LEB 340_TopoGeoI_2014

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LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
Prof. Rubens Angulo Filho 
 
 
 
 
http://www.leb.esalq.usp.br/aulas.html 
Bibliografia 
 ANGULO FILHO, R.; VETTORAZZI, C.A.; DEMÉTRIO, V.A. Exercícios de 
Topografia (Apostila).Departamento Editorial do CALQ - DECALQ. 
Piracicaba. 1996. 25p. 
 
ATCHESON, D. Estimating Earthwork Quantities. 3a. ed. Lubbock, 
Norseman Publishing Company, 1986. 
 
BORGES, A.C. Exercícios de Topografia. 3a. ed. São Paulo, Edgard Blucher, 
1975. 192p. 
 
BORGES, A.C. Topografia. São Paulo, Edgard Bluscher, 1977. 187p. Vol. 1. 
 
BORGES, A.C. Topografia. São Paulo, Edgard Bluscher, 1992. 232p. Vol. 2. 
 
COMASTRI, J.A.; TULLEB, J.C. Topografia: Altimetria. Viçosa, Imprensa 
Universitária, 1980. 160p. 
 
COMASTRI, J.A  CARVALHO, C.A.B. de. Estradas (traçado geométrico). 
Viçosa, Imprensa Universitária, 1981. 71p. (Boletim no. 112). 
 
COMASTRI, J.A.  TULLEB, J.C. Topografia: Planitimetria. Viçosa, 
Imprensa Universitária, 1977. 335p. 
Bibliografia 
 DAVIS, R.E.; FOOTE, F.S.; ANDERSON, J.M.; MIKHAIL, E.M. Surveying: 
Theory and Practice. 6a. ed. New York. Mac Graw-Hill Publisching 
Company, 1981. 992p. 
 
DOMINGUES, F.A.A. Topografia e Astronomia de Posição para Engenheiros 
e Arquitetos. São Paulo, Mc Graw hill, 1979. 
 
ERBA, D.A. (Org.) Topografia para Estudantes de Arquitetura, Engenharia 
e Geologia. São Leopoldo, Ed. Unisinos, 2003. 
 
ESPARTEL, L. Curso de Topografia. 7a. ed. Porto Alegre, Globo, 1980. 
655p. 
 
FONSECA, R.S. Elementos de Desenho Topográfico. São Paulo, Mc Graw 
Hill, 1979. 192p. 
 
GODOY, R. Topografia Básica. Piracicaba, FEALQ, 1988. 349p. 
 
 www.leb.esalq.usp.br/aulas.html 
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GEOPROCESSAMENTO 
CARTOGRAFIA 
TOPOGRÁFICA/CADASTRAL 
CARTOGRAFIA TEMÁTICA 
CARTOGRAFIA DIGITAL 
ANÁLISE ESPACIAL 
Topografia e Geoprocessamento na Formação dos Engenheiros 
Agrônomos e Florestais 
Topografia e Geoprocessamento na Formação dos Engenheiros 
Agrônomos e Florestais 
Luc i ano A vog l i o
Jarb as M . B arros
Desenh o: EVN Aut omação Topográf i ca Lt da. Fone: (019) 561- 4910
< - Rio Cabaçal 
< - Rio Cabaçal 
< - Rio Cabaçal 
< - Rio Cabaçal 
< - Rio Cabaçal 
< - Córrego da Colher 
< - Córrego da Colher 
< - Córrego da Colher 
Có
rr
ego
 da
 Ma
teir
a -
 >
< - Córrego do Correio
Có
rr
ego
 da
s P
alm
eir
as
 - >
Có
rr
ego
 da
 La
go
a - >
Estrada Municipal
Estrada Municipal
Estrada Municipal
LV - 1
LV - 1
LV - 1
LV - 1
LV - 1
LE - 4
LE - 4
LE - 4
LE - 4
LE - 4
LE - 4
LE - 4
LE - 4
LI
LI
LI
LI
LI
LI
LI
LI
LI
LI
LI
LI
LI
HI
HI
HI
HI
HI
HI
HI
HI
HI
HI
L E V A N T A M E N T O P E D OL ÓG I C O
S E M I - D E T A L H A D O D A
F A Z E N D A CA B A ÇA L
LEG EN D A
SO LO S D A FA ZEND A C A BA ÇA L
LATOSSOLO VERMELHO ESCURO
LE- 4 - Lat ossol o Vermel ho Escuro ál i co, A moderado, t ext ura médi a. Uni dade Cabaçal .
LV- 1 - Lat ossol o Vermel ho Amarel o dist róf ico, A moderado, t ext ura médi a. Uni dade Cabaçal .
LATOSSOLO VERMELHO AMARELO
SOLOS LITÓLICOS
Li - Li tól i cos
Hi - Hi dromórf icos
SOLOS HIDROMÓRFICOS
A1 = ( 841x 594)
Minas Gerais
Muni cípio de Veríssimo , comarca de Uberaba
1 : 20.0 00
01
VáriasBenedit o August o Mü ller
Fazenda Caba çal
Classifica ção do Solo
Levan tamento Pedológico Semi - Detalha do
K odh ai J. S ír i o
Benedito Augusto Müller
Aut ores do Proj et o:
Escal a:
M at r icul a:
Fol ha:
Propri et ár io:
Est ado:
Local i dade:
Propri et ár io:
I móvel :
O bj eti vo:
Tí t ul o:
E =
 78
00
00
.00
00
E =
 78
20
00
.00
00
E =
 78
40
00
.00
00
E =
 78
60
00
.00
00
E =
 78
80
00
.00
00
E =
 79
00
00
.00
00
E =
 79
20
00
.00
00
E =
 79
40
00
.00
00
N = 7840000.0000
N = 7842000.0000
N = 7844000.0000
N = 7846000.0000
N = 7848000.0000
QUADRO DE ÁREAS
Solo LE - 4 Área = 2.763,8483 ha
Solo LV - 1 Área = 1.352,00 ha
Solo LI Área = 266,00 ha
Solo HI Área = 501,00 ha
S
W E
NQ
0 m 500400300200100 2.500 m2.0001.5001.000
Escala Gráfica
Escala Nominal = 1: 20.000
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TOPOGRAFIA AEROFOTOGRAMETRIA 
S E N S O R I A M E N T O R E M O T O O R B I T A L 
Topografia e Geoprocessamento na Formação dos Engenheiros 
Agrônomos e Florestais 
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SISTEMAS DE INFORMAÇÕES GEOGRÁFICAS - SIGs 
- ANÁLISES 
- MODELAGENS 
- SIMULAÇÕES DE CENÁRIOS 
Topografia e Geoprocessamento na Formação dos Engenheiros 
Agrônomos e Florestais 
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Topografia na Formação dos Engenheiros Agrônomos e Florestais 
 Todas as ciências que se utilizam da Topografia (Engenharia 
Civil, Mecânica, Agronômica, Florestal, Arquitetura, 
Agrimensura etc.), necessitam informações do terreno 
sobre o qual serão desenvolvidos e implantados projetos. 
Assim, para se locar ferrovias, rodovias, aeroportos, 
edifícios, loteamentos ou para divisão de terras e 
exploração agropecuária, tem-se que conhecer a área, o 
tipo, as formas, o relevo, as dimensões e a situação local. 
 Assim, a Topografia é uma ciência aplicada, baseada na 
Geometria e na Trigonometria, de âmbito restrito, pois é 
um capítulo da Geodésia, que tem por objeto o estudo da 
forma e dimensões da Terra. 
NBR - 13133 
Execução de Levantamento Topográfico 
NBR - 13133 
Execução de Levantamento Topográfico 
1. Objetivo 
1.1. Esta norma fixa as condições exigíveis para a execução 
de levantamento topográfico destinado a obter: 
a. conhecimento geral do terreno, relevo, limites, 
confrontantes, área, localização, amarração e 
posicionamento; 
b. informações sobre o terreno destinadas a estudos 
preliminares de projetos; 
c. informações sobre o terreno destinadas a anteprojetos ou 
projetos básicos; 
d. informações sobre o terreno destinadas a projetos 
executivos. 
NBR - 13133 
Execução de Levantamento Topográfico 
1.1.1. As condições exigíveis para a execução de um 
levantamento topográfico devem compatibilizar 
medidas angulares, medidas lineares, medidas de 
desníveis e as respectivas toLEBâncias em função dos 
erros, selecionando métodos, processos e 
instrumentos para a obtenção de resultados 
compatíveis com a destinação do levantamento, 
assegurando que a propagação de erros não exceda os 
limites de segurança inerentes a esta destinação. 
REVISÃO 
Trigonometria: Tópicos de Interesse à 
Topografia 
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1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 8 9 
A
v.
 1
2
 d
e
 O
u
tu
b
ro
 
R
u
a
 P
ir
a
c
ic
a
b
a
 
6 
40,0m 
1
2
,0
m
 
1
8
,0
m
 
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40,0m 
1
2
,0
m
 
1
8
,0
m
 
5
,0
m
 
5,0m 
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1. Medição de ângulos 
1.1. Medição Sexagesimal 
 Dividindo-se a rotação completa 
em 360 partes iguais, teremos 
360 ângulos iguais, cada um 
deles denominado um grau e 
denotado 1. 
 Cada grau é dividido em 60 
minutos (60’). 
 Cada minutoé dividido em 60 
segundos (60”). 
 O círculo é dividido em 4 partes 
iguais chamadas quadrantes, 
cada um formando um ângulo 
reto (90). 
  ângulo formado pela 
rotação de uma semi-reta 
em torno de um ponto fixo 
(o vértice do ângulo). 
 
O 
A 
C 
B 
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1. Medição de ângulos 
1.2. Medição Centesimal 
 Para tornar o sistema de medida de ângulos coerente 
com outras medidas métricas, decidiu-se dividir o 
ângulo reto em 100 partes iguais e, conseqüentemente, 
o círculo inteiro em 400 partes. Os ângulos assim 
obtidos foram chamados de grados: 
 1 ângulo reto = 100 grados 
 1 grado = 100 minutos grados = grd 
 1 minuto = 100 segundos 
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C 
1. Medição de ângulos 
1.3. Medição Circular 
 Método absoluto, pois independe 
da divisão de um ângulo reto em 
qualquer número arbitrário de 
partes, 90 ou 100. 
 A unidade é obtida da seguinte 
maneira: em um círculo de 
centro O, façamos com que um 
raio OB gire para a posição OC, 
de forma que o comprimento do 
arco BC seja igual ao 
comprimento do raio. Fazendo-
se isso, forma-se o ângulo BÔC, 
que tem a unidade de medida 
chamada radiano. 
Convertendo-se ao sistema 
sexagesimal: 
1 radiano = 5717’44,8” 
1 rad 
O 
A B 
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1. Medição de ângulos 
1.3. Medição Circular 
 Teorema: “A razão entre a circunferência de um 
círculo e seu diâmetro é fixa para todos os círculos.” 
 
 circunferência / diâmetro  constante    3,1416 
 
 circunferência (c) =   Diâmetro  c = 2    r 
 
 Conversão de graus para radianos: 
 
 180 =  rad 
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2. As funções trigonométricas 
 sen  = a/b  cosec  = 1/sen  
 cos  = c/b  sec  = 1/cos  
 tg  = a/c  cotg  = 1/tg  
 
O 
cos  
tan  sen  
 
b 
a 
c A 
C 
B 
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Cálculos com ângulos 
 sen 34º18’23,4” = 0,563619763 
 cotg 76º33’15,7” = 0,239075521 
 65º45’57” + 77º10’42” = 142º56’39” 
 85º17’54”  3 = 255º53’42” 
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3. Relações entre lados e ângulos de um triângulo 
3.1. Lei dos senos 
 “Em qualquer triângulo, os 
lados são proporcionais 
aos senos dos ângulos 
opostos”. 
c
senγ
b
senβ
a
senα

A 
C B 
 
  
c 
a 
b 
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3. Relações entre lados e ângulos de um triângulo 
3.2. Lei dos cossenos 
 Determinação dos ângulos de 
um triângulo quando todos os 
seus lados são conhecidos. 
 
 
 
 
 Determinação do terceiro lado 
de um triângulo, quando dois 
lados e o ângulo contido 
por eles forem conhecidos. 
2bc
acb
cos
222 

 cos2bc -cba 222
A 
C B 
 
  
c 
a 
b 
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3. Relações entre lados e ângulos de um triângulo 
3.3. Seno de um ângulo de um triângulo em termos dos lados 
c)b)(sa)(ss(s
bc
2
senα 
onde s = semi-perímetro 
2
cba
s


A 
C B 
 
  
c 
a 
b 
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4. Resolução de triângulos 
 Um triângulo pode ser resolvido quando são dados os 
seguintes elementos: 
 
 caso I : três lados 
 caso II : dois ângulos e um lado 
 caso III : dois lados e ângulo formado por eles 
 caso IV : dois lados e um ângulo oposto a um deles 
 
 Os 3 primeiros casos são os mais importantes para a 
Topografia, portanto iremos tratar apenas deles. 
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e 
d 
c 
b 
a 
 
4. Resolução de triângulos 
4.1. Caso I: Resolução de um triângulo quando os três lados 
são conhecidos. 
 Exemplo de aplicação: Levantamento à Trena 
 Resolução através da Lei dos cossenos: 
 
 
2ab
eba
cosε
222 

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4. Resolução de triângulos 
4.2. Caso II: Dados dois ângulos e um dos lados do triângulo. 
 Exemplo de aplicação: Distância a um objeto (ponto no 
terreno) inacessível ou de difícil acesso. 
 Resolução através da Lei dos senos: AP e BP = ? 
P 
B A 
  
senα
BP
senβ
AP
β)](αsen[180
AB
0


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4. Resolução de triângulos 
4.3. Caso III : Dados dois lados e o ângulo formado por eles. 
 Exemplo de aplicação: Determinação da distância entre 
dois pontos visíveis, mas inacessíveis. 
 Resolução através da Lei dos senos e Lei dos cossenos. 
B 
A 
Q P 
No triângulo APQ: 
 a base PQ é conhecida; 
 os ângulos APQ e AQP são 
conhecidos; 
 aplicando-se a lei dos senos, 
AQ é determinado. 
^ ^ 
QPˆsenA
AQ
P)]QˆAQPˆ(Asen[180
PQ
0


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4. Resolução de triângulos 
4.3. Caso III : Dados dois lados e o ângulo formado por eles. 
 Analogamente o triângulo BPQ pode ser resolvido e QB 
determinado (Lei dos senos). 
 Então, no triângulo AQB: AQ, QB e AQB são conhecidos. 
B 
A 
Q P 
 Portanto o triângulo AQB pode 
ser resolvido agora pela Lei dos 
cossenos. 
^ 
BQˆcosAQBAQ2QBAQAB
222

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5. Área de um triângulo 
 Normalmente, na Topografia, 
h não é medido diretamente 
no campo, daí a conveniência 
de se empregarem outros 
meios no cálculo da área do 
triângulo, como será visto a 
seguir 
A 
C B 
c 
a 
b 
D 
h 
2
ha
Δ


5.1. Fórmula da base e da altura (geometria elementar). 
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5. Área de um triângulo 
 Pela observação da figura: 
 
 Substituindo-se h na fórmula 
da geometria elementar: 
 
 Analogamente podem ser 
utilizados os outros lados como 
bases. 
Cˆ
A 
C B 
c 
a 
b 
D 
h 
sencbh ou senC
b
h
 ou senC
AC
AD

5.2. Fórmula do seno. 
 “A área de um triângulo é igual à metade do produto de 
dois lados e do seno do ângulo contido por eles”. 
Csenbaha ˆΔ 
2
1
2
1
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 onde s = semi-perímetro = 
 
 Substituindo-se em: 
 Teremos a fórmula de Heron ou semi-perímetro 
5. Área de um triângulo 
2
cba
s


5.3. Área em termos dos lados do triângulo 
c)b)(sa)(ss(s
bc
2
Aˆsen 
Aˆsencb 
2
1
c)b)(sa)(ss(sΔ ou c)b)(sa)(ss(s
bc
2
bc
2
1
Δ 
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REVISÃO 
Geometria Analítica 
Introdução à geometria analítica 
 Geometria analítica refere-se ao estudo de figuras 
geométricas usando princípios algébricos. O gráfico de RxR é 
chamado de plano de coordenadas cartesianas. 
Graficamente, ele consiste de um par de linhas 
perpendiculares chamada de eixos de coordenadas, e o plano 
onde eles estão. 
Y (eixo das ordenadas) 
X (eixo das abscissas) 
(origem) O 
I (+;+) II (-;+) 
III (-;-) IV (+;-) 
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Introdução à geometria analítica 
 A distância de um segmento de reta horizontal é a 
coordenada X do segundo ponto menos a coordenada X 
do primeiro. 
Y 
X 
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O 
A(XA;Y0) (XB;Y0)B 
XB XA 
d = XB - XA 
Introdução à geometria analítica 
 A distância de um segmento de reta vertical é a 
coordenada Y do segundo ponto menos a coordenada Y 
do primeiro. 
Y 
X 
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O 
(X0;YB)B 
(X0;YA)A 
YB 
YA 
d = YB - YA 
Introdução à geometria analítica 
 Teorema 1: para dois pontos quaisquer A e B com 
coordenadas (XA; YA) e (XB; YB) respectivamente, a 
distância entre A e B é: 
Y 
X 
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(XB;YB)B 
A(XA;YA) 
YB 
YA 
XA 
XB 
YA)(YB 2XA)(XB 2d 
Introdução à geometria analítica 
 Teorema 2: dado o segmento de reta com 
extremidades (XA;YA) e (XB;YB), as coordenadas do 
ponto médio do segmento de reta são (Xm;Ym) onde: 
Y 
X 
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(XB;YB)B 
A(XA;YA) 
YB 
YA 
XA 
XB 
Ym m 
Xm 
2
YBYA
Ym
2
XBXA
Xm




Coordenadas polares 
 Um ponto pode ser 
caracterizado pelas suas 
coordenadas cartesianas ou 
pelas suas coordenadas 
polares, ou seja, dado um 
sistema de 2 eixos 
perpendiculares, 
concorrentes em O (ponto 
polar) um ponto P qualquer 
pode ser caracterizado pela 
distância OP e pelo ângulo 
que esse segmento de reta 
faz com o eixo X. 
Y 
X 
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 
O 
P 
Transformação de coordenadas polares a cartesianas 
 sendy
d
y
sen
OP
PQ
senθ
Y 
X 
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 
O 
P 
Q 
 cosdx
d
x
cos
OP
OQ
cosθ
Transformação de coordenadas cartesianas a polares 
y2x2d 
Y 
X 
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 
(0;0)O 
P(x;y) 
p’ 
p” 
y 
x 
θ
x
y
arctg
x
y
tgθ 






Exercício: 
 Um terreno, em forma de paralelogramo, foi levantado conforme 
croqui abaixo, obtendo-se os seguintes dados: 
a) A-B = 60,00m; b)  = 60º30’15” e  = 129º25’20” 
 Determinar: 
1. O perímetro do polígono; 
2. As coordenadas cartesianas (topográficas) dos vértices B, C e D, 
considerando-se o alinhamento A-B sobre o eixo X e o ponto A na 
origem, isto é, A(0,00; 0,00); 
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Y 
X 
B 
C 
D 
 
 
A 
Coordenadas Cartesianas 
X 
Coordenadas Topográficas 
Transformação de coordenadas polares a cartesianas 
 sendy
d
y
sen
OP
PQ
senθ
Y 
X 
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 
O 
P 
Q 
 cosdx
d
x
cos
OP
OQ
cosθ
Transformação de coordenadas polares a topográficas 
senRdx
d
x
senR
OP
PQ
senR 
N 
E 
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R 
O 
P Q 
cosRdy
d
y
cosR
OP
OQ
cosR 
S 
W 
Transformação de coordenadas cartesianas a polares 
y2x2d 
Y 
X 
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 
(0;0)O 
P(x;y) 
p’ 
p” 
y 
x 
θ
x
y
arctg
x
y
tgθ 






Transformação de coordenadas topográficas a polares 
y2x2d 
N 
E 
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R 
(0;0)O 
P(x;y) 
p’ 
p” 
y 
x 
R
y
x
arctg
y
x
tgR 






S 
W 
Planimetria 
 
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1. Topografia: Definições e Conceitos Fundamentais 
1.1. Introdução 
 Todas as ciências que se utilizam da Topografia (Engenharia 
Civil, Mecânica, Agronômica, Florestal, Arquitetura, 
Agrimensura etc.), necessitam informações do terreno 
sobre o qual serão desenvolvidos e implantados projetos. 
Assim, para se locar ferrovias, rodovias, aeroportos, 
edifícios, loteamentos ou para divisão de terras e 
exploração agropecuária, tem-se que conhecer a área, o 
tipo, as formas, o relevo, as dimensões e a situação local. 
 Assim, a Topografia é uma ciência aplicada, baseada na 
Geometria e na Trigonometria, de âmbito restrito, pois é 
um capítulo da Geodésia, que tem por objeto o estudo da 
forma e dimensões da Terra. 
1. Topografia: Definições e Conceitos Fundamentais 
1.2. Definições 
 Geodésia: Ciência que se ocupa da determinação do 
tamanho e da forma da Terra (geóide), por meio de 
medições como triangulação, nivelamento e observações 
gravimétricas. 
 Topografia: Ciência da representação dos aspectos naturais 
e artificiais de um lugar ou de uma região, especialmente 
no modo de apresentar suas posições e altitudes. 
 Cartografia: Conjunto de estudos e operações científicas, 
artísticas e técnicas, baseado nos resultados de 
observações diretas ou de análise de documentação, 
visando à elaboração e preparação de cartas, projetos e 
outras formas de expressão, bem como sua utilização. 
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Elipsóide x Geóide 
Geóide 
Elipsóide 
Altitude 
Elipsoidal - h 
Altitude 
Ortométrica - H Superfície Terrestre 
Ondulação geoidal - N 
 Elipsóide: 
 Modelo matemático que define a superfície da Terra. 
 Geóide: 
 Superfície de mesmo potencial gravitacional 
(equipotencial) melhor adaptada ao nível médio do mar 
global. 
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Geóide x Elipsóide 
Elipsóide 
Geóide 
 Características do geóide: 
1. Se aproxima do nível médio dos mares 
2. É função da densidade da Terra 
3. É uma superfície ondulada 
4. Nivelamento geométrico é referenciado ao Geóide 
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1. Topografia: Definições e Conceitos Fundamentais 
1.2.1. Produtos Topográficos 
 Mapa: carta geográfica representando grande 
extensão do terreno (regiões superiores a 10º 
geográficos), é objeto da cartografia. 
 Carta: representa regiões menores, atingindo no 
máximo 10º geográficos; é objeto do desenho 
cartográfico e topográfico. 
 Planta: representa regiões inferiores a 1º e áreas 
menores a 100 km2 é objeto do desenho topográfico. 
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1. Topografia: Definições e Conceitos Fundamentais 
1.3. Conceitos Fundamentais 
 Definição: topografia é o conjunto de princípios, 
métodos, aparelhos e convenções utilizados para a 
determinação dos contornos, dimensões e da posição 
relativa de uma faixa da superfície terrestre. 
 Objeto: medida e representação da superfície da 
Terra, dentro dos limites em que os erros decorrentes 
da curvatura terrestre não se fazem sentir. 
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1. Topografia: Definições e Conceitos Fundamentais 
1.3. Conceitos Fundamentais 
 Levantamento Topográfico: chama-se levantamento 
topográfico às operações que são executadas, 
geralmente, percorrendo o terreno, nas quais se 
obtém dados informativos e grandezas medidas 
(ângulos e distâncias),que permitem construir uma 
planta topográfica. Divide-se em planimétrico e 
planialtimétrico. 
 PLACOMETRIA = PLANIMETRIA 
 HIPSOMETRIA = ALTIMETRIA 
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1. Topografia: Definições e Conceitos Fundamentais 
1.3. Conceitos Fundamentais 
 Plano Topográfico: É um plano horizontal tangente ao 
esferóide terrestre, num ponto que esteja situado 
dentro da área a ser levantada e, no qual, se supõem 
projetados todos os acidentes estudados. 
 Ponto Topográfico: os acidentes que devem figurar na 
planta são levantados por meio de pontos que possam 
representá-los convenientemente. Cada um desses 
pontos chama-se ponto topográfico e é determinado 
no terreno com o auxílio de uma baliza. 
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1. Topografia: Definições e Conceitos Fundamentais 
1.4. Hipótese do Plano Topográfico 
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O 
A 
B 
C 
V1 V2 V3 
H H’ 
1. Topografia: Definições e Conceitos Fundamentais 
1.4. Hipótese do Plano Topográfico 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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A 
B 
C 
1. Topografia: Definições e Conceitos Fundamentais 
1.4. Hipótese do Plano Topográfico 
 
 e = AB – AF (erro de esfericidade) 
 Do triângulo ABC temos: AB = R x tg  
 o arco AF será determinado da seguinte forma: 
 
 2R  360o 
 AF    AF = R/180o 
 
 o erro de esfericidade será: 
 
 
 e = R x tg  - R /180o 
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C 
1. Topografia: Definições e Conceitos Fundamentais 
1.4. Hipótese do Plano Topográfico 
 
 Para um raio terrestre = 6.366.193m e  = 1º ; 
 
 o erro de esfericidade será: 
 
e = R x tg  - R /180º 
e = 111122,312m – 111111,029m 
e = 11,283m 
 Para  = 0º30’ o erro de esfericidade será: 
e = 555556,925m – 55555,514m 
e = 1,410m 
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1. Topografia: Definições e Conceitos Fundamentais 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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1.5 Altimetria 
 É a parte da Topografia que trata dos métodos e 
instrumentos empregados no estudo e representação 
do relevo da Terra (hipsometria). 
O 
a 
A 
X 
Y 
Z 
Plano Topográfico 
1. Topografia: Definições e Conceitos Fundamentais 
1.5.1 Superfície de Nível: para que sejam medidas as 
distâncias verticais, há necessidade de tomar uma 
superfície de comparação, que é a superfície de nível, 
que equivale portanto a um plano de referência. 
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B 
C 
H1 H 
O 
S 
1. Topografia: Definições e Conceitos Fundamentais 
 Superfície de Nível Real ou Verdadeira: quando o plano 
de referência tomado é verdadeiro e corresponde ao nível 
médio dos mares. É portanto uma superfície curva e que 
não pode ser obtida por meio dos aparelhos topográficos. 
 Superfície de Nível Aparente: é uma superfície plana, 
refere-se a um plano tangente à vertical do lugar. 
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A 
O 
H1 H 
V V’ 
D 
B 
AB = nível aparente 
AD = nível verdadeiro 
1. Topografia: Definições e Conceitos Fundamentais 
 Erro de Esfericidade: é o erro cometido ao considerar que 
A e B estão em nível e será BD = x, que poderemos 
determinar se conhecermos a distância horizontal AB = d, 
aplicando-se o Teorema de Pitágoras no  ABO, teremos: 
lousa 
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A 
O 
H1 H 
V V’ 
D 
B d 
x 
1. Topografia: Definições e Conceitos Fundamentais 
 Erro de Refração: de um ponto A mira-se um ponto B, o 
raio luminoso AB que deveria seguir em linha reta, se 
refrata, seguindo uma trajetória curva AB1 
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A 
O 
D 
B 
B1 
BB1 = erro de refração que 
depende da temperatura e 
umidade atmosférica e que 
experimentalmente é: 0,16DB 
lousa 
 
Erro de Esfericidade e Erro 
de Refração: ET = 0,42 d2/R 
2. Medição Direta de Distâncias 
 É realizada com o uso de 
diastímetros, que são todos e 
quaisquer instrumentos utilizados 
nas medições diretas de distâncias. 
 Alinhamento: plano horizontal que 
passa por dois pontos segundo sua 
projeção horizontal. 
 Acessórios: piquetes; estacas; 
balizas e fichas . 
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DH = nº de fichas x comp. do diastímetro + comp. final 
Baliza 
Ficha 
Piquete 
2. Medição Direta de Distâncias 
2.1. Medição a Trena ou Corrente 
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A B 
DH 
Ré 
Intermediárias 
Vante 
2. Medição Direta de Distâncias 
2.1. Medição a Trena ou Corrente 
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A B 
DH 
Ré 
Intermediárias 
Vante 
2. Medição Direta de Distâncias 
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2.2. Erros nas Medições Diretas 
2.2.1. Erros Grosseiros 
 Engano no número de trenadas 
 Ajuste do zero do diastímetro 
 Sentido de graduação da trena 
 Anotações 
 
