Teorema de Thevenin (Superposição)UFF-VR

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Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
Lista 1 
Seção 1.3 
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
A) 
Da mesma forma que é feito em divisor de tensão e corrente ,quando há mais de uma fonte no 
circuito, no método de Thevenin trabalhamos com cada fonte separadamente, colocando as 
outras em repouso. O método não mudará, apenas encontraremos mais de um valor para Rth 
(Rth’, Rth’’,...) e mais de um valor para Vth (Vth’, Vth’’,...). O valor final para cada um deles será a 
soma algébrica de cada valor parcial, por exemplo, Vth = Vth’ + Vth” + Vth’’’+.... 
Para começar, vamos encontrar a corrente no resistor de 3Ω: 
0i
a
b
'thV
b
a
'thV
*Note que estamos a princípio trabalhando 
com a fonte de 1V, e colocando a de 2V em 
repouso, ficando um curto em seu lugar por se 
tratar de uma fonte de tensão !!! 
VVV thth
3
1
'
21
11
' 



•que é a contribuição 
da fonte de 1V sobre 
o valor de Vth. 
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
a
b
"thV
b
a
"thV
Ainda encontrando o valor de Vth, colocaremos a fonte de 1V em repouso e trabalharemos 
apenas com a fonte de 2V: 
"' ththth VVV 
Como não há mais fontes no circuito, agora podemos encontrar o valor final de Vth somando o 
valor de Vth’ e Vth’’ : 







3
4
3
1
thV
VVth 1
VVV thth
3
4
"
3
22
" 


Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
a
b
O resistor de Thevenin (Rth) também é encontrado de maneira similar, colocando-se todas as 
fontes em repouso, e imaginando uma corrente saindo de “a” e indo para “b” : 
Teremos que: 

3
2
1
2
11
th
th
R
R
V1

3
2
3
a
b
0i
 
3
3
3
2
31
0














i
O circuito equivalente terá exatamente a mesma configuração : 
Ai
11
3
0 
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
Agora, aplicando o mesmo procedimento, encontraremos 
0e
a
b
'thV
a
b
*Colocando a 
fonte de 2V 
em repouso. 
VVth 1' 
'thV
a
b
"thV
b
a
*Colocando a 
fonte de 1V 
em repouso. 
'thV
"thV
VVV thth
2
3
"
31
32
" 



Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
"' ththth VVV 
Somamos ambos os valores para encontrar o Vth final: 
VVV thth
2
5
2
3
1 






Calcularemos agora o valor de Rth da mesma maneira que foi feito anteriormente: 
a
b
Teremos que: 

4
3
3
1
1
1
th
th
R
R
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
V
2
5


4
3
2
a
b
0e
2
4
3
2
5
2
0








e
Ve
11
20
0 
Finalmente, o circuito equivalente para a tensão será: 
Com o divisor de tensão, encontramos o valor de no resistor desejado: 
0e
0e
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
B) 
Vamos encontrar a corrente , colocando, primeiramente, a fonte de 1V em 
repouso: 
0i
a
b
'thV
VVth 2' 
a
b
"thV
Colocando a fonte de 2V em repouso: 
VVV thth
3
2
"
3
12
" 


b
a
"thV
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
VVV thth
3
4
3
2
2 
Somando os valores parciais de Vth chegamos ao seu valor final : 
a
b

3
2
thR
Com as fontes em repouso, temos que Rth é a resistência equivalente entre os 
resistores de 1Ω e 2Ω em paralelo: 
V
3
4


3
2
3
a
b
0i
3
3
3
2
3
4
3
0




















i
O circuito equivalente será: 
Ai
11
4
0 
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
Agora trabalharemos na obtenção de 
0e
Colocando o resistor de 1V em repouso: 
a
b
'thV
b
a
'thV
VVV thth
2
1
'
13
21
' 



Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
a
b
"thV
b
a
"thV
Colocando agora a fonte de 2V em repouso para encontrar Vth’’: 
VVV thth
4
3
"
13
31
" 



VVV thth
4
5
4
3
2
1

Com os dois valores conhecidos, já podemos saber o valor de Vth: 
a
b
O valor de Rth será: 

4
3
thR
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
V
4
5

4
3
2
a
b
0e
4
3
2
4
5
2
0


e
Ve
11
10
0 
O circuito equivalente para a tensão será: 
Aplicando o divisor de tensão, temos: 
0e
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
C) 
Calculando o valor de : 
0i
a
b
'thV
b
a
'thV
Com a fonte de 1V em repouso, cria-se um curto que fará com que Vth seja a 
queda de tensão no resistor de 2Ω, que será toda a tensão da fonte: 
VVth 2'
a
b
"thV
0"thV
*Repare que não há 
passagem de corrente 
para o ramo onde se 
situa Vth’’, logo não 
existe tensão 
nesse ramo. 
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
Somando Vth’ com Vth’’ : 
VVV thth 202 
a
b
 3thR
Colocando as duas fontes de tensão em repouso, os dois ramos ficam em curto, logo, o único 
resistor considerado é o de 3Ω: 
V2
3
1
a
b
0i
1
13
21
0








i
O circuito equivalente será: 
Ai
2
1
0 
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
Agora encontraremos a queda de tensão no resistor de 2Ω 0e
a
b
'thV
a
b
'thV
VVth 2' 
a
b
"thV
b
a"thV
VVth 1" 
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
De posse desses valores, podemos encontrar Vth : 
  VVV thth 312 
a
b
Para Rth, teremos que... 
...os curtos nos impedem de encontrar uma resistência, uma vez que a corrente imaginária de “a” 
para “b” passa somente através dos curtos, conferindo um valor nulo para Rth: 
0thR
V3
2
a
b
0e
 30 e
Para o circuito equivalente teremos: 
Ve 30 
* isso pode ocorrer sem que impeça o 
circuito de ter solução pelo método! 
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
D) 
Vamos primeiro colocar a fonte de corrente em repouso para encontrar . 
0i
a
b
'thV
b
a
'thV
VVV thth
7
8
'
7
42
' 


a
b
Ai
7
3
'
b
a
'thV
'i
VVV thth
7
12
"
7
3
4" 
Agora colocando a fonte de tensão em repouso. 
'thV
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
VVV thth
7
20
7
12
7
8

Vth será: 
a
b
Calculando Rth: 

7
12
thR
V
7
20
2
a
b
0i
2
2
7
12
7
202
0














i
Ai
13
10
0 

7
12
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
Agora para encontrar ,colocando a fonte de corrente em repouso: 
0e
a
b
'thV
Vth terá o valor total da saída da fonte, porém negativo por estar no mesmo sentido da corrente: 
VVth 2' 
a
b
"thV
b
a
Colocando a fonte de tensão em repouso: 
VVth
3
4
"
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
VVV thth
3
2
3
4
2 
Vth será: 
a
b
Calculando Rth: 

3
4
thR
V
3
2

3
a
b
0e
3
3
4
3
2
3
0


e
Ve
13
6
0 

3
4
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
E) 
Calculando a corrente no resistor de 4Ω, colocando, de início, a fontede tensão em repouso: 
0i
a
b
'thV
b
a
'thV
VVV thth
11
18
'3
11
6
' 'i Ai
11
6
'
a
b
"thV
Agora com a fonte de corrente em repouso: 
b
a VVth
11
8
" "thV
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
VVV thth
11
10
11
8
11
18

Vth será a soma das parciais: 
Calculando Rth: 

11
24
thR
V
11
10
4
a
b
0i
4
11
24
4
11
10
4
0














i
Ai
34
5
0 

11
24
a
b
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
a
b
'thV
Agora, para encontrar no resistor de 3Ω: 
0e
VVth 1' 
a
b
'thV
VVth 2' 
a
b
'thV
'i
Ai
2
1
'
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 VVV thth 321 Vth será a soma das parciais: 
Calculando Rth: 
3
8
thR
V3 3
a
b
0e
 
3
8
3
33
0


e
Ve
17
27
0 

3
8a b
O circuito equivalente será: 
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
F) 
a
b
a
b
'thV
0'thVComo não há passagem de corrente pelo ramo, logo: 
Esse é um exemplo de um circuito onde não há solução pelo método de Thevenin, vamos mostrar 
o porquê disso ocorrer: 
 
Vamos começar por Rth nesse exercício: 
Observe que não há possibilidade da corrente imaginária que sai de “a” para “b” fluir pelo circuito, 
pois a fonte de corrente em repouso impede o fluxo de corrente, logo é impossível encontrar um 
valor para Rth. 
 
Procedendo na solução, vamos encontrar a corrente no resistor de 1Ω, colocando a fonte de 1A 
em repouso: 
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
a
b "thV
Colocando a fonte de 2A em repouso: VVth
12
59
" 
VVV thth
12
59
12
59
0 
Vth será dado por: 
Veja que é possível calcular o valor de Vth, mas o de Rth não. Logo, não teremos um resistor 
equivalente de Thevenin definido, logo conclui-se que esse circuito, nessas condições, não é 
possível ser solucionado por Thevenin. 
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
Agora, vamos proceder na obtenção de 
0e
a b
'thV
0'thV
a
b
'thV
VVth
12
35
" 
Com a fonte de 1A em repouso: 
Com a fonte de 2A em repouso: 
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
VVV thth
12
35
12
35
0 
Vth será dado por: 
Calculando agora o valor de Rth: 
a
b
Novamente o circuito está limitado, pois a abertura impede o fluxo da corrente imaginária. 
 
Logo esse circuito também não possui solução por Thevenin para o resistor desejado. 
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
G) 
Retirando o resistor de 3Ω, e colocando a fonte de 2A em repouso, para encontrar : 
a
b
'thV
0i
b
a
'thV
* Observe que os 
resistores de 1Ω ficam 
em série entre si e com o 
de 2Ω !! 
*E esse em paralelo com 
os outros. 
VVV thth
5
2
'
5
1
2' 
'i
Ai
5
1
41
11
' 



Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
a
b
"thV
b
a
"thV
"i
VVV thth
5
2
'
5
1
2'  VVV thth
5
6
'
5
2
)21(" 
Colocando a fonte de 1A em repouso: 
VVV thth
5
4
5
6
5
2

a
b

5
6
thR
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
V
5
4


5
6
3
a
b
0i
3
3
5
6
5
4
3
0




















i
Ai
21
4
0 
O circuito equivalente para a corrente será: 
Aplicando a lei de Ohm no resistor de 3Ω, temos: 
0i
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
Agora trabalhando com o resistor de 2Ω para conhecermos a tensão 
0e
a b
'thV
b
a
'thV
VVth 1' 
a b
"thV
a
b
"thV
VVth
5
6
5
2
3" Ai 5
2
'
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
VVV thth
5
11
5
6
1 
Somando os valores parciais já encontrados: 
a b

5
11
1
5
6
thth RR

5
6
a
b
0e
O circuito equivalente para determinar a tensão desejada será: 
0e
2
5
11
5
11
2
0


e
Ve
21
22
0
V
5
11


5
11
Para encontrar Rth: 
2
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
H) 
Trabalhando de início para encontrar a corrente : 
0i
a b
'thV
O circuito possui 3 fontes, então escolhe-se uma para trabalhar, e as outras duas são colocadas em 
repouso, e assim sucessivamente, sempre trabalhando com uma fonte apenas. Trabalhando com a 
fonte de 1V: 
a b
'thV
VVth 1'
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
a b
"thV
b
a
"thV
Trabalhando com a fonte de corrente: 
VVV thth 3"13" 
a b
'''thV
b
a
VVth 2''' 
'''thV
'''"' thththth VVVV 
Por fim, soma-se os três valores encontrados: 
VVV thth 2231 
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
a b
O Rth é dado por: 
 3thR
a
b
Montando o circuito equivalente: 
1
31
21
0








i
Ai
2
1
0 
V2
3
1 0
i
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
a b
'thV
Agora repetindo todo o processo para encontrar 
0e
VVth 1'
a b
"thV
VVth 1" 
a
b
"thV
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
a b
'''thV
VVth 2''' 
b
a
'''thV
VVV thth 2211 
a b
Somando os valores encontrados: 
Agora encontrando Rth: 
1thR
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
V2
1
3
a
b
0e
 
13
23
0


e
Ve
2
3
0
O circuito equivalente para será: 
Através do divisor de tensão temos: 
0e
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
I) 
Para encontrar a corrente , colocando-se primeiramente a fonte de 1V em repouso: 
0i
a
b
'thV
a
b
O valor de Vth’ é a queda de tensão no resistor de 1Ω indicado acima, mas observe que ele está 
em série com todos os outros resistores, logo, é necessário aplicar ali um divisor de tensão para 
conhecer Vth’ : 
VVV thth
23
16
'
8
15
1
12
' 



Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
a
b
a
b
"thV"thV
VVV thth
23
8
"
8
15
1
11
" 



VVV thth
23
8
23
8
23
16

Colocando a fonte de 2V em repouso: 
Somando Vth’ e Vth’’ : 
a
b



23
15
1
3
1
54
11
th
th
R
R
Para encontrar Rth: 
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
V
23
8

23
15
2
a
b
0i
2
23
15
2
23
8
2
0














i
Vi
61
8
0
O circuito equivalente para a corrente será: 
Através da lei de Ohm temos: 
0i
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
Encontrando agora : 
0e
a
b
'thV
a
b
'thV
a
b
'thV
VVV thth
11
18
'
3
2
3
32
' 



Colocando a fonte de 1V em repouso: 
Note que o resistor de 3Ω está em série com o equivalente em paralelo entre 1Ω e 2Ω. 
Então, como no caso anterior, Vth’ será dado pelo divisor de tensão: 
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
Encontrando agora Vth’’ colocando a fonte de 2V em repouso: 
a
b
"thV
a
b
"thV
VVV thth
11
9
"
3
2
3
31
" 



VVV thth
11
9
11
18
11
9

Logo, Vth será: 
ab

11
17
11
6
1 thth RR
Encontrando agora Rth : 
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
V
11
9


11
17
4
a
b
0e
11
17
4
11
9
4
0


e
Ve
61
36
0
O circuito equivalente para a queda de tensão será: 
Encontramos pelo divisor de tensão: 
0e
0e
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
J) 
Começando por , colocando a fonte de 1V em repouso: 
a b
'thV
0i
0'thV
*não há passagem de 
corrente onde estão os 
pontos “a” e “b” devido ao 
curto ocasionado pela fonte 
em repouso! 
a b
"thV
b
a
"thV
VVth 1"
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
Logo, Vth será: 
VVV thth 110 
a b
Agora, encontrando Rth: 

4
3
thR
a
b
Montando o circuito equivalente: 
4
4
3
4
14
0














i
Ai
19
4
0 
V1

4
3
1 0
i
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
Agora, encontrando a queda de tensão no resistor indicado:: 
a b
'thV
Com a fonte de 1V em repouso: 
VVth 2' 
a
"thV
b
a
b
Com a fonte de 2V em repouso: 
VVth 1" 
Eletricidade Aplicada Teorema de Thevenin Lista 1 
VVV thth 312 
Somando Vth’ e Vth’’: 
a b
0thR
Para Rth teremos: 
a
b
No circuito equivalente deverão conter apenas a fonte e o resistor retirado, uma vez que Rth=0: 
Ve 30V3
1 0
e