ~z = (0, 2, 2)E ,
as bases
B = {~v, ~w, ~z}, C = {~z, ~w,~v}
de V 3 e os vetores:
~a = (2, 1, 0)B e ~b = (1,−1, 2)C .
Temos que o produto misto [~v,~a,~b ] e´ igual a:
(a) 2;
(b) 4;
(c) −4;
(d) 0;
(e) −2.
Q13. Seja fixada uma orientac¸a˜o no espac¸o V 3 e seja E uma base ortonormal
positiva de V 3. Seja α ∈ R e considere os vetores:
~v = (α, 0, 1)E , ~w = (0, 0, 1)E , ~a = proj~w ~v e ~b = proj~v ~w.
Temos que a norma de ~a ∧~b sera´ igual a 12 se, e somente se:
(a) α = 1√
2
ou α = − 1√
2
;
(b) α = 1 ou α = −1;
(c) α = 1√
2
ou α = −12 ;
(d) α = 1√
2
ou α = 1;
(e) α = 12 ou α = −12 .
Q14. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, em que E e´
uma base ortonormal de V 3. Seja pi o plano dado pela equac¸a˜o
x = 1 + 2λ+ 2µ,
y = 1 + λ− µ,
z = 1 + λ+ µ,
λ, µ ∈ R
no sistema de coordenadas Σ. A distaˆncia do ponto (0, 2, 3)Σ ao plano pi e´
igual a:
(a)
√
6;
(b)
√
7
2 ;
(c)
√
3;
(d)
√
5;
(e)
√
11
3 .
Q15. Seja A o conjunto cujos elementos sa˜o os nu´meros reais a tais que o
subespac¸o vetorial de R5 gerado pelos vetores
(−9, a,−1,−5,−14), (2,−5, 3, 0, 2), (1, 4,−1, 1, 2),
(3,−1, 2, 1, 4) e (−1, 9,−4, 1, 0)
tenha dimensa˜o 2. Assinale a alternativa correta:
(a) A = {−2};
(b) A = {7};
(c) A e´ vazio;
(d) A = {−10};
(e) A = R.
Q16. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) para qualquer espac¸o vetorial V de dimensa˜o finita e para quaisquer
subespac¸os vetoriais S1 e S2 de V , se dim(S1) = 50, dim(S2) = 38 e
S1 ∩ S2 = {0}, enta˜o dim(S1 + S2) = 88;
(II) existe uma base B do espac¸o vetorial P3(R) em que nenhum elemento
de B e´ um polinoˆmio de grau 2;
(III) para qualquer espac¸o vetorial V de dimensa˜o4, se {v1, v2, v3, v4} for
uma base de V , enta˜o
{v1 + v2, v1 + v2 + v3, v3 − v4, v4}
sera´ uma base de V .
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ verdadeira;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras;
(c) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras;
(d) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ verdadeira;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras.