Teorema de Norton (Superposição) (1) UFF-VR

Prévia do material em texto

Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
O Teorema de Norton simplifica um circuito em termos de correntes. 
Esse teorema pode ser usado para reduzir uma rede a um circuito 
simples em paralelo com uma fonte de corrente. Esse circuito 
simplificado será composto por uma fonte de corrente, citada 
anteriormente, com valor de corrente , e dois resistores em 
paralelo a essa fonte, sendo um o Resistor de Norton, , e o outro 
o externo. 
 
O circuito equivalente terá a seguinte configuração 
Teorema de Norton 
NI
a
b
Onde é o resistor externo sobre o qual deseja-se 
conhecer as informações. 
extR
NR
extR
NI
NR
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Lista 1 
Seção 1.3 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
A) 
No Teorema de Norton, retiramos o resistor desejado do circuito, e em seu lugar é formado um 
curto circuito, então encontramos uma corrente que passa por ele. O procedimento para 
encontrar pelo método de Norton é o seguinte: 
NI
Colocando a fonte de 1V em repouso e o resistor de 3Ω transformado em curto, iremos encontrar a 
corrente que passa por ele, chamada de : 
'NI
a
b
AI
R
V
I NN 2'
1
2
' 
*com o curto formado, a corrente 
deixa de passar pelos resistores 
riscados, pois o curto cria um 
caminho livre para sua passagem. 
*negativo pois IN 
está contrária à 
corrente gerada 
pela fonte. 
0i
NI
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Colocando a fonte de 1V em repouso e o resistor de 3Ω transformado em curto: 
"NI
a
b
AIN
2
1
"
A corrente é a corrente que passa somente pelo resistor de 2Ω, pois o de 1Ω, riscado 
acima, não receberá corrente devido ao curto. Então: 
"NI
"' NNN III 
A corrente que deseja-se encontrar é a soma das parciais encontradas anteriormente: 
NI
AII NN
2
3
2
1
2 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
O próximo valor a ser encontrado é a , que é encontrada colocando-se todas as fontes em 
repouso, após considera-se uma corrente que sai de “a” e vai para “b” nos terminais do resistor 
retirado. A será a resistência equivalente de todos os resistores por onde a corrente passar: 
NR
NR
a
b
a
b
Os resistores riscados não recebem corrente devido ao curto gerado pela fonte de tensão em 
repouso, logo os resistores que participarão serão o de 1Ω e o de 2Ω não riscados acima. 
Resumindo o circuito, podemos considerá-lo assim: 
Os resistores estão em paralelo, logo a resistência será dada por: 
NR
2
1
1
1

NR

3
2
NR
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
O circuito equivalente é formado por uma fonte de corrente, com a corrente de saída igual ao valor 
de calculado, , o resistor de Norton também calculado, , e o resistor retirado 
anteriormente no circuito original, no qual deseja-se encontrar , os dois em paralelo: 
NI A2
3 
3
2
3
3
3
2
2
3
3
2
0








i
A
2
3


3
2 3
0i
a
b
Ai
11
3
0 
A corrente é encontrada aplicando-se o divisor de corrente, pois ambos os resistores estão 
em paralelo, logo a corrente se dividirá proporcionalmente, a corrente, então, que passa pelo 
resistor de 3Ω é : 
0i
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Colocando a fonte de 1V em repouso: 
Somente o resistor de 1Ω que não está riscado acima recebe corrente, logo: 
*negativo pois IN 
está contrária à 
corrente gerada 
pela fonte. AIN 2
1
2
' 
Agora para encontrar a queda de tensão no resistor de 2Ω no circuito, o procedimento é o mesmo, 
então, retirando o resistor e colocando um curto em seu lugar, podemos calcular a corrente 
que passa no ramo: 
NI
NI
a b
'NI
a b
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
"NI
a b
Colocando a fonte de 2V em repouso: 
A corrente será aquela que passa por todo o ramo à esquerda da fonte. Para conhecer essa 
corrente calculamos o resistor equivalente para aplicarmos a lei de Ohm, como é feito abaixo: 
"NI
a b

4
3
AII NN
3
4
"
4
3
1
" 
"NI
AII NN
3
10
3
4
2 
Somando os valores parciais de IN calculados: 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a b
A resistência será somente o valor equivalente do resistor de 1Ω em paralelo com o de 3Ω: 
NR
a b

4
3

4
3
NR
Podemos considerar então o circuito equivalente abaixo: 
Logo, o valor de será: 
NR
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Podemos então montar o circuito equivalente: 
Aii
11
10
'
2
4
3
3
10
4
3
' 









A
3
10


4
3 2
0e
a
b
Ve
11
20
0 
Para conhecer a tensão no resistor de 2Ω, encontramos a corrente que está passando sobre 
ele, e após aplicamos a lei de Ohm para conhecermos a tensão, chamando de essa corrente: 
0e
'i







11
10
20e
Aplicando a lei de Ohm: 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
B) 
Para encontrar : 
0i
Colocando a fonte de 1V em repouso, e “retirando” o resistor de 3Ω onde se deseja encontrar a 
corrente: 
'NI
a
b

3
2
eqR
AII NN 3'
3
2
2
' 







A corrente será, então, toda a corrente gerada pela fonte de tensão, então: 
'NI
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
"NI
a
b
O valor de é mostrado abaixo: 
"NI
O curto gerado de “a” para “b” cria um caminho mais fácil para a corrente, assim, o resistor de 2Ω 
é descartado, conforme mostrado acima, assim a corrente será: 
"NI
AII NN 1"
1
1
" 
Somando os valores encontrados, teremos: 
AII NN 213 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Para conhecer o valor de fazemos: 
NR
a
b
a
b

3
2
O valor desejado será o equivalente dos dois resistores em paralelo, que aparecem pois as fontes 
de tensão ficam em repouso. O circuito pode ser escrito da seguinte maneira: 

3
2
NR
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
A2

3
2
3
Montando o circuito equivalente: 
 
3
3
2
2
3
2
0


i
0i
a
b
Ai
11
4
0 
A corrente é encontrada através do divisor de corrente, aplicando então o método temos: 
0i
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Para encontrar : 
0e
Colocando-se a fonte de 1V em repouso, teremos: 
a
b
'NI
Pelo curto, a corrente encontra um caminho mais simples, logo o resistor de 1Ω será descartado, 
a corrente desejada, então, será a que passa pelo resistor de 3Ω: 
AIN
3
2
'
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
"NI
Para encontrar teremos a seguinte configuração do circuito: 
"NI
Agora, o resistor de 3Ω será descartado devido ao caminho mais simples no curto, a corrente 
desejada será a que passa pelo resistor de 1Ω: 
AII NN 1
1
1
" 
Somando-se os valores encontrados: 
1
3
2
NI
AIN
3
5

Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
Para encontrar teremos a seguinte configuração do circuito: 
NR
O valor desejado será o equivalente em paralelo dos dois resistores. 
O circuito com os valores equivalentes são: 
a
b

4
3

4
3
NR
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
A
3
5

3
2
2
O circuito equivalente de Norton será: 
Aii
11
5
'
2
4
3
3
5
4
3
' 



0e
a
b
Ve
11
10
0 
Para saber o valor de no resistor de 3Ω precisamos conhecer a corrente que está passando 
sobre ele, chamando essa corrente de , a encontramos usando o divisor de corrente: 
0e
'i
Aplicando a lei de Ohm encontramos , a corrente a ser usada é encontrada acima: 
0e
'i
11
5
20 e
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
C) 
Para encontrar , colocaremos inicialmente a fonte de 1V em repouso, para encontrar a 
corrente : 
0i
NI
a
b
'NI
A corrente é aquelaque passa pelo resistor de 3Ω, como os ramos estão em paralelo, a 
tensão neste resistor é conhecida, 2V , então a corrente é dada pela lei de Ohm: 
'NI
AIN
3
2
'
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
"NI
Agora colocando a fonte de 2V em repouso: 
O curto gerado pela fonte de 2V em repouso impede a passagem de corrente para o resistor de 
3Ω, logo, não há passagem de corrente onde está, então seu valor é zero. 
"NI
0"NI
Somando os valores encontrados: 
0
3
2
NI
AIN
3
2

Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
Com as duas fontes agora em repouso, encontraremos : 
NR
Se a corrente vai de “a” para “b” , somente o resistor de 3Ω participará, pois as duas fontes em 
repouso geram curtos que impedem a corrente de passar pelos resistores que estão riscados 
acima, logo: 
 3NR
A
3
2
3
1
13
3
3
2
0


i
0i
a
b
Ai
2
1
0 
Montando o circuito equivalente, encontramos através do método de divisor de corrente: 
0i
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Agora para encontrar : 
0e
Colocando a fonte de 1V em repouso: 
a b
'NI
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
D) 
Vamos proceder na obtenção de . 
0i
Este circuito possui uma fonte de corrente e uma de tensão, vamos colocar primeiramente a fonte 
de corrente em repouso (lembrando que a fonte de corrente em repouso é uma abertura no 
circuito): 
a b
'NI
O resistor de 4Ω está em paralelo com o curto, então não há passagem de corrente por ele, nem 
pelo resistor de 1Ω pois o circuito se encontra aberto... 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
...então é a corrente que passa pelo resistor de 3Ω, ignorando todos os outros. Pela lei de 
Ohm: 
'NI
AIN
3
2
'
a b
"NI
Colocando a fonte de tensão agora em repouso: 
O curto em paralelo com os resistores de 3Ω e de 4Ω é um caminho mais simples para a corrente, 
então eles não recebem corrente, então o caminho que a corrente de 1A que sai da fonte percorre, 
é somente através do resistor de 1Ω, já que ela não se divide em nenhum outro resistor: 
a b
"NI
AIN 1"
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Somando os valores obtidos: 
AII NN
3
5
1
3
2

a b
Colocando ambas as fontes em repouso agora, para obter : 
NR
Essa resistência será a equivalente entre os resistores de 3Ω e 4Ω , em paralelo, pois no resistor 
de 1Ω não há passagem de corrente pois a fonte de corrente está em repouso. 
*em paralelo 

7
12
NR
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
A
3
5

7
12
2
O circuito equivalente de Norton será: 
2
7
12
3
5
7
12
0


i
0i
a
b
Ai
13
10
0 
Para saber o valor de basta aplicar o divisor de corrente: 
0i
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Encontrando agora : 
0e
Colocando a fonte de corrente primeiramente em repouso: 
a
b
'NI
A corrente é aquela que está passando pelos resistores de 4Ω e 5Ω ( em paralelo), uma vez 
que o resistor de 1Ω, riscado acima, não participará dos cálculos : 
'NI

3
4
AII NN
2
3
'
3
4
2
' 







Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
"NI
A corrente será toda a corrente que sai da fonte de 1A ... 
...pois o curto impede que os resistores de 4Ω e 2Ω recebam corrente, então: 
"NI
AIN 1"
1
2
3
NI
O valor final será: 
AIN
2
1

Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
Para encontrar observe que o resistor de 1Ω não participará dos cálculos pois não recebe 
corrente, a resistência de Norton será o equivalente dos resistores de 4Ω e 2Ω em paralelo: 

3
4

3
4
NR
A
2
1
 
3
4
3
3
3
3
4
3
4
2
1
0 














e
0e
a
b
Ve
13
6
0 
Montando o circuito equivalente, é dado pela lei de Ohm, a resistência vezes a corrente que 
passa por ela, dada pelo divisor de corrente: 
NR
0e
* é a corrente 
que passa pelo 
resistor de 3Ω 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
E) 
Inicialmente, encontraremos : 
0i
Colocando a fonte de 1V em repouso: 
a
b
'NI
A corrente é aquela que se divide para o lado esquerdo da fonte de corrente, pois ela está 
em paralelo, logo sua corrente se dividirá entre os ramos paralelos. 
'NI
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Então, pelo divisor de corrente: 
AII NN
4
3
'
26
16
' 



Colocando a fonte de corrente em repouso: 
a
b
"NI
A corrente se dará pela lei de Ohm, aplicada somente ao resistor que está participando dos 
cálculos, 3Ω : 
"NI
AIN
3
1
" 
AII NN
12
5
3
1
4
3

Agora, somando os valores das correntes encontrados: 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
Calculando o valor de , observe que, com as fontes em repouso, teremos o ramo da 
esquerda em paralelo com o ramo da direita, tomando “a” e “b” por base. 
NR
a
b
Somando os resistores em série: 
8

11
24
NR
Então, a resistência desejada é o equivalente dessas duas: 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
A
12
5

11
24
4
Então, montando o circuito equivalente: 















4
11
24
12
5
11
24
0i
0i
a
b
Ai
34
5
0 
Para saber o valor de basta aplicar o divisor de corrente: 
0i
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a b
'NI
Agora para obtermos : 
0e
Colocando a fonte de corrente em repouso: 
A corrente é toda a corrente que sai da fonte de 1V, simplificando o circuito: 
'NI
*em série!!! 
a b
'NI
8

3
8
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Então, conhecemos aplicando a lei de Ohm: 
'NI
AII NN
8
3
'
3
8
1
' 







a b
"NI
Colocando a fonte de tensão em repouso: 
Agora é dada através do divisor de corrente, será a corrente que vai para a parte a 
esquerda da fonte, ignorando o resistor de 4Ω que não recebe corrente: 
"NI
 
AII NN
4
3
"
)15(2
115
" 



4
3
8
3
NI
Somando os valores encontrados: 
AIN
8
9

Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a b
Encontrando agora a : 
NR

3
8
NR
*em série!!! 
A resistência desejada será o equivalente do resistor de 4Ω em paralelo com todos os outros que 
estão em série, então: 
A
8
9
 
3
8
3
3
3
3
8
3
8
8
9
0 














e
0e
a
b
Ve
13
6
0 
* corrente que 
passa pelo 
resistor de 3Ω 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
E)