2. Medição Direta de Distâncias 
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2.2. Erros nas Medições Diretas 
2.2.2. Erros Sistemáticos 
 Erro de alinhamento: 
C = h2 / 2S 
onde: 
 C = erro da medida 
 S = comprimento da linha 
 h = deslocamento do alinhamento 
2. Medição Direta de Distâncias 
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2.2. Erros nas Medições Diretas 
2.2.2. Erros Sistemáticos 
 Erro de inclinação: Numa distância de 30,0m um 
desnível de 0,30m ocasiona um erro de 0,0015m em 
DH. Para medidas de precisão pode-se fazer a medida 
inclinada e reduzir para horizontal com o ângulo 
vertical do teodolito. Com este procedimento pode-se 
obter precisão de 1:5.000 a 1:20.000. 
DH = Di x sen Z 
2. Medição Direta de Distâncias 
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2.2. Erros nas Medições Diretas 
2.2.2. Erros Sistemáticos 
 Erro de aferição: Geralmente as trenas são graduadas 
na temperatura de 20OC e sob tensão de 10,0 à 15,0 kg. 
C = S (t - to)  
onde: 
 C = correção de temperatura (dilatação) 
 to = temperatura de aferição 
 t = temperatura de trabalho 
 S = comprimento da trena 
  = coeficiente de dilatação do material da trena 
2. Medição Direta de Distâncias 
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2.2. Erros nas Medições Diretas 
2.2.2. Erros Sistemáticos 
 Erro de Tensão: 
c = S (T - To) / qE 
onde: 
 c = erro de tensão em metros 
 S = comprimento da trena 
 To = tensão de aferição 
 T = tensão de trabalho 
 q = seção da trena em mm2 
 E = módulo de elasticidade por tração (20.000 kg/mm2) 
2. Medição Direta de Distâncias 
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2.2. Erros nas Medições Diretas 
2.2.2. Erros Sistemáticos 
 Erro de Catenária: 
c = 8f2/3S 
onde: 
 f = flecha da catenária 
 S = comprimento da trena 
f = PS2/8T 
 P = peso da trena 
 T = tensão empregada na medição 
2. Medição Direta de Distâncias 
2.2. Erros nas Medições Diretas 
2.2.3. Precisão das medidas à trena 
 A trena de aço empregada nas melhores condições técnicaspode fornecer precisão de 1:20.000 para medidas de bases 
topográficas e montagem industrial. Geralmente obtém-se 
precisões variando de 1:5.000 a 1:15.000. 
 Limites do Erro: 
 Terrenos planos  e = 0,015 
 Terrenos ligeira/ inclinados  e = 0,020 
 Terrenos inclinados  e = 0,025 
onde: L = comprimento medido 
L
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L
L
2. Medição Direta de Distâncias 
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2.2. Erros nas Medições Diretas 
2.2.3. Precisão das medidas à trena 
 Aferição dos diastímetros: 
Lr = (cr/cn) x Lm 
onde: 
 Lr = comprimento real 
 Lm = comprimento medido 
 cr = comprimento real do diastímetro 
 cn = comprimento nominal do diastímetro 
2. Medição Direta de Distâncias 
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 Aferição dos diastímetros: 
Lr = (cr/cn) x Lm 
Exercício: A distância AB mede realmente 82,58m; ao 
ser medida com uma trena de comprimento nominal 
igual a 20,00m encontramos como resultado 82,42m. 
Determinar o comprimento real e o erro da trena. 
2. Medição Direta de Distâncias 
2.3. Transposição de obstáculos 
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A B 
C D 
AB = CD 
A B 
C BCACAB
22

2. Medição Direta de Distâncias 
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2.3. Transposição de obstáculos 
A B 
C 
BCACAB
22

A 
B 
C 
O 
D 
OD
OACD
AB
OA
AB
OD
CD 

2. Medição Direta de Distâncias 
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2.4. Marcação de ângulos 
3 
4 
5 
60º 
L 
L L 
2. Medição Direta de Distâncias 
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2.5. Levantamento à Trena 
1 
3 
2 
5 4 
0 
I 
II 
IV 
III 
 O cálculo da área de cada triângulo será obtida pela 
fórmula de Heron, e a área total será o somatório das áreas 
de todos os triângulos. 
c)b)(sa)(ss(sSΔ 
onde: 
a, b e c = lados do triângulo 
s = semi-perímetro 
2. Medição Direta de Distâncias 
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2.5. Levantamento à Trena 
1 
3 
2 
5 4 
0 
A 
B 
2. Medição Direta de Distâncias 
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6
d
Cálculo da área
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2.5. Levantamento à Trena 
2.5.1. Levantamento por ordenadas 
B A 
d Y1 
Y’1 
Y2 Yn 
Y’2 Y’3 
Y’n 
Y3 





 
 


1n
2i 2
YnY1
Yi dS
3. Goniologia 
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 Em topografia, considera-se somente a medida dos 
ângulos contidos em dois planos: um horizontal, são os 
chamados ângulos horizontais ou azimutais e outro 
vertical são os ângulos verticais ou zenitais. 
 Os instrumentos que medem ângulos (goniômetros) dão 
imediatamente sem cálculos, não o ângulo no espaço, 
mas sua projeção sobre o plano horizontal do lugar. Na 
avaliação dos ângulos, devem-se distinguir duas espécies 
de ângulos: 
  os que os alinhamentos fazem entre si; 
  os que os alinhamentos fazem com uma direção 
 constante, linha Norte/Sul magnética ou verdadeira. 
3. Goniologia 
N 
E 
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R 
0 
1 
S 
W 
3.1. Rumos e azimutes 
 Rumo: é o menor ângulo que o alinhamento faz com a 
direção Norte - Sul e varia de 0o a 90o. 
R 
2 
Alinhamentos: 
0-1 = 45º00’NE ou N45º00’E 
0-2 = 30º00’SE ou S30º00’E 
0-3 = 60º00’SW ou S60º00’W 
0-4 = 75º00’NW ou N75º00’W 3 
R 
R 
4 
3. Goniologia 
N 
E 
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0 
1 
S 
W 
3.1. Rumos e azimutes 
 Rumo: alinhamentos especiais. 
2 
Alinhamentos: 
0-1 = 00º00’N 
0-2 = 90º00’E 
0-3 = 00º00’S 
0-4 = 90º00’W 
3 
4 
3. Goniologia 
N 
E 
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Az 
0 
1 
S 
W 
3.1. Rumos e azimutes 
 Azimute: é o ângulo que o alinhamento faz com a 
direção Norte-Sul medido no sentido horário, varia de 
0º a 360º. 
Az 
2 
Alinhamentos: 
0-1 = 45º00’ 
0-2 = 150º00’ 
3. Goniologia 
N 
E 
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R 
0 
S 
W 
3.1. Rumos e azimutes 
3.1.1. Rumos e azimutes de vante e ré 
 Rumo: o rumo de ré tem sempre o valor angular do 
rumo de vante, porém em quadrante oposto. 
Alinhamentos: 
Vante  0-1= 55º30’NE 
Ré  1-0 = 55º30’SW 
N 
E 
R 
1 
S 
W 
3. Goniologia 
N 
E 
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R 
0 
S 
W 
3.1. Rumos e azimutes 
3.1.1. Rumos e azimutes de vante e ré 
Alinhamentos: 
Vante  0-1= 65º40’SE 
Ré  1-0 = 65º40’NW 
N 
E 
R 
1 
S 
W 
3. Goniologia 
3.1. Rumos e azimutes 
3.1.1. Rumos e azimutes de vante e ré 
 Azimutes: no primeiro e no segundo quadrantes o 
azimute de ré é igual ao azimute de vante mais 180º; 
no terceiro e quarto quadrantes, o azimute de ré é 
igual ao azimute de vante menos 180º. 
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3. Goniologia 
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N 
Az ré 1 
N 
0 
N 
Az ré 
1 
Az 
Az 
Az ré 
3. Goniologia 
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N 
Az 0 
N 
1 
N 
Az 
0 
Az ré 
3. Goniologia 
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N 
E 
R 
0 
1 
S 
W 
R 
2 
3 
R 
R 
4 
Az 
Az 
Az 
Az 
1º Quad.: R=Az 
2º Quad.: R=180º-Az ou Az=180º-R 
3º Quad.: R=Az-180º ou Az=R+180º 
4º Quad.:R=360º-Az ou Az=360º-R 
3.1. Rumos e azimutes 
 3.1.2.Transformação de 
rumos em azimutes e 
azimutes em rumos 
 Sempre será útil, quer 
para trabalhos de campo 
como para cálculos e 
desenho, a conversão do 
valor de um rumo em seu 
correspondente azimute 
e vice-versa. 
 Assim temos: 
Exercícios: 
1. Dados os rumos de vante dos alinhamentos, determinar 
os azimutes de vante e de ré. 
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180º10’ 00o10’ 00o10’NE 4-5 
268º50’ 88º50’ 88º50’NE 3-4 
359º45’ 179º45’ 00o15’SE 2-3 
12º50’ 192º50’ 12º50’SW 1-2 
149º00’ 329º00’ 31º00’NW 0-1 
Az. Ré Az. Vante Rumo Alinhamento 
Exercícios: 
2. O azimute do alinhamento C-D é 189º30’ e o rumo E-D 
é 8º10’SE. Calcular o ângulo CDE, medido no sentido 
horário. 
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N 
R 
E 
N 
D 
N 
Az 
C 
? 
Exercícios: 
3. O azimute do alinhamento 6-7 é 268º05’ e o rumo de 
7-8 é 86º55’NW. Calcular o ângulo medido a direita da 
estaca 7. 
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N 
R 
8 
N 
7 
N 
Az 
6 
? 
3. Goniologia 
3.2. Medição de ângulos com bússolas 
 
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3. Goniologia 
3.2. Medição de ângulos com bússolas 
 
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3. Goniologia 
3.2. Medição de ângulos com bússolas Bússola para leitura de azimutes ou bússola francesa: 
são apropriadas para leituras de azimutes, possuem a 
graduação de 0º a 360º no sentido anti-horário. 
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N 
W 
S 
E 
180o 
90o 
0o 
270o 
3. Goniologia 
3.2. Medição de ângulos com bússolas 
 Bússola para leitura de rumos ou bússola americana: 
são apropriadas para leitura de rumos pois o circulo 
horizontal é graduado de 0º a 90º e as posições E e W 
são invertidas. 
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N 
E 
S 
W 
0o 
90o 
0o 
90o 
Como utilizar uma bússola 
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Passo 1: Identifique no mapa onde 
você está e onde você quer ir. 
Você está aqui! 
Você quer vir 
até aqui! 
Passo 2: Alinhe a 
borda da bússola 
com os pontos de 
partida e chegada. 
A borda da bússola 
mostra a direção 
entre os dois 
pontos. 
Passo 3: Faça com 
que as linhas 
internas da bússola 
fiquem paralelas 
com as linhas da 
grade do mapa. 
Gire a parte interna da 
bússola até que suas 
linhas fiquem paralelas 
às linhas de grade 
verticais. 
 
Passo 4: Retire a 
bússola de cima do 
mapa. 
Segure e gire junto 
com a bússola até que 
a seta vermelha no 
centro… 
…Fique alinhada com a 
agulha magnética 
indicando o Norte. 
O próximo “slide” mostrará isto feito… 
 
Passo 5: Caminhe 
até alcançar seu 
destino. 
Caminhe na direção 
que a linha de fé 
apontar. 
Tenha certeza enquanto 
estiver caminhando que a 
agulha magnética 
permanecerá apontando o 
Norte e alinhada com as linhas 
internas pretas. 
Só altere os ajustes da bússola quando chegar ao 
destino ou você quiser mudar de direção. 
Como utilizar uma bússola 
http://www.gpsglobal.com.br/Artigos/MapImpr/MI00.html 
http://gsc.nrcan.gc.ca/geomag/index_e.php 
http://www.invivo.fiocruz.br/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=803&sid=3 
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3. Goniologia 
3.3. Magnetismo terrestre 
 Sabe-se por princípio de física que o globo terrestre 
desempenha influência, junto à agulha magnética, 
semelhante a de um grande imã. A agulha imantada 
quando suspensa pelo seu centro de gravidade, 
orienta-se de tal modo que as suas extremidades se 
voltam para determinada direção, próxima à dos pólos 
geográficos. Esta direção é a do meridiano magnético 
do local. Como o pólo Norte magnético não tem 
posição fixa, o meridiano magnético não é paralelo ao 
verdadeiro e sua direção não é constante. 
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3. Goniologia 
3.3. Magnetismo terrestre 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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3. Goniologia 
3.4. Declinação magnética 
 O meridiano astronômico ou geográfico e o meridiano 
magnético, formam entre si um ângulo variável que 
tem o nome de declinação magnética. 
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3. Goniologia 
3.4. Declinação magnética 
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NV 
NM 
Declinação Oriental (E) 
NV 
NM 
Declinação Ocidental (W) 
+ - 
3. Goniologia 
3.4. Declinação magnética 
3.4.1. Variações da declinação magnética 
 Variação geográfica - a declinação magnética pode 
variar com aposição geográfica (latitude e longitude) 
em que é observada, no entanto os pontos da 
superfície terrestre que possuem o mesmo valor de 
declinação são ligados pelas chamadas linhas 
isogônicas. 
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3. Goniologia 
3.4. Declinação magnética 
3.4.1. Variações da declinação magnética 
 Variação secular e anual - com o decorrer dos anos o pólo 
norte magnético caminha em torno do pólo norte 
verdadeiro, passando de E para W sem um limite 
determinado (Ex: na cidade do Rio de Janeiro em 1670 a 
declinação magnética era 12o10' E, passando para 12o00' W 
em 1924). A variação anual não é uniforme e sua distribuição 
não é constante pelos meses do ano. Locais de mesma 
variação anual da declinação magnética são unidos pelas 
chamadas linhas isopóricas. 
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3. Goniologia 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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Linhas isogônicas 
Linhas isopóricas 
3. Goniologia 
3.4. Declinação magnética 
3.4.1. Variações da declinação magnética 
 Variações diurnas 
 Variações locais - são perturbações da declinação 
magnética causadas por circunstâncias locais, tais 
como a proximidade de linhas de transmissão de 
energia elétrica. 
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3. Goniologia 
3.4. Declinação magnética 
3.4.2. Inclinação magnética 
 Em todo ponto eqüidistante dos pólos magnéticos da Terra, 
a agulha magnética é igualmente atraída, mas quando a 
bússola estiver colocada em um ponto não eqüidistante dos 
pólos magnéticos, a agulha será atraída pelo mais próximo e 
inclinar-se-á para ele. Este desvio da agulha no sentido 
vertical denomina-se inclinação magnética. 
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N S 
Hemisfério Norte 
S N 
Hemisfério sul 
3. Goniologia 
3.4. Declinação magnética 
3.4.3. Rumos e azimutes, magnéticos e verdadeiros 
 São aqueles medidos a partir da direção N-S magnética. 
Rumos e azimutes verdadeiros são aqueles medidos a partir 
da direção N-S verdadeira ou geográfica. O ângulo formado 
entre as duas direções N-S é a declinação magnética. 
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NV 
NM NM 
+ - 
Declinação 
Ocidental (W) 
Declinação 
Oriental (E) 
3. Goniologia 
3.4. Declinação magnética 
3.4.4. Aviventação de rumos 
 Aviventar significa avivar, atualizar. Aviventar um rumo 
é reproduzir na época atual a demarcação de um 
alinhamento já demarcado, em época anterior, mas 
cujos vestígios se perderam ou se tornaram confusos. 
Os alinhamentos levantados no campo e posteriormente 
desenhados na planta eram, geralmente, medidos em 
relação ao NM, que varia com o tempo e o lugar, 
portanto sendo o alinhamento imutável o que irá variar 
serão o rumo ou azimute magnético. 
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3. Goniologia 
3.4. Declinação magnética 
3.4.4. Aviventação de rumos 
 Três são os casos que podem surgir, na prática, para a 
aviventação, a saber: 
  a planta ou memorial descritivo da área apresentam 
os rumos verdadeiros dos alinhamentos; 
  a planta ou o memorial apresentam os rumos 
magnéticos dos alinhamentos e também o valor da 
declinação local na época do levantamento; 
  a planta ou o memorial apresentam os rumos 
magnéticos, sem indicação do valor da declinação. 
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Exercícios 
1. Um rumo magnético em um determinado local foi 
obtido como sendo 35º20’NW em 2007. Qual o rumo 
magnético em 2010 sabendo-se: 
 a) declinação magnética em 1990: 5º10’W; 
 b) declinação magnética em 2002: 7º20’W. 
 
2. O rumo magnético de um alinhamento é 84º30’SW. 
Sendo a declinação magnética local de 13º30’E, 
calcular: a. rumo verdadeiro; b. azimute magnético e 
verdadeiro; e c. azimute magnético e verdadeiro de 
ré. 
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Exercícios 
16. Dada a poligonal aberta 1-2-3-4-5-6, calcular os 
ângulos faltantes, completando a tabela abaixo: 
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0000’00” 18000’00” 0000’00”N 0000’00”S 5-6 
4012’40” 22012’40” 4012’40”NE 4-5 
16413’00” 34413’00” 1547’00”SE 1547’00”NW 3-4 
27000’00” 9000’00” 9000’00”W 9000’00”E 2-3 
34824’40” 16824’40” 1135’20”NW 1135’20”SE 1-2 
Azimute de 
ré 
Azimute de 
vante 
Rumo de ré Rumo de 
vante 
Alinhamento 
4012’40”SW 
Exercícios 
17. O rumo magnético do alinhamento 1-2 medido em 
01/10/1990 foi 15º30’00” SW. Calcular o rumo 
magnético do alinhamento em 01/04/2010 e também 
o rumo verdadeiro, com os seguintes dados obtidos 
em 01/01/1993: 
 a) declinação magnética local = 13º28’00” E; 
 b) variação anual da declinação = 00º08’00” W. 
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3. Goniologia 
3.5. Outros ângulos horizontais 
 Para proceder ao levantamento planimétrico do eixo 
diretriz de uma estrada ou de uma poligonal 
topográfica de contorno, devemos medir a orientação e 
o comprimento de uma série de alinhamentos. Dois são 
os processos, geralmente utilizados, para medir os 
ângulos que os alinhamentos fazem entre si em 
projeção horizontal: 
 ângulo interno; 
 ângulo de deflexão. 
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3. Goniologia 
3.5. Outros ângulos horizontais 
3.5.1. Ângulo interno 
 É ângulo formado entre alinhamentos de uma poligonal 
topográfica. 
 Levantamento com caminhamento no sentido horário 
 
Azn = Azn-1+ 180
o – Ain 
 
 Levantamento com caminhamento no sentido anti-
horário 
 
Azn = Azn-1 + Ain - 180
o 
 
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0 
1 
2 
3 
4 
5 6 
3. Goniologia 
Az0-1 
Az0-1 
Az1-2 
Ai1 
N 
N 
Ai6 Ai5 
Ai4 
Ai3 
Ai2 
Ai0 
n
o
1-nn Ai-180AzAz 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
Prof. Rubens Angulo Filho 
0 
6 
5 
4 
3 
2 1 
3. Goniologia 
Az0-1 
Az0-1 
Az1-2 Ai1 
N 
N 
Ai6 
Ai2 
Ai3 
Ai4 
Ai5 
Ai0 
o
n1-nn 180AiAzAz 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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3. Goniologia 
3.5. Outros ângulos horizontais 
3.5.2. Ângulo de deflexão 
 É o ângulo formado pelo prolongamento do 
alinhamento anterior e o novo alinhamento. Esses 
ângulos podem estar à direita ou à esquerda do 
prolongamento do alinhamento anterior, variando 
portanto dentro dos limites de 0o a 180o. 
 
 Cálculo dos azimutes: 
 
Azn = Azn-1 + Deflexão direita 
Azn = Azn-1 - Deflexão esquerda 
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0 
1 
2 
3 
4 
5 6 
3. Goniologia 
Az0-1 
Az0-1 
Az1-2 N 
N 
Def.Dir. 
N 
Az1-2 
Def.Esq. 
Az2-3 
Azn = Azn-1 + Deflexão direita 
Azn = Azn-1 - Deflexão esquerda 
3. Goniologia 
3.5. Outros ângulos horizontais 
3.5.3. Erro angular de fechamento 
 
 Ângulos Internos: 
 
eaf =  Ain - [(n 2) x 180
o] 
 
 Ângulos de Deflexão: 
 
360º =  Defl. D   Defl. E 
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3. Goniologia 
3.6. Azimutes lidos e calculados 
 Chama-se de azimute lido, aquele determinado no 
limbo horizontal de leitura do aparelho, após o mesmo 
ter sido zerado e orientado em relação ao Norte. 
Azimutes calculados são todos aqueles determinados 
por cálculo por meio dos ângulos internos ou deflexões. 
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Exercícios 
11. Ao se levantar, caminhando no sentido horário, um 
terreno em forma de triângulo equilátero, de vértices 
0-1-2, verificou-se que o lado 0-1 tem azimute 
magnético de 290º30'45". Determinar os rumos 
magnéticos de ré de todos os alinhamentos. 
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3. Goniologia 
3.7. Medição de ângulos verticais 
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0o 
90o 
0o 
90o 
Ângulo Vertical 
90o 
0o 
270o 
180o 
Ângulo Zenital 
270o 
180o 
90o 
0o 
Ângulo Nadiral 
Exercícios 
13. Em um levantamento, de uma área em forma de triângulo 
retângulo isósceles (vide esquema abaixo), obteve-se o Rumo 
Verdadeiro de Vante do alinhamento 0-1 como sendo 66º15'25" 
NW. Determinar os azimutes e rumos verdadeiros e magnéticos, 
de vante e de ré de todos os alinhamentos, sendo a declinação 
magnética do local igual a 18º41'12" E. 
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0
1
2
NV
Exercícios 
15. Uma determinada localidade situa-se, de acordo com a carta 
magnética de 01/01/1995, exatamente sobre a intersecção da 
linha isogônica 15º00' W com a linha isopórica 00º07' W. De um 
levantamento realizado em 01/01/1990 obtiveram-se os seguintes 
dados“: 
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Alinhamento Azimute Magnético 
0 - 1 63º20' 
1 - 2 140º32' 
2 - 3 36º18' 
3 - 4 358º39' 
4 - 0 222º30' 
Pede-se: a. aviventar para 01/04/2010 os azimutes do levantamento; 
 b. determinar as deflexões e seus sentidos em cada vértice. 
0 
1 
2 
3 
4 
5 6 
3. Goniologia 
Az0-1 
Az0-1 
Az1-2 
Ai1 
N 
N 
Ai6 Ai5 
Ai4 
Ai3 
Ai2 
Ai0 
n
o
1-nn Ai-180AzAz 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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0 
6 
5 
4 
3 
2 1 
3. Goniologia 
Az0-1 
Az0-1 
Az1-2 Ai1 
N 
N 
Ai6 
Ai2 
Ai3 
Ai4 
Ai5 
Ai0 
o
n1-nn 180AiAzAz 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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0 
1 
2 
3 
4 
5 6 
3. Goniologia 
Az0-1 
Az0-1 
Az1-2 N 
N 
Def.Dir. 
N 
Az1-2 
Def.Esq. 
Az2-3 
Azn = Azn-1 + Deflexão direita 
Azn = Azn-1 - Deflexão esquerda 
3. Goniologia 
3.7. Medição de ângulos verticais 
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0o 
90o 
0o 
90o 
Ângulo Vertical 
90o 
0o 
270o 
180o 
Ângulo Zenital 
270o 
180o 
90o 
0o 
Ângulo Nadiral 
4. Medição Estadimétrica de Distâncias Horizontais e 
Verticais 
4.1. Introdução 
 Processos indiretos de medição de distâncias: 
  medição estadimétrica 
  medição eletrônica 
 Princípio geral da estadimetria: 
 1778 - William Green  Estádia 
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 Retículo superior (RS) 
 Retículo médio (RM) 
 Retículo inferior (RI) 
V 
V’ 
a 
b 
a’ 
h
 
b’ 
h’ 
DH
b
1
2
S 
A 
O 
B 
s 
a 
b 
D 
d 
D = (d / s) S 
onde: 
d = afastamento dos fios estadimétricos 
s = altura dos fios estadimétricos 
S = leitura na régua de referência 
4. Medição Estadimétrica de Distâncias Horizontais e 
Verticais 
a 
b 
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4. Medição Estadimétrica de Distâncias Horizontais e 
Verticais 
4.1. Introdução 
 Taqueômetros de luneta  Moinot 
 1810 - Reichenbach  luneta estadimétrica 
 1850 - Porro  luneta estadimétrica analática 
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4. Medição Estadimétrica de Distâncias Horizontais e 
Verticais4.2. Medição de distâncias 
 As distâncias estadimétricas (horizontais e verticais) 
são obtidas por cálculo com o auxílio da mira e pela 
inclinação da luneta em relação ao plano horizontal. 
Para cada ângulo que a luneta faz com o plano 
horizontal, os fios estadimétricos interceptarão a mira 
(estádia), em intervalos diferentes. 
 Com o auxílio das fórmulas estadimétricas podem-se 
calcular as distâncias horizontal e vertical entre os 
pontos que definem o alinhamento topográfico que 
está sendo medido. 
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4. Medição Estadimétrica de Distâncias Horizontais e 
Verticais 
Retículos 
estadimétricos 
a 
b 
 
4. Medição Estadimétrica de Distâncias Horizontais e 
Verticais 
4.2. Medição de distâncias 
4.2.1 Distância Horizontal (DH): Visada Horizontal ( = 0) 
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m
ir
a
 
o 
c 
h 
A 
b 
a 
b’ 
F a’ 
DH 
o
c
u
la
r 
M 
d C 
H 
f 
o
b
je
ti
v
a
 
fi
o
 d
e
 p
ru
m
o
 
B 
2 
1 
a 
b 
ab = h = a’b’  distância que separa os dois retículos 
f = distância focal da objetiva 
F = foco exterior da objetiva 
c = distância do centro óptico do instrumento a objetiva 
C = c + f  constante de Reichenbach 
d = distância do foco à mira 
AB = H  diferença de leitura, na mira, entre os retículos extremos 
M = leitura do retículo médio 
DH = d + C  distância horizontal que se deseja 
 
4. Medição Estadimétrica de Distâncias Horizontais e 
Verticais 
4.2. Medição de distâncias 
4.2.2 Distância Horizontal (DH): Visada Inclinada (  0) 
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DH 
B 
M 
A 
2 
1 
m
ir
a
 
B’ 
A’ 
R 
F 
o 
 
 
4. Medição Estadimétrica de Distâncias Horizontais e 
Verticais 
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Nos triângulos AA'M e BB'M: 
 
MA' = MA x cos  
MB' = MB x cos  
MA' + MB' = (MA + MB) cos  
 
como: MA' + MB' = A'B' e MA + MB = H 
então A'B' = H x cos  
4.2. Medição de distâncias 
4.2.2 Distância Horizontal (DH): Visada Inclinada (  0) 
. 
A A’ 
B’ 
B 
90o 
 
M 
 
90o 
4. Medição Estadimétrica de Distâncias Horizontais e 
Verticais 
4.2. Medição de distâncias 
4.2.3 Distância Vertical (DV) ou Diferença de Nível (DN): 
 Visada ascendente 
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DH 
M 
2 
1 
R 
o 
 
Q 
DN = DV 
S 
m 
I 
4. Medição Estadimétrica de Distâncias Horizontais e 
Verticais 
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4.2. Medição de distâncias 
4.2.4 Distância Vertical (DV) ou Diferença de Nível (DN): 
 Visada descendente 
DH 
M 
2 
1 
R 
o 
 
Q 
DN 
S 
m 
I 
 Distância horizontal: 
  DH = 100  H  cos2  
  DH = 100  H  sen2 zenital 
 Distância vertical ou diferença de nível: 
 a) visada ascendente 
  DN = 100  H  sen 2   m  I 
 2 
 b) visada descendente 
  DN = 100  H  sen 2   m  I 
 2 
4. Medição Estadimétrica de Distâncias Horizontais e 
Verticais 
4.3. Fórmulas estadimétricas 
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Exercícios 
23. Com os dados abaixo calcular as distâncias 
horizontais (DH) e verticais (DV) dos alinhamentos, 
sabendo-se que a altura do aparelho (I) é 1,520 m. 
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Alinhamento Leitura dos Retículos (m) Ângulo Zenital 
MP-1 r.i. = 1,895 r.m. = ? r.s. = 2,579 9320 
MP-2 r.i.= ? r.m. = 0,463 r.s. = 0,876 8118’ 
MP-3 r.i. = 0,291 r.m. = 0,555 r.s. = ? 27000’ 
4. Medição Estadimétrica de Distâncias Horizontais e 
Verticais 
4.4. Medições estadimétricas e a NBR 13133 
 De acordo com a NBR 13133 - Execução de 
levantamento topográfico, em seu capítulo 6 que 
trata das condições específicas para o levantamento 
a medição de distância horizontal pelo método 
estadimétrico, devido sua imprecisão, só pode ser 
utilizada no levantamento de poligonais da classe VP 
que são levantamentos topográficos para estudos 
expeditos. 
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4. Medição Estadimétrica de Distâncias Horizontais e 
Verticais 
4.4. Medições estadimétricas e a NBR 13133 
 Com relação a medição de distâncias verticais para 
determinação altimétrica do relevo, a NBR 13133 
descreve oito classes de levantamento 
planialtimétrico de áreas, abrangendo métodos de 
medição, escalas de desenho, eqüidistância vertical 
das curvas de nível e a densidade mínima de pontos 
a ser medida por hectare, o uso do processo 
estadimétrico é aplicado em maior ou menor grau 
de intensidade dependendo da classe. 
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Exercícios 
27. Com o teodolito estacionado em um ponto de cota 
100,00m, estando o eixo da luneta a 1,650m do solo, 
fez-se uma visada na mira colocada num ponto de 
cota 99,65m. Sendo a leitura do retículo médio 
3,420m e o ângulo de inclinação da luneta 92º35'10" 
(nadiral), determinar a distância horizontal entre os 
dois pontos. 
28. Com o teodolito estacionado em um ponto de 
320,452m de altitude, estando o eixo da luneta a 
1,500m do solo, fez-se uma visada horizontal na mira 
colocada num ponto situado a 86,40m de distância 
horizontal. Sendo a leitura do retículo inferior 
1,320m, calcular a altitude do segundo ponto. 
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5. Levantamento por Intersecção 
5.1. Introdução 
 Neste método, os pontos topográficos a serem 
levantados serão definidos pelas intersecções dos 
lados dos ângulos horizontais medidos das 
extremidades de uma base estabelecida no terreno. 
 Esse método é geralmente empregado em condições 
de áreas relativamente pequenas e descampadas, 
constituindo o chamado levantamento por pequena 
triangulação. 
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5. Levantamento por Intersecção 
5.2. Trabalho de campo 
 A base é a única linha que terá o seu comprimento 
medido, esta base deve portanto ser escolhida em 
terreno relativamente plano e livre de obstáculos. 
 No processo de levantamento por intersecção, para 
melhor determinar os pontos topográficos, devemos 
evitar as medições de ângulos muito agudos ou muito 
obtusos. 
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5. Levantamento por Intersecção 
5.2. Trabalho de campo 
 Escolhido o melhor local para a base AB, esta será 
medida com valores que variarão com a situação (20 a 
100 m) materializando os pontos A e B, que servirão 
como estações do teodolito. 
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P 
B A 
  1 1 
P1 
5. Levantamento por Intersecção 
5.2. Trabalho de campo 
5.2.1. Medição dos ângulos horizontais 
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a) Rumos e azimutes b) Medição direta 
P 
B A 
 
N 
B 
AzA-P 
P 
A 
AzA-B 
5. Levantamento por Intersecção 
5.2.1. Medição dos ângulos horizontais 
 
 Feitas estas determinações, transportamos o 
instrumento para a estação B e repetimos as 
operações, determinando agora o ângulo , como 
mostra a figura abaixo. 
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Determinação do ângulo  
P 
B A 
  
A 
N 
MP 
Intersecção 
1 
5 
2 
3 
4 
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MP 
5. Levantamento por Intersecção 
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5.3. Trabalho de escritório 
 A determinação dos pontos topográficos levantados, 
para a elaboração da planta, será obtida pela 
intersecção dos lados de ângulos medidos no terreno, 
formando uma rede de triângulos, dos quais se 
conhece dois ângulos e um lado (base), assim pode-se 
determinar de forma indireta os comprimentos dos 
outros dois lados do triângulo por processo gráfico ou 
por resolução trigonométrica. 
5. Levantamento por Intersecção 
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5.3. Trabalho de escritório 
 5.3.1. Processo gráfico: utiliza-se um transferidor 
de precisão para a marcação dos ângulos, e as 
distâncias são medidas utilizando-se escalimetros. 
 5.3.2. Processo trigonométrico: aplicação das leis 
do seno e cosseno e outras funções trigonométricas. 
Exercício 
29. Sendo A e B os pontos de estacionamento do aparelho num 
levantamento por intersecção, calcular os azimutes 
restantes dos alinhamentos abaixo: 
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Alinhamento Deflexão E Deflexão D Azimute 
A - 0 302º11' 
A - 1 358º17' 
A - 2 33º29' 
A - 3 110º05' 
A - 4 177º10' 
A - 5 214º38' 
A - B 100º00' 
B - 0 170º10' 
B - 1 90º45' 
B - 2 25º20' 
B - 3 38º12' 
B – 4 101º40' 
B - 5 160º00' 
289º50’ 
9º15’ 
74º40’ 
138º12’ 
201º40’ 
260º00’ 
6. Levantamento por Irradiação 
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6.1. Introdução 
 É um método de levantamento simples, de precisão 
relativamente boa, dependendo dos cuidados do 
operador, pois não há controle dos erros que possam 
ter ocorrido. Aplica-se este processo para áreas 
pequenas, já que se baseia na medição de 
alinhamentos (ângulos e distâncias) formados pelo 
ponto de estacionamento do aparelho e os vértices do 
perímetro. Geralmente é utilizado como método 
auxiliar do levantamento por caminhamento. 
6. Levantamento por Irradiação 
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6.2. Trabalho de campo 
 A única condição exigida pelo método é de que do 
ponto escolhido (dentro ou fora da área), possa-se 
visar todos os vértices do perímetro, anotando-se 
então os ângulos horizontais e as distâncias entre a 
estação do teodolito e o ponto visado. 
6. Levantamento por Irradiação 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
Prof. Rubens Angulo Filho 
6.2. Trabalho de campo 
 
MP dentro da área MP fora da área 
0 1 
2 
3 4 
MP 
0 
MP 
4 
1 
2 
3 
6. Levantamento por Irradiação 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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6.2. Trabalho de campo 
 Quando se têm lados curvos, há 
necessidade de se fazer um 
maior número de irradiações, de 
forma que estas permitam um 
bom delineamento das curvas, 
quando do desenho da planta. 
Em áreas extensas, em geral 
longas e estreitas, pode-se usar 
uma associação de 
irradiações(duplas, triplas, etc). 
MP 
1 
2 
3 
4 
5 
2 
3 
4 
6 
7 
1 
N 
MP 
8 
Irradiação 
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5 
6. Levantamento por Irradiação 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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6.2. Trabalho de campo 
Dupla Irradiação 
NM 
B A 
6. Levantamento por Irradiação 
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6.3. Trabalho de escritório 
 Com os dados obtidos no campo, pode-se desenhar o 
perímetro levantado marcando-se os ângulos 
horizontais e distâncias, ou através das coordenadas 
retangulares. É possível, também, calcular 
analiticamente os lados das poligonais, pelo processo 
trigonométrico. 
 Y = distância x cos Rumo 
 X = distância x sen Rumo 
Exemplo 
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 Com os dados abaixo calcular as coordenadas X e Y 
dos pontos B e C e a distância horizontal BC: 
1. Distância AB = 141,901m  Rumo A-B = 80º30’00”NE 
2. Distância AC = 152,735m  Rumo A-C = 85º20’30”SE 
Y = distância x cos Rumo 
X = distância x sen Rumo 
Lei dos cossenos 
Exercício: 
24. Dada a caderneta de campo abaixo, de um 
levantamento por intersecção, calcular o 
perímetro do polígono de vértices 1 - 2 - 3. 
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Alinhamentos Distância Deflexão E Deflexão D Azimutes 
A - 1 332º28' 
A - 2 62º50' 
A - 3 140º15' 
A - B 50,00 m 92º08' 
B - 1 154º30' 
B - 2 68º12' 
B - 3 126º20' 
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NM 
A B 
1 2 
3 
Alinh/o Defl. E Defl. D Azimutes 
A - 1 332º28' 
A - 2 62º50' 
A - 3 140º15' 
A - B 92º08' 
B - 1 154º30' 
B - 2 68º12' 
B - 3 126º20' 
50,0m 
7. Levantamento por Caminhamento ou Poligonação 
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7.1. Introdução 
 O levantamento por poligonação consiste em se 
percorrer o contorno (perímetro) de uma área, 
formando um polígono fechado, saindo de um ponto 
inicial denominado marco primordial (MP) e 
retornando a ele medindo-se os ângulos e as 
distâncias dos lados que compõem tal polígono. 
7. Levantamento por Caminhamento ou Poligonação 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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7.1. Introdução 
 É um método trabalhoso e preciso que se adapta para 
qualquer tipo e extensão de área. O polígono formado 
no levantamento não coincide, na maioria dos casos, 
com o perímetro da área e para a complementação 
do levantamento, associam-se à poligonação outros 
métodos de levantamento (irradiação, intersecção, 
ordenadas) como auxiliares. 
MP 
N 
Caminhamento ou Poligonação 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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MP 
N 
MP 
N 
b 
a 
c 
2 
1 
3 
4 
5 
N 
MP 
d 
e 
f 
g 
h i 
j 
k 
l 
m 
Caminhamento ou Poligonação 
n 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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7. Levantamento por Caminhamento ou Poligonação 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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7.1. Introdução 
 No levantamento de uma poligonal as distâncias 
podem ser obtidas diretamente utilizando-se a trena, 
ou indiretamente por taqueometria ou medição 
eletrônica. Os ângulos horizontais (rumos, azimutes, 
deflexões ou ângulos internos) que poderão ser 
medidos diretamente em uma só posição do limbo ou 
pelo método das direções (com 1, 2 ou 3 séries de 
leituras conjugadas). A metodologia empregada na 
medição angular e linear dependerá da classe da 
poligonal de acordo com a NBR-13133. 
7. Levantamento por Caminhamento ou Poligonação 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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7.1. Introdução 
 Na execução de um levantamento topográfico, em 
qualquer de suas finalidades, deve-se ter, as 
seguintes fases: a) planejamento, seleção de métodos 
e aparelhagem; b) apoio topográfico; c) levantamento 
de detalhes; d) cálculos e ajustes; e) original 
topográfico; f) desenho topográfico; e g) relatório 
técnico. Neste capítulo vamos nos ater às 4 primeiras 
fases. 
7. Levantamento porCaminhamento ou Poligonação 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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7.2. Planejamento, seleção de métodos e aparelhagem 
 Tem a finalidade de percorrer a região a ser 
levantada, elegendo-se os principais vértices da 
poligonal básica do levantamento, assim como 
escolher e determinar o ponto de partida do 
levantamento. Nesta fase também se escolhe o 
método de trabalho e a aparelhagem a ser utilizada 
baseado na classe da poligonal de acordo com a 
NBR13133. 
7. Levantamento por Caminhamento ou Poligonação 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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7.3. Apoio topográfico planimétrico 
 Nesta fase determina-se o conjunto de pontos, 
materializados no terreno, com coordenadas cartesianas (X 
e Y) obtidas a partir de uma origem no plano topográfico, 
que serve de base planimétrica ao levantamento 
topográfico. 
7.4. Levantamento de detalhes 
 Trata-se de um conjunto de operações topográficas 
clássicas (poligonais, irradiações, intersecções etc), 
destinadas no levantamento por poligonação à 
determinação da posição planimétrica dos pontos, que vão 
permitir a representação do terreno a ser levantado 
topograficamente a partir do apoio topográfico. 
7. Levantamento por Caminhamento ou Poligonação 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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7.5. Cálculos e ajustes 
 7.5.1 Erro angular de fechamento 
 Escolhido o tipo de ângulo horizontal que será 
medido, este erro acidental poderá ser determinado: 
 
 deflexões =  def. direita -  def. esquerda = 360° 
 
 ângulos internos: [(n-2) x 180°] -  ângulos internos = 0° 
7. Levantamento por Caminhamento ou Poligonação 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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7.5. Cálculos e ajustes 
 7.5.1 Erro angular de fechamento 
 Baseado no apoio topográfico realizado no item 3 
determina-se o azimute de um dos alinhamentos, 
geralmente do alinhamento MP-1 e então a partir dos 
ângulos horizontais medidos determina-se os azimutes 
dos demais alinhamentos. Assim para as deflexões 
teremos: 
 Azn = Azn-1 + deflexão direita 
 
 Azn = Azn-1 – deflexão esquerda 
7. Levantamento por Caminhamento ou Poligonação 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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7.5. Cálculos e ajustes 
 7.5.1 Erro angular de fechamento 
 Se a poligonal foi medida utilizando-se os ângulos internos 
então teremos: 
 
 sentido horário: Azn = Azn-1 + 180°- Ain 
 
 sentido anti-horário: Azn = Azn-1 + Ain – 180° 
7. Levantamento por Caminhamento ou Poligonação 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
Prof. Rubens Angulo Filho 
7.5. Cálculos e ajustes 
 7.5.2 Limite de tolerância 
 O erro angular de fechamento encontrado ao final do 
levantamento será confrontado com o erro máximo 
permissível, que será função do número de lados da 
poligonal e da precisão efetiva obtida na medição de 
ângulos, esta será determinada baseada na precisão 
nominal do equipamento que foi escolhido para o 
levantamento de acordo com a NBR-13133. Assim a 
tolerância será: 
7. Levantamento por Caminhamento ou Poligonação 
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7.5. Cálculos e ajustes 
 7.5.2 Limite de tolerância 
 2 × precisão efetiva (”) × 
Onde: n = no de lados da poligonal 
 Estando o eaf dentro da tolerância aceitável ele 
poderá ou não ser compensado, esta decisão 
dependerá do erro linear de fechamento encontrado. 
n
7. Levantamento por Caminhamento ou Poligonação 
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7.6. Compensação do erro angular de fechamento (eaf) 
 7.6.1 Aplicando correções sucessivas 
 C = eaf/no de lados da poligonal 
 Começando no primeiro azimute calculado e prosseguir 
até o azimute final, de modo a compensar o erro. Esta 
distribuição é feita porque o erro não foi cometido no 
alinhamento final, mas vem se acumulando desde o 
início e refletindo no final. 
Exemplo: 
Alinhamento Azimute Calculado 
MP – 1 305º16’ 
1 – 2 25º19’ 
2 – 3 357º50’ 
3 – 4 65º50’ 
4 – 5 48º59’ 
5 – 6 83º23’ 
6 – 7 171º55’ 
7 – 8 176º16’ 
8 – 9 179º55’ 
9 – 10 180º22’ 
10 – MP 225º33’ 
MP - 1 305º21’ 
Compensação (-) 
27” 
54” 
1’22” 
1’49” 
2’16” 
2’44” 
3’11” 
3’38” 
4’05” 
4’33” 
5’00” 
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Az. Calc. Comp. 
305º16’ 
25º18’33” 
357º49’06” 
65º48’38” 
48º57’11” 
83º20’44” 
171º52’17” 
176º12’49” 
179º51’22” 
180º17’55” 
225º28’28” 
305º16’ 
eaf = 0o05’  C = 0o05’/11  0o00’27” 
7. Levantamento por Caminhamento ou Poligonação 
7.6. Compensação do erro angular de fechamento (eaf) 
 7.6.2 Correção inversamente proporcional às distâncias 
 Neste método as maiores compensações são aplicadas aos 
alinhamentos de menor distância e as menores 
compensações são aplicadas aos alinhamentos de maior 
distância . 
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









hd/...d/d/
)("eaf
di
Ci
111
1
21
D 
1 
1 0 
2 
h1 
h2 
2 
d 
Exemplo: 
Alinhamento Dist. (m) Azimute Calc. 
MP – 1 390,00 52º46’ 
1 – 2 233,18 179º59’ 
2 – 3 98,50 303º06’ 
3 – 4 56,50 184º32’ 
4 – MP 223,90 269º59’ 
MP – 1 52º42’ 
Az. Comp. 
52º46’ 
179º59’26” 
303º07’28” 
184º35’17” 
270º02’44” 
52º46’ 
Comp.Ac.(+) 
26” 
1’28” 
3’17” 
3’44” 
4’00” 
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eaf = 0o04’ 
Comp. (+) 
26” 
1’02” 
1’49” 
27” 
16” 










hd/...d/d/
)("eaf
di
Ci
111
1
21
K 
Exercício 
 Com os dados abaixo (caminhamento no sentido anti-
horário), determinar os azimutes compensados, 
fazendo a compensação pelos métodos: das 
correções sucessivas e inversamente proporcional às 
distâncias. 
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Alinhamento Distância 
Horizontal 
Ângulo 
Interno 
Azimute 
MP - 1 90,020 m 12500’00” 
1 - 2 90,015 m 9001’00” 
2 - 3 90,004 m 8959’30” 
3 - MP 89,986 m 9000’30 
MP - 1 9000’00” 
7. Levantamento por Caminhamento ou Poligonação 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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7.7. Coordenadas parciais ou relativas 
 Para a determinação do erro linear de fechamento, 
cálculo da área do polígono, e seu desenho faz-se a 
transformação dos dados de campo (coordenadas 
polares) em coordenadas retangulares, trabalhando-se 
com um sistema de eixos ortogonais, no sistema 
topográfico adotado e baseado no apoio topográfico 
de acordo com a NBR-13133. 
7. Levantamento por Caminhamento ou Poligonação 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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7.7. Coordenadas parciais ou relativas 
 Os eixos coordenados são constituídos de um meridiano 
de referência, chamado de eixo das ordenadas (Y) na 
direção N-S e um paralelo de referência, situado 
perpendicularmente ao meridiano, na direção E-W e 
chamado eixo abscissas (X). 
 A ordenada de um ponto é a projeção do ponto no eixo 
Y e será positiva (N) ou negativa (S), a abscissa é a 
projeção do ponto no eixo X e também poderá ser 
positiva (E) e negativa (W). 
7. Levantamento por Caminhamento ou Poligonação 
LEB 340 – Topografia e Geoprocessamento I 
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7.7. Coordenadas parciais ou relativas 
y = distância x cos Rumo 
x = distância