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Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 Em um sistema de controle pode-se avaliar os sinais presentes em todos os caminhos do sistema e também as contribuições de cada equipamento na mudanças deste sinal. Este método busca identificar os “n” diferentes sinais presentes no sistema com rótulos Xn e construir um sistemas se equações afim de determinar a relação para C(s)/R(s). Exemplo: Sistemas de Controle – Equações Auxiliares X1 X2 No exemplo acima temos um sinal de entrada R(s) que ao passar por G1 se torna X1, ao passar por G2 se torna X2 e ao passar por G5 se torna C(s). Com isso podemos estabelecer os seguinte sistema de equações: 52 212 11 )( . )(. GXsC GXX sRGX Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 Com isso podemos realizar substituições sucessivas e determinar a relação C(s)/R(s). 521 152 11521 21252 )( )( :se- temisso Com )()( )()( Logo, )( GGG sR sC sRGGGsC sRGXGGXsC GXXGXsC Este método apresenta uma forma matemática simples de resolução de sistemas de controle porém, durante as substituições sucessivas, podemos nos deparar com loopings matemáticos nos quais X1 se torna X3 que volta a se tornar X1. Como X1, X2 ... Xn são variáveis auxiliares utilizadas na resolução mas não presentes no sistema inicial estas não poderão fazer parte da resposta final o que nos solicita resolver este looping matemático para alcançar a solução. Durante a solução da lista uma forma simples de solução destes loopings será apresentada. Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 Produzido por: Rayel Carvalho e Thiago Leite Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 5.1) Para iniciar este exercício devemos definir quais são os caminho e os laços do sistema, o modelo de apresentação abaixo será utilizado nos demais exercícios: X1 X2 X2 X2 X3 X4 X5 X6 Obs 1 Obs 2 Obs 1: nos pontos de realimentação os sinais serão somados respeitando os sinais presentes no ponto de realimentação. (neste caso X6 será negativo e R(s) positivo). Obs 2: Nesta bifurcação como não há passagem por nenhum equipamento o sinal X2 segue para todos os caminhos. Como todos os sinais definidos montaremos o sistema de equações Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 54 126 225 434 223 112 61 )( . )( XXsC HXX HXX GXX GXX GXX XsRX O problema pode ser iniciado à partir de qualquer equação, para facilitar a resolução iniciarei pela equação do sinal de saída. 21124216 2164211 211422 1122232243 22543454 ])([])([)( ])([)( )( /)( /)( HGHXsRGGGXsRsC HGXsRGGGXsC HGXGGXsC GXXGXXHXGXsC HXXGXXXXsC Neste ponto podemos verificar que a quarta linha da equação já nos encaminha para um looping matemático, onde a expressão depende da variável X1, que se torna X6, que se torna X2 e voltará a se tornar X1. Assim não poderemos continuar com as subtituições sucessivas para eliminar os Xn existentes no problema. Este fato é considerado um looping matemático. A dúvida agora é como resolve-lo. Para isso montaremos um fluxograma simples mostrando as transformações ocorridas nas equações. Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 C(s) X5 X4 X3 X1 X6 X2 R(s) Analisando o fluxograma podemos verificar facilmente o looping que ocorre envolvendo X2, X1 e X6. Identificado o looping devemos excluí-lo definindo uma equação que não dependa de nenhum dos Xn para o qualquer um dos componentes do looping. Neste caso solucionar o looping em X2 eliminará qualquer looping adicional. Para isso utilizaremos a equação de X2: 11 1 2 1112 11122 11212 1122 162 112 1 )( )()1.( )( )( ])([ ])([ GH GsR X GsRGHX GsRGHXX GHXGsRX GHXsRX GXsRX GXX Com uma equação livre definida para X2 podemos retornar ao início do problema e substituir X2. Este método eliminará o looping. Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 11 21421 1)( )( HG HGGGG sR sC Assim temos: 11 21421 11 21421 11 21421 2 11 1 42 11 1 22422 2232243 22543454 1)( )( 1 ).()( 1 )()( )( 1 )( 1 )( )( ,)( )( /)( :acima equação na 2 X substituir podemos 11 1 1 )( 2 X Como GH HGGGG sR sC GH HGGGG sRsC GH HGsRGGGsR sC H GH GsR GG GH GsR sC HXGGXsC GXXHXGXsC HXXGXXXXsC GH GsR Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 5.2) X1 X2 X2 X2 X8 X6 X 5 X5 X 7 X3 X4 68 228 157 456 345 734 223 112 21 )( . )( XXsC HXX HXX GXX GXX XXX GXX GXX XsRX Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 C(s) X6 X8 X2 X1 R(s) Conforme feito no problema anterior vamos analizar à priori a existência de loopings matemáticos no sistema. X5 X4 X3 X7 Neste problema temos dois loopings matemáticos onde um depende do outro. Um looping com X4, X5 e X7 e um outro com X2 e X1. Com isso devemos definir duas equações, uma para X5 e uma para X2. Como X2 entra na composição de X5 definiremos X2 e utilizaremos a equação de X2 para definir X5. Assim temos: 1 1 2 112 1122 1212 122 112 1 )( )(]1.[ )( )( ])([ G GsR X GsRGX GsRGXX GXGsRX GXsRX GXX 311311 321 5 1 321 315 1 321 3155 31532 1 1 5 3153225 37335 345 1 )( 1 )( ]1.[ 1 )( 1 )( GGHGHG GGGsR X G GGGsR GHX G GGGsR GHXX GHXGG G GsR X GHXGGXX GXGXX GXX Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 Com ambos os loopings solucionados podemos partir para as substituições, partindo de C(s) temos: 311311 4321213121 311 43213121 311 4321 1 21 311311 4321 1 21 4 311311 321 2 1 1 4522 68 1)( )( )1).(1( )]1.([ ).()( )1).(1(1 ).()( 11 ).()( 1 )( 1 )( )( )( )( GGHGHG GGGGHHGGHG sR sC GHG GGGGGHHG sRsC GHG GGGG G HG sRsC GGHGHG GGGG G HG sRsC G GGHGHG GGGsR H G GsR sC GXHXsC XXsC 131131 2131214321 1)( )( HGGHGG HHGGHGGGGG sR sC Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 5.3) X1 X3 X2 X2 X2 X4 X5 X5 X6 X7 C(s) X8 57 128 687 456 345 534 223 112 21 )( )( . )( GXsC HXX sCXXX GXX GXX XXX GXX GXX XsRX Eletricidade Aplicada Sistemasde Controle Equações Auxiliares Lista 5 C(s) X6 X8 X2 X1 R(s) Vamos analizar a existência de loopings matemáticos no sistema. X5 X4 X3 X7 Neste problema temos três loopings matemáticos onde um depende do outro. Um looping com X4e X5, um outro com X2 e X1.e um terceiro com X7 e C(s). Com isso devemos definir três equações, uma para X5, uma para X2.e uma para C(s). Como X2 entra na composição de X5 definiremos X2 e utilizaremos a equação de X2 para definir X5. Assim temos: 1 1 2 112 1122 1212 122 112 1 )( )(]1.[ )( )( ])([ G GsR X GsRGX GsRGXX GXGsRX GXsRX GXX 3131 321 5 1 321 35 1 321 355 3532 1 1 5 353225 35335 345 1 )( 1 )( ]1.[ 1 )( 1 )( GGGG GGGsR X G GGGsR GX G GGGsR GXX GXGG G GsR X GXGGXX GXGXX GXX Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 531535131531 153115154321 1)( )( GGGGGGGGGGGG HGGGHGGGGGGG sR sC Para o terceiro looping não precisamos definir uma equação específica para C(s) pois definir C(s) nos levará à definir C(s)/R(s), assim temos: 531535153131 53211531151 53131 53211531151 3131 53211531151 5 31 53213511 5 31 5321 1 511 5 55 3131 321 51 1 1 555512 55658 568 57 1)( )( )1)(1( )()( 1 )()1).(( )1).(1( )1).(( )()1).(( )1).(1( )( 1 )( )()( )( 1 )( 1 )( )( )()( )()( )]([)( )( GGGGGGGGGGGG GGGGHGGGHGG sR sC GGGGG GGGGHGGGHGG sRsC GGGG GGGGHGGGHGG sRGsC GG GGGGGGHG sRGsC GG GGGGsR G GHGsR GsCsC GsCG GGGG GGGsR GH G GsR sC GsCGXGHXsC GsCGXGXsC GsCXXsC GXsC Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 5.4) R(s) X1 X2 X3 X 3 X4 X5 X6 X 6 X7 X8 X 9 X 1 0 87 1310 269 38 567 456 945 334 223 1012 11 )( )( )( XXsC HXX HXX HsRX GXX GXX XXX GXX GXX XXX GsRX Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 C(s) X6 X8 X2 X1 R(s) Vamos analizar a existência de loopings matemáticos no sistema. X5 X4 X3 X7 12 1 2 1122 11222 12212 1312 1012 1 )( )(]1.[ )( )( )( HG GsR X GsRHGX GsRHGXX HGXGsRX HXGsRX XXX )1).(1( )( 1 )( )1.( 1 )( 1 )( 2412 321 5 12 321 245 12 321 2455 24532 12 1 5 2453225 26335 945 HGHG GGGsR X HG GGGsR HGX HG GGGsR HGXX HGXGG HG GsR X HGXGGXX HXGXX XXX X9 X10 Neste problema temos dois loopings matemáticos onde um depende do outro. Um looping com X3, X2 e X10 e um outro com X6, X5 e X9. Como X2 entra na composição de X6 definiremos X2 e utilizaremos a equação de X2 para definir X6. Assim temos: Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 Solucionados os loopings podemos concluir o problema, assim temos: )1).(1( )]1).([( )( )( )1).(1( )]1).(1).([( )( )( )( )1).(1( )( )( )()( )()( )( 2412 21422412354321 2412 2412354321 354 2412 321 3545 356 87 HGHG HHGGHGHGHGGGGG sR sC HGHG HGHGHGGGGG sR sC HsRGG HGHG GGGsR sC HsRGGXsC HsRGXsC XXsC 21422412 32142324312354321 1)( )( HHGGHGHG HHHGGHHGHHGHGGGGG sR sC Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 5.5) X3 X2 57 411 3510 259 128 967 456 345 10384 223 112 111 )( )( )( GXsC HsCX HXX HXX HXX XXX GXX GXX XXXX GXX GXX XsRX X2 X4 X5 X5 X6 X7 C(s) X5 X8 X9 X11 X1 X 1 0 Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 C(s) X6 X8 X2 X1 R(s) Vamos analizar a existência de loopings matemáticos no sistema. X5 X4 X3 X7 )1( ))(())(( )()()()()1.( ))()(())()(()1.( ))(())(( )( 33 43214131321131 5 43213214311311335 32143114335 32111311113355 335321131115 3353223125 310385 345 GH HGGGHHGGsCGGGHGGsR X HGGGsCGGGsRHGHGsCGHGsRGHX GGGHsCsRGHGHsCsRGHX GGGXsRGHGXsRGHXX GHXGGGXGHGXX GHXGGXGHXX GXXXX GXX X9 X10 Neste problema temos dois loopings matemáticos. Um looping com X4, X5 e X10 e um outro que é composto por quase todas as variáveis do problema. Como C(s) faz parte do segundo looping podemos definir apenas X5. Assim temos: X11 Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 42153142532145432141543133 25321543212153115431 33 25321543212153115431 33 42153142532145432141543133 33 25321543212153115431 33 421531425321454321415431 33 33 33 25321543212153115431 33 421531425321454321415431 33 525443214131 33 5254321131 5254 33 43214131321131 52545 525545 5956 57 1)( )( )1( ))(( )1( 1 ).( )1( ))(( )1( ))(( )1( )1( )( )1( ))(( )1( ))(( )( )1( ))()(( )1( ))()(( )( )( )1( ))(())(( )( )()( )( )( )( HHHGGGHHGGGGHGGGGGHHGGGGGH HGGGGGGGGGHHGGGHGGGG sR sC GH HGGGGGGGGGHHGGGHGGGGsR GH HHHGGGHHGGGGHGGGGGHHGGGGGH sC GH HGGGGGGGGGHHGGGHGGGGsR GH HHHGGGHHGGGGHGGGGGHHGGGGsC GH GH sC GH HGGGGGGGGGHHGGGHGGGGsR GH HHHGGGHHGGGGHGGGGGHHGGGGsC sC GH GHGGHGGGHHGGsC GH GHGGGGGHGGsR sC GHGG GH HGGGHHGGsCGGGHGGsR sC GHGGXsC GHXGGXsC GXGXsC GXsC Solucionado o looping podemos concluir o problema, assim temos: Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 42153141543142532145432133 21531154312532154321 1 ]1.[]1.[]1.[]1).[( )( )( HHHGGGHHGGGGHHGGGGHGGGGGHG HHGGGHGGGGHGGGGGGGGG sR sC Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 5.6) R(s) X1 R(s) X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X 9 X6 X 3 X 1 0 87 1310 269 38 567 456 945 334 223 1012 11 )( )( )( XXsC HXX HXX HsRX GXX GXX XXX GXX GXX XXX GsRX Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 C(s) X6 X8 X2 X1 R(s) Vamos analizar a existência de loopings matemáticos no sistema. X5 X4 X3 X7 )1( )( )()1.( )( )( 21 21 3 21213212133 213213 210213 223 GH GGsR X GGsRGHX GGsRGHXX GHXGGsRX GXGXX GXX X9 X10 Neste problema temos dois loopings matemáticos. Um looping com X3, X2 e X10 e um outro entre com X6, X5 e X9. Como X3 depende de X6 definiremos X3 e depois X6. Assim temos: )1).(1( )( )1( )( )1.( )1( )( )1( )( 4221 4321 6 21 4321 426 21 4321 4266 42643 21 21 6 49446 456 GHGH GGGGsR X GH GGGGsR GHX GH GGGGsR GHXX GHXGG GH GGsR X GXGXX GXX Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 Solucionados os loopings podemos concluir o problema, assim temos: 42212142 42321231432354321 4221 4221354321 3 4221 54321 35 4221 4321 356 87 1)( )( )1).(1( )]1).(1).([( )( )( )1).(1()( )( )( )1).(1( )( )( )()( )( GGHHGHGH GGHHHGHHGHHHGGGGG sR sC GHGH GHGHHGGGGG sR sC H GHGH GGGGG sR sC HsRG GHGH GGGGsR sC HsRGXsC XXsC 21422412 32142324312354321 1)( )( HHGGHGHG HHHGGHHGHHGHGGGGG sR sC Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 5.7) R(s) X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X 7 X 9 C(s) X10 57 110 279 38 467 956 345 834 223 1012 11 )( )( )( )( GXsC HsCX HXX HsRX GXX XXX GXX XXX GXX XXX GsRX Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 C(s) X6 X8 X2 X1 R(s) Vamos analizar a existência de loopings matemáticos no sistema. X5 X4 X3 X7 X9 X10 Neste problema temos dois loopings matemáticos. Um looping com X7, X6 e X9 e um outro que engloba C(s) o que facilitará a resolução. Logo definiremos X7: )1( )).(()( )()()()1.( )()1.( )()1.( 42 43343214321 7 43343214321427 433432143210427 4334322427 4384334277 4274347 49457 467 GH GGHGGGGsRGGGHsC X GGHsRGGGGsRGGGHsCGHX GGHsRGGGXGGGXGHX GGHsRGGGXGHX GGXGGXGHXX GHXGGXX GXGXX GXX Eletricidade Aplicada Sistemas de Controle Equações Auxiliares Lista 5 1543224 354354321 1)( )( HGGGGHG HGGGGGGGG sR sC Solucionados os loopings podemos concluir o problema, assim temos: 5432142 543354321 5433543215432142 42 543354321 42 5432142 42 543354321 42 5432142 42 543354321 42 54321 42 54334321 42 54321 42 5433432154321 57 1 . )( )( )).(()1).(( )1( )).(( )1( )1( ).( )1( )).(( )1( )()1)(( )1( )).(( )1( )( )( )1( ))().(( )1( )( )( )1( ))().(()( )( )( GGGGHGH GGGHGGGGG sR sC GGGHGGGGGsRGGGGHGHsC GH GGGHGGGGGsR GH GGGGHGH sC GH GGGHGGGGGsR GH GGGGHsCGHsC GH GGGHGGGGGsR GH GGGGHsC sC GH GGGHGGGGsR GH GGGGHsC sC GH GGGHGGGGsRGGGGHsC sC GXsC
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